14. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC = 90°$,D,E分别为边AC,BC上的一点,连接BD,DE,已知$AB=EB$,$AD=ED$.
(1)求证:BD平分$∠ ABC$;
(2)若$∠ A=55°$,求证:$∠ CDE=\dfrac{1}{4}∠ ADB$.

证明：
(1) 在$△ ABD$和$△ EBD$中，
$\{\begin{array}{l}AB=EB \\AD=ED \\BD=BD\end{array} $
$\therefore △ ABD ≌ △ EBD(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ ABD = ∠ EBD$
$\therefore BD$平分$∠ ABC$。
(2) $\because ∠ ABC=90°$，$BD$平分$∠ ABC$
$\therefore ∠ ABD = ∠ EBD = 45°$
在$△ ABD$中，$∠ A=55°$，$∠ ABD=45°$
$\therefore ∠ ADB = 180° - ∠ A - ∠ ABD = 180° - 55° - 45° = 80°$
$\because ∠ ABC=90°$，$∠ A=55°$
$\therefore ∠ C = 90° - ∠ A = 35°$
$\because △ ABD ≌ △ EBD$
$\therefore ∠ BED = ∠ A = 55°$
$\because ∠ BED$是$△ CDE$的外角
$\therefore ∠ BED = ∠ C + ∠ CDE$
$\therefore ∠ CDE = ∠ BED - ∠ C = 55° - 35° = 20°$
$\because 20° = \frac{1}{4} × 80°$
$\therefore ∠ CDE = \frac{1}{4}∠ ADB$。

【分析】
(1)要证BD平分$∠ ABC$，需证$∠ ABD=∠ EBD$。观察$△ ABD$和$△ EBD$，已知$AB=EB$、$AD=ED$，且BD为两三角形的公共边，可通过SSS判定两三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得证。
(2)先结合角平分线的性质和三角形内角和定理求出$∠ ADB$的度数；再在$\mathrm{Rt}△ ABC$中求出$∠ C$的度数，结合全等三角形对应角相等得到$∠ BED$的度数，最后利用三角形外角的性质求出$∠ CDE$的度数，验证二者的倍数关系即可。
【解析】
(1) 在$△ ABD$和$△ EBD$中，
$\{\begin{array}{l}AB=EB \\AD=ED \\BD=BD\end{array} $
$\therefore △ ABD ≌ △ EBD(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ ABD = ∠ EBD$
$\therefore BD$平分$∠ ABC$。
(2) $\because ∠ ABC=90°$，$BD$平分$∠ ABC$
$\therefore ∠ ABD = ∠ EBD = 45°$
在$△ ABD$中，$∠ A=55°$，$∠ ABD=45°$
$\therefore ∠ ADB = 180° - ∠ A - ∠ ABD = 180° - 55° - 45° = 80°$
$\because ∠ ABC=90°$，$∠ A=55°$
$\therefore ∠ C = 90° - ∠ A = 35°$
$\because △ ABD ≌ △ EBD$
$\therefore ∠ BED = ∠ A = 55°$
$\because ∠ BED$是$△ CDE$的外角
$\therefore ∠ BED = ∠ C + ∠ CDE$
$\therefore ∠ CDE = ∠ BED - ∠ C = 55° - 35° = 20°$
$\because 20° = \frac{1}{4} × 80°$
$\therefore ∠ CDE = \frac{1}{4}∠ ADB$。
【答案】
(1) BD平分$∠ ABC$，证明成立；
(2) $∠ CDE=\dfrac{1}{4}∠ ADB$，证明成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查全等三角形的判定及角度计算能力，解题的关键是先通过SSS判定三角形全等，再结合角平分线、三角形内外角的性质逐步推导角度关系，是巩固几何基础推理能力的典型习题。
【难度系数】
0.7

15. (★★★)如图所示的$10×10$网格是正方形网格，正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形. 将与$△ ABC$全等，并与$△ ABC$有且只有一条边重合的格点三角形称为$△ ABC$的“友好格点三角形”.
(1)画出以AB为公共边的$△ ABC$的所有“友好格点三角形”.
(2)$△ ABC$共有个“友好格点三角形”.

解：
(1) 根据全等三角形的SSS判定，在AB边异于点C的一侧，找到2个不同的格点，分别将这两个格点与点A、B连接，得到的两个格点三角形均与△ABC全等，且与△ABC仅有AB这一条公共边，即为所求的以AB为公共边的“友好格点三角形”。
(2) 6

【分析】
(1) 第一问首先明确“友好格点三角形”的两个核心要求：和△ABC全等、仅与△ABC有AB这一条公共边。AB已经是公共边，根据全等三角形SSS判定规则，只需要在AB异于点C的一侧，找到到A、B的距离分别等于BC、AC长度的格点，连接后即可得到符合要求的三角形，共可找到2个符合条件的格点。
(2) 第二问采用分类讨论的思路：分别以AB、BC、AC为公共边，逐一统计每条边对应的“友好格点三角形”数量，最后相加得到总数量。经分析每条边作为公共边时，都可以找到2个符合要求的三角形，因此总数为3组相加的结果。
【解析】
(1) 设小正方形的边长为1，先计算△ABC各边长度：$AB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。要找以AB为公共边的全等三角形，即第三点需满足另外两边分别等于AC和BC的长度，且该点与点C在AB两侧，同时保证仅AB为公共边，最终可找到2个符合要求的点，分别连接两点与A、B，即可得到所求的2个三角形，画图略。
(2) 分三类计数：
① 以AB为公共边：符合要求的“友好格点三角形”共2个；
② 以BC为公共边：用上述同样的方法，在BC异于点A的一侧找符合SSS判定的格点，共2个符合要求的三角形；
③ 以AC为公共边：在AC异于点B的一侧找符合SSS判定的格点，共2个符合要求的三角形。
总数量：$2+2+2=6$。
【答案】
(1) 画图略（共2个三角形）；
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
全等三角形的判定、格点作图、新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查全等三角形的判定应用与格点作图能力，解题时要准确理解定义要求，采用分类讨论的方法对三条公共边分别计数，避免漏数或多数，能有效锻炼学生的逻辑思维和动手作图能力。
【难度系数】
0.6

16. (★★★)如图,方格纸中$△ DEF$的三个顶点分别在小正方形的顶点上,像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形,请在图中画出与$△ DEF$全等的三角形($△ DEF$除外),这样的三角形能画几个?

解：设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$DE=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$EF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$DF=3$。
根据“三边分别相等的两个三角形全等（SSS）”，在给定的方格范围内，构造三边长分别为$3$、$\sqrt{5}$、$2\sqrt{2}$的格点三角形，除$△ DEF$外，符合要求的三角形共可以画出3个。
答：这样的三角形能画3个。

【分析】
要找到与△DEF全等的格点三角形，可借助全等三角形SSS判定的思路求解：首先设小正方形边长为1，利用勾股定理计算出△DEF的三边长，再在给定方格范围内，找出所有三边长与△DEF完全相等的格点三角形，排除原△DEF后统计数量即可，注意计数时不要漏数或重复计数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得△DEF的三边长：
$DE=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$EF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$DF=3$。
根据“三边分别相等的两个三角形全等（SSS）”的判定定理，在给定的方格区域内构造三边长为$3$、$\sqrt{5}$、$2\sqrt{2}$的格点三角形，排除△DEF本身，最终符合要求的三角形共可以画出3个。
【答案】
3个
【知识点】
勾股定理；全等三角形SSS判定；格点图形计数
【点评】
本题结合格点图形考查全等三角形的判定应用，需要先通过勾股定理确定三角形三边长度，再依据全等判定条件寻找匹配的格点三角形，考查了数形结合思想与观察计数能力，计数时需注意避免重复、遗漏。
【难度系数】
0.6