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1. (★)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=40°$，则$∠ A$的度数是
【 】
A.$50°$
B.$30°$
C.$60°$
D.$40°$
【 】
A.$50°$
B.$30°$
C.$60°$
D.$40°$
答案
A
解析
【分析】
本题考查三角形内角和的应用，解题思路如下：首先回忆三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和为180°，题目已经给出Rt△ABC中∠C=90°，∠B=40°，直接用三角形内角和减去两个已知角的度数，即可求出∠A的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和等于180°。
在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=40°，则：
$∠ A = 180° - ∠ C - ∠ B$
$= 180° - 90° - 40°$
$= 50°$
因此选择A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形内角和定理的直接应用，只要牢记三角形内角和为180°，结合题干给出的已知角度，即可快速计算出结果。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形内角和的应用，解题思路如下：首先回忆三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和为180°，题目已经给出Rt△ABC中∠C=90°，∠B=40°，直接用三角形内角和减去两个已知角的度数，即可求出∠A的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和等于180°。
在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=40°，则：
$∠ A = 180° - ∠ C - ∠ B$
$= 180° - 90° - 40°$
$= 50°$
因此选择A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形内角和定理的直接应用，只要牢记三角形内角和为180°，结合题干给出的已知角度，即可快速计算出结果。
【难度系数】
0.9
2. (★)(1)直角三角形的两个锐角；
(2)有两个角的三角形是直角三角形。
(2)有两个角的三角形是直角三角形。
答案
解：(1) 互余
(2) 互余
(2) 互余
解析
【分析】
解题时结合三角形内角和定理逐步推导即可：
1. 第(1)问思考路径：先明确三角形内角和为180°，直角三角形有一个固定的90°直角，用内角和减去直角的度数，就能得到两个锐角的和，再结合互余的定义即可确定答案。
2. 第(2)问思考路径：这是直角三角形的判定问题，若两个角互余，说明两角之和为90°，用内角和减去这两个角的和，可得出第三个角为90°，符合直角三角形的定义，由此可填空。
【解析】
(1) 根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为$180°$，直角三角形存在一个内角为$90°$，因此两个锐角的和为$180° - 90° = 90°$，而和为$90°$的两个角互为余角（简称互余），故此处填互余。
(2) 若三角形有两个角互余，即这两个角的度数之和为$90°$，则第三个角的度数为$180° - 90° = 90°$，有一个角是直角的三角形为直角三角形，故此处填互余。
【答案】
(1) 互余；(2) 互余
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形的性质
3. 直角三角形的判定
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查直角三角形性质和判定的对应关系，只要熟练掌握三角形内角和规律以及互余的定义，就能快速得出答案，日常学习中要重视基础概念的理解和记忆。
【难度系数】
0.9
解题时结合三角形内角和定理逐步推导即可：
1. 第(1)问思考路径：先明确三角形内角和为180°，直角三角形有一个固定的90°直角，用内角和减去直角的度数，就能得到两个锐角的和，再结合互余的定义即可确定答案。
2. 第(2)问思考路径：这是直角三角形的判定问题，若两个角互余，说明两角之和为90°，用内角和减去这两个角的和，可得出第三个角为90°，符合直角三角形的定义，由此可填空。
【解析】
(1) 根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为$180°$，直角三角形存在一个内角为$90°$，因此两个锐角的和为$180° - 90° = 90°$，而和为$90°$的两个角互为余角（简称互余），故此处填互余。
(2) 若三角形有两个角互余，即这两个角的度数之和为$90°$，则第三个角的度数为$180° - 90° = 90°$，有一个角是直角的三角形为直角三角形，故此处填互余。
【答案】
(1) 互余；(2) 互余
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形的性质
3. 直角三角形的判定
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查直角三角形性质和判定的对应关系，只要熟练掌握三角形内角和规律以及互余的定义，就能快速得出答案，日常学习中要重视基础概念的理解和记忆。
【难度系数】
0.9
3. (★)如图，$∠ ACB = 90°$, $CD ⊥ AB$,垂足为D,则下列结论错误的是 【 】
A.$∠ A = ∠ 2$
B.$∠ 1$和$∠ B$都是$∠ A$的余角
C.$∠ 1 = ∠ 2$
D.图中有3个直角三角形
A.$∠ A = ∠ 2$
B.$∠ 1$和$∠ B$都是$∠ A$的余角
C.$∠ 1 = ∠ 2$
D.图中有3个直角三角形
答案
C
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：∠ACB=90°，CD⊥AB，可得三个三角形都是直角三角形。解题时可结合直角三角形两锐角互余、同角的余角相等的性质，逐一验证每个选项的正误，最终选出错误的结论即可。
【解析】
已知∠ACB=90°，CD⊥AB，可得∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°。
1. 验证选项D：由上述结论可知，△ACB、△ADC、△BDC均为直角三角形，共3个，D选项正确，不符合题意。
2. 验证选项B：在Rt△ACB中，∠A+∠B=90°；在Rt△ADC中，∠A+∠1=90°。因此∠1和∠B都是∠A的余角，B选项正确，不符合题意。
3. 验证选项A：在Rt△BDC中，∠2+∠B=90°，又因为∠A+∠B=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠2，A选项正确，不符合题意。
4. 验证选项C：由上述推导可知∠1=∠B，∠2=∠A，题目未给出∠A=∠B的条件，因此∠1和∠2不一定相等，C选项错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形内角性质，余角的性质，直角三角形判定
【点评】
本题是基础类题目，主要考查直角三角形的相关性质，解题时要注意结合图形推导角的等量关系，同时要注意审题，明确题目要求选出错误的结论，避免因看错要求丢分。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目已知条件：∠ACB=90°，CD⊥AB，可得三个三角形都是直角三角形。解题时可结合直角三角形两锐角互余、同角的余角相等的性质，逐一验证每个选项的正误，最终选出错误的结论即可。
【解析】
已知∠ACB=90°，CD⊥AB，可得∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°。
1. 验证选项D：由上述结论可知，△ACB、△ADC、△BDC均为直角三角形，共3个，D选项正确，不符合题意。
2. 验证选项B：在Rt△ACB中，∠A+∠B=90°；在Rt△ADC中，∠A+∠1=90°。因此∠1和∠B都是∠A的余角，B选项正确，不符合题意。
3. 验证选项A：在Rt△BDC中，∠2+∠B=90°，又因为∠A+∠B=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠2，A选项正确，不符合题意。
4. 验证选项C：由上述推导可知∠1=∠B，∠2=∠A，题目未给出∠A=∠B的条件，因此∠1和∠2不一定相等，C选项错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形内角性质，余角的性质，直角三角形判定
【点评】
本题是基础类题目，主要考查直角三角形的相关性质，解题时要注意结合图形推导角的等量关系，同时要注意审题，明确题目要求选出错误的结论，避免因看错要求丢分。
【难度系数】
0.8
4. (★)如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 90°$,$∠ DAB = 40°$,$∠ C = 20°$,则$∠ CAD$的度数为.
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
【分析】
要求∠CAD的度数，观察图形可得∠CAD=∠CAB-∠DAB，已知∠DAB=40°，因此只需先求出∠CAB的度数即可。在△ABC中，已知∠B=90°、∠C=20°，利用三角形内角和定理就能算出∠CAB的度数，再作差即可得到∠CAD的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ CAB = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 90° - 20° = 70°$
已知$∠ DAB=40°$，因此：
$∠ CAD = ∠ CAB - ∠ DAB = 70° - 40° = 30°$
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查三角形内角和定理的应用，解题的关键是先求出△ABC中∠CAB的度数，再通过角的差运算得到所求角的度数，计算过程简单，思路清晰。
【难度系数】
0.9
要求∠CAD的度数，观察图形可得∠CAD=∠CAB-∠DAB，已知∠DAB=40°，因此只需先求出∠CAB的度数即可。在△ABC中，已知∠B=90°、∠C=20°，利用三角形内角和定理就能算出∠CAB的度数，再作差即可得到∠CAD的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ CAB = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 90° - 20° = 70°$
已知$∠ DAB=40°$，因此：
$∠ CAD = ∠ CAB - ∠ DAB = 70° - 40° = 30°$
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查三角形内角和定理的应用，解题的关键是先求出△ABC中∠CAB的度数，再通过角的差运算得到所求角的度数，计算过程简单，思路清晰。
【难度系数】
0.9
5. (★)在△ABC中,三个内角度数之比为2:3:5,则△ABC的形状是 【 】
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
答案
D
解析
【分析】
要判断三角形的形状，可先求出三角形各个内角的度数，再根据角的特征判断。已知三个内角的度数比，我们可以通过设参数的方法，结合三角形内角和为180°的定理列方程求解，得到最大角的度数后即可确定三角形类型。
【解析】
设△ABC的三个内角度数分别为$2x$、$3x$、$5x$。
根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和为$180°$，可列方程：
$2x + 3x + 5x = 180°$
合并同类项得：$10x = 180°$
解得：$x = 18°$
因此三个内角的度数分别为：
$2x = 2×18° = 36°$，$3x = 3×18° = 54°$，$5x = 5×18° = 90°$
该三角形有一个内角为直角，因此是直角三角形，且三个内角度数均不相等，不是等腰三角形。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查比例类角度计算的方法，只要熟练掌握三角形内角和定理，学会用设参数的方式处理比例关系，就能快速求解并判断三角形的形状。
【难度系数】
0.9
要判断三角形的形状，可先求出三角形各个内角的度数，再根据角的特征判断。已知三个内角的度数比，我们可以通过设参数的方法，结合三角形内角和为180°的定理列方程求解，得到最大角的度数后即可确定三角形类型。
【解析】
设△ABC的三个内角度数分别为$2x$、$3x$、$5x$。
根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和为$180°$，可列方程：
$2x + 3x + 5x = 180°$
合并同类项得：$10x = 180°$
解得：$x = 18°$
因此三个内角的度数分别为：
$2x = 2×18° = 36°$，$3x = 3×18° = 54°$，$5x = 5×18° = 90°$
该三角形有一个内角为直角，因此是直角三角形，且三个内角度数均不相等，不是等腰三角形。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查比例类角度计算的方法，只要熟练掌握三角形内角和定理，学会用设参数的方式处理比例关系，就能快速求解并判断三角形的形状。
【难度系数】
0.9
6. (★)将一副三角板按如图所示方式摆放，则∠BGE的度数为【】
A.65°
B.75°
C.85°
D.105°
A.65°
B.75°
C.85°
D.105°
答案
B
解析
【分析】
首先明确三角板的固定角度：含30°角的三角板另外两个内角为60°、90°，等腰直角三角板的两个锐角均为45°。观察图形可知∠BGE与∠AGC是对顶角，根据对顶角相等，只需先求出∠AGC的度数即可。我们可以先得到△AGC中两个已知内角∠BAC、∠ACG的度数，再结合三角形内角和为180°计算∠AGC，最终得到∠BGE的度数。
【解析】
解：由三角板的角度特征可得：
在含30°角的三角板中，∠F=30°，∠B=90°，因此$∠ BAC=180°-∠ F-∠ B=180°-30°-90°=60°$；
在等腰直角三角板中，∠E=45°，∠D=90°，因此$∠ ECD=180°-∠ E-∠ D=180°-45°-90°=45°$，即$∠ ACG=45°$。
在$△ AGC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ AGC=180°-∠ BAC-∠ ACG=180°-60°-45°=75°$。
因为∠BGE与∠AGC是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ BGE=∠ AGC=75°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和，对顶角相等，三角板角度特征
【点评】
本题是基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握三角板的固定角度，准确识别图形中角的位置关系，结合三角形内角和、对顶角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确三角板的固定角度：含30°角的三角板另外两个内角为60°、90°，等腰直角三角板的两个锐角均为45°。观察图形可知∠BGE与∠AGC是对顶角，根据对顶角相等，只需先求出∠AGC的度数即可。我们可以先得到△AGC中两个已知内角∠BAC、∠ACG的度数，再结合三角形内角和为180°计算∠AGC，最终得到∠BGE的度数。
【解析】
解：由三角板的角度特征可得：
在含30°角的三角板中，∠F=30°，∠B=90°，因此$∠ BAC=180°-∠ F-∠ B=180°-30°-90°=60°$；
在等腰直角三角板中，∠E=45°，∠D=90°，因此$∠ ECD=180°-∠ E-∠ D=180°-45°-90°=45°$，即$∠ ACG=45°$。
在$△ AGC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ AGC=180°-∠ BAC-∠ ACG=180°-60°-45°=75°$。
因为∠BGE与∠AGC是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ BGE=∠ AGC=75°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和，对顶角相等，三角板角度特征
【点评】
本题是基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握三角板的固定角度，准确识别图形中角的位置关系，结合三角形内角和、对顶角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. (★★)如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ BAC = 90°$, $BF$ 平分 $∠ ABC$, $∠ AEF = ∠ AFE$. 求证: $△ ACD$ 是直角三角形.
答案
证明：
∵ BF 平分∠ABC，
∴ ∠ABF = ∠CBF。
∵ ∠BAC = 90°，
∴ 在△ABF中，∠ABF + ∠AFE = 180° - ∠BAC = 90°。
∵ ∠AEF = ∠AFE，∠AEF = ∠BED（对顶角相等），
∴ ∠BED = ∠AFE。
∴ ∠CBF + ∠BED = ∠ABF + ∠AFE = 90°。
∴ 在△BDE中，∠ADB = 180° - (∠CBF + ∠BED) = 90°，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ △ACD 是直角三角形。
∵ BF 平分∠ABC，
∴ ∠ABF = ∠CBF。
∵ ∠BAC = 90°，
∴ 在△ABF中，∠ABF + ∠AFE = 180° - ∠BAC = 90°。
∵ ∠AEF = ∠AFE，∠AEF = ∠BED（对顶角相等），
∴ ∠BED = ∠AFE。
∴ ∠CBF + ∠BED = ∠ABF + ∠AFE = 90°。
∴ 在△BDE中，∠ADB = 180° - (∠CBF + ∠BED) = 90°，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ △ACD 是直角三角形。
解析
【分析】
要证明△ACD是直角三角形，只需证明△ACD有一个内角为90°，即证明∠ADC=90°，可先证其邻补角∠ADB=90°。解题时先利用角平分线的性质得到一组相等的角，再结合Rt△ABF两锐角互余的性质，通过对顶角相等、已知的∠AEF=∠AFE进行等量代换，可得△BDE中两个锐角的和为90°，进而推出∠BDE=90°，即可得到∠ADC=90°，完成证明。
【解析】
证明：
∵ BF 平分∠ABC，
∴ ∠ABF = ∠CBF。
∵ ∠BAC = 90°，
∴ 在△ABF中，∠ABF + ∠AFE = 180° - ∠BAC = 90°。
∵ ∠AEF = ∠AFE，∠AEF = ∠BED（对顶角相等），
∴ ∠BED = ∠AFE。
∴ ∠CBF + ∠BED = ∠ABF + ∠AFE = 90°。
∴ 在△BDE中，∠ADB = 180° - (∠CBF + ∠BED) = 90°，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ △ACD 是直角三角形。
【答案】
△ACD是直角三角形
【知识点】
角平分线的定义、直角三角形的性质、对顶角相等
【点评】
本题是三角形角度证明的基础题型，核心考查角度的等量代换能力，解题的关键是理清角与角之间的关系，找准互余角的转化路径，熟练掌握角的相关性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.75
要证明△ACD是直角三角形，只需证明△ACD有一个内角为90°，即证明∠ADC=90°，可先证其邻补角∠ADB=90°。解题时先利用角平分线的性质得到一组相等的角，再结合Rt△ABF两锐角互余的性质，通过对顶角相等、已知的∠AEF=∠AFE进行等量代换，可得△BDE中两个锐角的和为90°，进而推出∠BDE=90°，即可得到∠ADC=90°，完成证明。
【解析】
证明：
∵ BF 平分∠ABC，
∴ ∠ABF = ∠CBF。
∵ ∠BAC = 90°，
∴ 在△ABF中，∠ABF + ∠AFE = 180° - ∠BAC = 90°。
∵ ∠AEF = ∠AFE，∠AEF = ∠BED（对顶角相等），
∴ ∠BED = ∠AFE。
∴ ∠CBF + ∠BED = ∠ABF + ∠AFE = 90°。
∴ 在△BDE中，∠ADB = 180° - (∠CBF + ∠BED) = 90°，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ △ACD 是直角三角形。
【答案】
△ACD是直角三角形
【知识点】
角平分线的定义、直角三角形的性质、对顶角相等
【点评】
本题是三角形角度证明的基础题型，核心考查角度的等量代换能力，解题的关键是理清角与角之间的关系，找准互余角的转化路径，熟练掌握角的相关性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.75
8. (★)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A - ∠ B=10°$，则$∠ A$的度数为 【 】
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆直角三角形的内角性质：直角三角形的两个锐角之和为90°。本题已知∠C为直角，同时给出了∠A与∠B的差，因此可以得到两个关于∠A、∠B的等量关系，联立两个式子即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ 根据直角三角形两锐角互余，可得$∠A + ∠B = 90°$ ①
又已知$∠A - ∠B=10°$ ②
将①+②，得：$2∠A = 100°$
解得：$∠A = 50°$
【答案】
A
【知识点】
1.直角三角形的性质
2.三角形内角和定理
【点评】
本题为基础题，核心考查直角三角形内角的相关性质，只需结合已知的角的和差关系即可计算出结果，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直角三角形的内角性质：直角三角形的两个锐角之和为90°。本题已知∠C为直角，同时给出了∠A与∠B的差，因此可以得到两个关于∠A、∠B的等量关系，联立两个式子即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ 根据直角三角形两锐角互余，可得$∠A + ∠B = 90°$ ①
又已知$∠A - ∠B=10°$ ②
将①+②，得：$2∠A = 100°$
解得：$∠A = 50°$
【答案】
A
【知识点】
1.直角三角形的性质
2.三角形内角和定理
【点评】
本题为基础题，核心考查直角三角形内角的相关性质，只需结合已知的角的和差关系即可计算出结果，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
