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8. (★★)如图,已知点B,D,C在同一条直线上,AB=AD,BC=DE,AC=AE.
(1)求证:∠BAD=∠EAC.
(2)若∠BAD=42°,求∠EDC的度数.
(1)求证:∠BAD=∠EAC.
(2)若∠BAD=42°,求∠EDC的度数.
答案
(1) 证明：
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}AB=AD \\BC=DE \\AC=AE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAE$
$\therefore ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$
即$∠ BAD = ∠ EAC$。
---
(2) 解：
由$△ ABC ≌ △ ADE$，可得$∠ B = ∠ ADE$。
$\because AB=AD$，
$\therefore ∠ B = ∠ ADB$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ ADB$。
由三角形外角性质，得$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$，
又$\because ∠ ADC = ∠ ADE + ∠ EDC$，
$\therefore ∠ B + ∠ BAD = ∠ ADE + ∠ EDC$，
代入$∠ ADE=∠ B$，可得$∠ EDC = ∠ BAD$。
$\because ∠ BAD=42°$，
$\therefore ∠ EDC=42°$。
答：$∠ EDC$的度数为$42°$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}AB=AD \\BC=DE \\AC=AE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAE$
$\therefore ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$
即$∠ BAD = ∠ EAC$。
---
(2) 解：
由$△ ABC ≌ △ ADE$，可得$∠ B = ∠ ADE$。
$\because AB=AD$，
$\therefore ∠ B = ∠ ADB$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ ADB$。
由三角形外角性质，得$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$，
又$\because ∠ ADC = ∠ ADE + ∠ EDC$，
$\therefore ∠ B + ∠ BAD = ∠ ADE + ∠ EDC$，
代入$∠ ADE=∠ B$，可得$∠ EDC = ∠ BAD$。
$\because ∠ BAD=42°$，
$\therefore ∠ EDC=42°$。
答：$∠ EDC$的度数为$42°$。
9. (★)如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC,∠B=130°,则∠D的度数为.
答案
$\boldsymbol{130°}$
解析
解：在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\BC=DC\\AC=AC\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠D=∠B
∵∠B=130°
∴∠D=130°
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\BC=DC\\AC=AC\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠D=∠B
∵∠B=130°
∴∠D=130°
10. (★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$EB=EC$,则由“SSS”可以直接判定 【 】
A.$△ ABD≌△ ACD$
B.$△ ABE≌△ ACE$
C.$△ BDE≌△ CDE$
D.以上选项都不对
A.$△ ABD≌△ ACD$
B.$△ ABE≌△ ACE$
C.$△ BDE≌△ CDE$
D.以上选项都不对
答案
B
解析
在△ABE和△ACE中，已知AB=AC，EB=EC，且AE是两个三角形的公共边，即AE=AE，三组对应边分别相等，符合SSS全等判定条件，可直接判定△ABE≌△ACE，其余选项的三角形全等均无法仅通过已知条件直接用SSS判定。
11. (★)如图,点B,C,E在同一条直线上,且$AB=AD$,$AC=AE$,$BC=DE$,若$∠1+∠2+∠3=94°$,则$∠3$的度数为.
答案
$\boldsymbol{47°}$
解析
解：
在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\AC=AE \\BC=DE\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（SSS）
∴∠ABC=∠1，∠BAC=∠2
∵∠3是△ABC的外角，
∴∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2
又∵∠1+∠2+∠3=94°，
∴2∠3=94°，
∴∠3=47°
在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\AC=AE \\BC=DE\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（SSS）
∴∠ABC=∠1，∠BAC=∠2
∵∠3是△ABC的外角，
∴∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2
又∵∠1+∠2+∠3=94°，
∴2∠3=94°，
∴∠3=47°
12. (★★)如图，$CA=CB$，$AD=BD$，$M$，$N$分别是$CA$，$CB$的中点，若$△ ADM$的面积为3，则图中阴影部分的面积为.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：连接CD。
在△ACD和△BCD中，
$\{\begin{array}{l}CA=CB \\AD=BD \\CD=CD\end{array} $
∴ $△ ACD ≌ △ BCD$（SSS）。
∴ $S_{△ ACD}=S_{△ BCD}$，$∠ ACD=∠ BCD$。
∵ M是CA的中点，
∴ $AM=CM$，
∴ $S_{△ ADM}=S_{△ CDM}=3$，
∴ $S_{△ ACD}=S_{△ ADM}+S_{△ CDM}=6$，
∴ $S_{△ BCD}=S_{△ ACD}=6$。
∵ N是CB的中点，$CA=CB$，
∴ $CN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}CA=CM$。
在△CDM和△CDN中，
$\{\begin{array}{l}CM=CN \\∠ MCD=∠ NCD \\CD=CD\end{array} $
∴ $△ CDM ≌ △ CDN$（SAS），
∴ $S_{△ CDN}=S_{△ CDM}=3$。
∴ 阴影部分的面积 $=S_{△ CDM}+S_{△ CDN}=3+3=6$。
在△ACD和△BCD中，
$\{\begin{array}{l}CA=CB \\AD=BD \\CD=CD\end{array} $
∴ $△ ACD ≌ △ BCD$（SSS）。
∴ $S_{△ ACD}=S_{△ BCD}$，$∠ ACD=∠ BCD$。
∵ M是CA的中点，
∴ $AM=CM$，
∴ $S_{△ ADM}=S_{△ CDM}=3$，
∴ $S_{△ ACD}=S_{△ ADM}+S_{△ CDM}=6$，
∴ $S_{△ BCD}=S_{△ ACD}=6$。
∵ N是CB的中点，$CA=CB$，
∴ $CN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}CA=CM$。
在△CDM和△CDN中，
$\{\begin{array}{l}CM=CN \\∠ MCD=∠ NCD \\CD=CD\end{array} $
∴ $△ CDM ≌ △ CDN$（SAS），
∴ $S_{△ CDN}=S_{△ CDM}=3$。
∴ 阴影部分的面积 $=S_{△ CDM}+S_{△ CDN}=3+3=6$。
13. (★★)如图,已知$AB=DC$,$AC=DB$.求证:$∠ B=∠ C$. 
答案
证明：
连接AD。
在△ABD和△DCA中，
$\begin{cases}AB = DC \quad (\mathrm{已知}), \\DB = AC \quad (\mathrm{已知}), \\AD = DA \quad (\mathrm{公共边}),\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △DCA（SSS），
∴ ∠B = ∠C。
连接AD。
在△ABD和△DCA中，
$\begin{cases}AB = DC \quad (\mathrm{已知}), \\DB = AC \quad (\mathrm{已知}), \\AD = DA \quad (\mathrm{公共边}),\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △DCA（SSS），
∴ ∠B = ∠C。
