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一、规范作图。
1. 画一个长5厘米、宽3厘米的长方形。 2. 画一个边长3厘米的正方形。
1. 画一个长5厘米、宽3厘米的长方形。 2. 画一个边长3厘米的正方形。
答案
1. 画长5厘米、宽3厘米的长方形：
① 用直尺画一条5厘米的线段AB；
② 分别过点A、点B，借助三角板作线段AB的垂线，在两条垂线上各截取3厘米长的线段AD、BC；
③ 用直尺连接点C、点D，长方形ABCD即为所作。
2. 画边长3厘米的正方形：
① 用直尺画一条3厘米的线段EF；
② 分别过点E、点F，借助三角板作线段EF的垂线，在两条垂线上各截取3厘米长的线段EG、FH；
③ 用直尺连接点G、点H，正方形EFGH即为所作。
① 用直尺画一条5厘米的线段AB；
② 分别过点A、点B，借助三角板作线段AB的垂线，在两条垂线上各截取3厘米长的线段AD、BC；
③ 用直尺连接点C、点D，长方形ABCD即为所作。
2. 画边长3厘米的正方形：
① 用直尺画一条3厘米的线段EF；
② 分别过点E、点F，借助三角板作线段EF的垂线，在两条垂线上各截取3厘米长的线段EG、FH；
③ 用直尺连接点G、点H，正方形EFGH即为所作。
解析
【分析】
要完成这两个图形的作图，需结合长方形和正方形的特征（均有四个直角，长方形对边相等，正方形四条边都相等）来梳理思路：先画出一条确定长度的边作为基础线段，再借助三角板作出这条边的垂线，在垂线上截取对应长度的线段，最后连接剩余的端点，就能得到符合要求的图形。对于长方形，先画长5厘米的边，再作垂线截取3厘米的宽；对于正方形，先画3厘米的边，再作垂线截取等长的边即可。
【解析】
1. 画长5厘米、宽3厘米的长方形：
① 用直尺画一条5厘米的线段AB；
② 分别过点A、点B，借助三角板作线段AB的垂线，在两条垂线上各截取3厘米长的线段AD、BC；
③ 用直尺连接点C、点D，长方形ABCD即为所作。
2. 画边长3厘米的正方形：
① 用直尺画一条3厘米的线段EF；
② 分别过点E、点F，借助三角板作线段EF的垂线，在两条垂线上各截取3厘米长的线段EG、FH；
③ 用直尺连接点G、点H，正方形EFGH即为所作。
【答案】
成功画出长5厘米、宽3厘米的长方形和边长3厘米的正方形
【知识点】
长方形的画法、正方形的画法
【点评】
本题考查基本几何图形的作图能力，需要掌握垂线的作法，结合长方形、正方形的特征完成作图，旨在培养学生的动手操作能力以及对几何图形特征的理解与应用。
【难度系数】
0.9
要完成这两个图形的作图，需结合长方形和正方形的特征（均有四个直角，长方形对边相等，正方形四条边都相等）来梳理思路：先画出一条确定长度的边作为基础线段，再借助三角板作出这条边的垂线，在垂线上截取对应长度的线段，最后连接剩余的端点，就能得到符合要求的图形。对于长方形，先画长5厘米的边，再作垂线截取3厘米的宽；对于正方形，先画3厘米的边，再作垂线截取等长的边即可。
【解析】
1. 画长5厘米、宽3厘米的长方形：
① 用直尺画一条5厘米的线段AB；
② 分别过点A、点B，借助三角板作线段AB的垂线，在两条垂线上各截取3厘米长的线段AD、BC；
③ 用直尺连接点C、点D，长方形ABCD即为所作。
2. 画边长3厘米的正方形：
① 用直尺画一条3厘米的线段EF；
② 分别过点E、点F，借助三角板作线段EF的垂线，在两条垂线上各截取3厘米长的线段EG、FH；
③ 用直尺连接点G、点H，正方形EFGH即为所作。
【答案】
成功画出长5厘米、宽3厘米的长方形和边长3厘米的正方形
【知识点】
长方形的画法、正方形的画法
【点评】
本题考查基本几何图形的作图能力，需要掌握垂线的作法，结合长方形、正方形的特征完成作图，旨在培养学生的动手操作能力以及对几何图形特征的理解与应用。
【难度系数】
0.9
1. 张爷爷家有一块长方形菜地,长10米,宽6米。他想把菜地改建成一个正方形,
如果长不变,那么宽需要增加多少米? 如果宽不变,那么长需要减少多少米?
如果长不变,那么宽需要增加多少米? 如果宽不变,那么长需要减少多少米?
答案
1. 如果长不变,那么宽需要增加4米;如果宽不变,那么长需要减少4米。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确正方形的核心特征：四条边长度相等。当把长方形改建成正方形时，若长不变，那么正方形的边长就等于原来长方形的长，此时需要计算原来的宽与这个边长的差值，即为宽需要增加的长度；若宽不变，那么正方形的边长就等于原来长方形的宽，此时计算原来的长与这个边长的差值，即为长需要减少的长度。
【解析】
1. 长不变时：
正方形的边长应等于长方形的长10米，原来的宽是6米，
宽需要增加的米数为：$10 - 6 = 4$（米）
2. 宽不变时：
正方形的边长应等于长方形的宽6米，原来的长是10米，
长需要减少的米数为：$10 - 6 = 4$（米）
【答案】
如果长不变，那么宽需要增加4米；如果宽不变，那么长需要减少4米。
【知识点】
正方形的特征、整数减法运算
【点评】
本题依托长方形改正方形的实际场景，考查对正方形四条边相等这一核心特征的理解，以及运用整数减法解决实际问题的能力，题目贴近生活，逻辑清晰，易于理解。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先要明确正方形的核心特征：四条边长度相等。当把长方形改建成正方形时，若长不变，那么正方形的边长就等于原来长方形的长，此时需要计算原来的宽与这个边长的差值，即为宽需要增加的长度；若宽不变，那么正方形的边长就等于原来长方形的宽，此时计算原来的长与这个边长的差值，即为长需要减少的长度。
【解析】
1. 长不变时：
正方形的边长应等于长方形的长10米，原来的宽是6米，
宽需要增加的米数为：$10 - 6 = 4$（米）
2. 宽不变时：
正方形的边长应等于长方形的宽6米，原来的长是10米，
长需要减少的米数为：$10 - 6 = 4$（米）
【答案】
如果长不变，那么宽需要增加4米；如果宽不变，那么长需要减少4米。
【知识点】
正方形的特征、整数减法运算
【点评】
本题依托长方形改正方形的实际场景，考查对正方形四条边相等这一核心特征的理解，以及运用整数减法解决实际问题的能力，题目贴近生活，逻辑清晰，易于理解。
【难度系数】
0.9
2. 王阿姨家有一个长方形花园,长18米,宽12米。她想在花园里划出一块最大的
正方形区域来种玫瑰花,剩下的区域种月季花。
(1)这个正方形玫瑰园的边长是(
(2)种月季花的区域是什么形状? 它的长和宽分别是多少米?
正方形区域来种玫瑰花,剩下的区域种月季花。
(1)这个正方形玫瑰园的边长是(
12
)米。(2)种月季花的区域是什么形状? 它的长和宽分别是多少米?
答案
2. (1)12
(2)长方形,长12米,宽6米。
(2)长方形,长12米,宽6米。
解析
【分析】
(1) 要在长方形花园里划出最大的正方形，由于正方形四条边长度相等，其边长不能超过长方形的长和宽中的较小值，否则正方形会超出长方形范围。已知长方形宽12米、长18米，12＜18，所以最大正方形的边长等于长方形的宽。
(2) 划出正方形后，剩余区域的长等于原来长方形的宽，剩余区域的宽为原来长方形的长减去正方形的边长，通过长和宽的数值可判断剩余区域的形状。
【解析】
(1) 在长方形中截取最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽。已知长方形花园宽12米，因此正方形玫瑰园的边长是12米。
(2) 计算剩余区域的宽：18 - 12 = 6（米），剩余区域的长为12米，宽为6米，该区域有一组对边平行且相等，四个角都是直角，符合长方形的特征，所以种月季花的区域是长方形，长12米，宽6米。
【答案】
(1) 12
(2) 长方形，长12米，宽6米。
【知识点】
1. 正方形的特征
2. 长方形内截取最大正方形的方法
【点评】
本题考查长方形和正方形的基本特征，重点是掌握长方形中截取最大正方形的边长确定方法，通过简单的长度计算分析剩余图形的形状，属于基础几何题，能帮助学生巩固对平面图形的认识。
【难度系数】
0.9
(1) 要在长方形花园里划出最大的正方形，由于正方形四条边长度相等，其边长不能超过长方形的长和宽中的较小值，否则正方形会超出长方形范围。已知长方形宽12米、长18米，12＜18，所以最大正方形的边长等于长方形的宽。
(2) 划出正方形后，剩余区域的长等于原来长方形的宽，剩余区域的宽为原来长方形的长减去正方形的边长，通过长和宽的数值可判断剩余区域的形状。
【解析】
(1) 在长方形中截取最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽。已知长方形花园宽12米，因此正方形玫瑰园的边长是12米。
(2) 计算剩余区域的宽：18 - 12 = 6（米），剩余区域的长为12米，宽为6米，该区域有一组对边平行且相等，四个角都是直角，符合长方形的特征，所以种月季花的区域是长方形，长12米，宽6米。
【答案】
(1) 12
(2) 长方形，长12米，宽6米。
【知识点】
1. 正方形的特征
2. 长方形内截取最大正方形的方法
【点评】
本题考查长方形和正方形的基本特征，重点是掌握长方形中截取最大正方形的边长确定方法，通过简单的长度计算分析剩余图形的形状，属于基础几何题，能帮助学生巩固对平面图形的认识。
【难度系数】
0.9
三、现有两种规格的卡片:正方形卡片边长2厘米;长方形卡片长4厘米,宽2厘米。
如果要拼成边长6厘米的正方形(不切割、无重叠、无空隙), 可以怎样拼? 两
种卡片各需要多少张?
如果要拼成边长6厘米的正方形(不切割、无重叠、无空隙), 可以怎样拼? 两
种卡片各需要多少张?
答案
第一种拼法：
$6÷2=3$（张）
$3×3=9$（张）
答：需要正方形卡片9张，长方形卡片0张。
第二种拼法：
$3×4×2=24$（平方厘米）
$6×6-24=12$（平方厘米）
$12÷(2×2)=3$（张）
答：需要长方形卡片3张，正方形卡片3张。
第三种拼法：
$1×4×2=8$（平方厘米）
$6×6-8=28$（平方厘米）
$28÷(2×2)=7$（张）
答：需要长方形卡片1张，正方形卡片7张。
第四种拼法：
$4×4×2=32$（平方厘米）
$6×6-32=4$（平方厘米）
$4÷(2×2)=1$（张）
答：需要长方形卡片4张，正方形卡片1张。
$6÷2=3$（张）
$3×3=9$（张）
答：需要正方形卡片9张，长方形卡片0张。
第二种拼法：
$3×4×2=24$（平方厘米）
$6×6-24=12$（平方厘米）
$12÷(2×2)=3$（张）
答：需要长方形卡片3张，正方形卡片3张。
第三种拼法：
$1×4×2=8$（平方厘米）
$6×6-8=28$（平方厘米）
$28÷(2×2)=7$（张）
答：需要长方形卡片1张，正方形卡片7张。
第四种拼法：
$4×4×2=32$（平方厘米）
$6×6-32=4$（平方厘米）
$4÷(2×2)=1$（张）
答：需要长方形卡片4张，正方形卡片1张。
解析
【分析】
我们要拼成边长6厘米的正方形，首先明确大正方形的边长和面积，再结合两种卡片的尺寸特点来思考拼法。首先可以考虑全用正方形卡片的情况，计算每条边能摆放的正方形数量得到总张数；之后通过替换思路，尝试用不同数量的长方形卡片来部分替代正方形卡片，利用面积计算剩余部分所需正方形卡片的数量，同时要保证拼接时无重叠、无空隙、不切割，符合边长要求。
【解析】
第一种拼法：全用正方形卡片
大正方形边长为6厘米，正方形卡片边长2厘米，每条边可摆放的正方形数量：
$6÷2=3$（张）
总共需要的正方形卡片数量：
$3×3=9$（张）
即需要正方形卡片9张，长方形卡片0张。
第二种拼法：使用3张长方形卡片
3张长方形卡片的总面积：
$3×4×2=24$（平方厘米）
边长6厘米的大正方形面积：
$6×6=36$（平方厘米）
剩余需要正方形卡片填补的面积：
$36-24=12$（平方厘米）
每张正方形卡片的面积：
$2×2=4$（平方厘米）
需要正方形卡片的数量：
$12÷4=3$（张）
即需要长方形卡片3张，正方形卡片3张。
第三种拼法：使用1张长方形卡片
1张长方形卡片的面积：
$1×4×2=8$（平方厘米）
剩余需要正方形卡片填补的面积：
$36-8=28$（平方厘米）
需要正方形卡片的数量：
$28÷4=7$（张）
即需要长方形卡片1张，正方形卡片7张。
第四种拼法：使用4张长方形卡片
4张长方形卡片的总面积：
$4×4×2=32$（平方厘米）
剩余需要正方形卡片填补的面积：
$36-32=4$（平方厘米）
需要正方形卡片的数量：
$4÷4=1$（张）
即需要长方形卡片4张，正方形卡片1张。
【答案】
共有四种拼法：
1. 正方形卡片9张，长方形卡片0张；
2. 正方形卡片3张，长方形卡片3张；
3. 正方形卡片7张，长方形卡片1张；
4. 正方形卡片1张，长方形卡片4张。
【知识点】
1. 长方形正方形面积计算
2. 平面图形拼接
3. 整数除法应用
【点评】
本题需要结合图形边长与面积的关系，通过多种组合方式完成拼接，既考察了平面图形的空间想象能力，也锻炼了利用面积公式解决实际拼接问题的能力，需全面考虑不同拼接组合，避免遗漏拼法。
【难度系数】
0.6
我们要拼成边长6厘米的正方形，首先明确大正方形的边长和面积，再结合两种卡片的尺寸特点来思考拼法。首先可以考虑全用正方形卡片的情况，计算每条边能摆放的正方形数量得到总张数；之后通过替换思路，尝试用不同数量的长方形卡片来部分替代正方形卡片，利用面积计算剩余部分所需正方形卡片的数量，同时要保证拼接时无重叠、无空隙、不切割，符合边长要求。
【解析】
第一种拼法：全用正方形卡片
大正方形边长为6厘米，正方形卡片边长2厘米，每条边可摆放的正方形数量：
$6÷2=3$（张）
总共需要的正方形卡片数量：
$3×3=9$（张）
即需要正方形卡片9张，长方形卡片0张。
第二种拼法：使用3张长方形卡片
3张长方形卡片的总面积：
$3×4×2=24$（平方厘米）
边长6厘米的大正方形面积：
$6×6=36$（平方厘米）
剩余需要正方形卡片填补的面积：
$36-24=12$（平方厘米）
每张正方形卡片的面积：
$2×2=4$（平方厘米）
需要正方形卡片的数量：
$12÷4=3$（张）
即需要长方形卡片3张，正方形卡片3张。
第三种拼法：使用1张长方形卡片
1张长方形卡片的面积：
$1×4×2=8$（平方厘米）
剩余需要正方形卡片填补的面积：
$36-8=28$（平方厘米）
需要正方形卡片的数量：
$28÷4=7$（张）
即需要长方形卡片1张，正方形卡片7张。
第四种拼法：使用4张长方形卡片
4张长方形卡片的总面积：
$4×4×2=32$（平方厘米）
剩余需要正方形卡片填补的面积：
$36-32=4$（平方厘米）
需要正方形卡片的数量：
$4÷4=1$（张）
即需要长方形卡片4张，正方形卡片1张。
【答案】
共有四种拼法：
1. 正方形卡片9张，长方形卡片0张；
2. 正方形卡片3张，长方形卡片3张；
3. 正方形卡片7张，长方形卡片1张；
4. 正方形卡片1张，长方形卡片4张。
【知识点】
1. 长方形正方形面积计算
2. 平面图形拼接
3. 整数除法应用
【点评】
本题需要结合图形边长与面积的关系，通过多种组合方式完成拼接，既考察了平面图形的空间想象能力，也锻炼了利用面积公式解决实际拼接问题的能力，需全面考虑不同拼接组合，避免遗漏拼法。
【难度系数】
0.6
