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15. (★★)如图,在$△ ABC$中,BE平分$∠ ABC$,$∠ 2=∠ 1+∠ C$.
(1)求证:$AD ⊥ BE$;
(2)若$∠ ABC=2∠ 1$,求证:$∠ BAC=90°$.
(1)求证:$AD ⊥ BE$;
(2)若$∠ ABC=2∠ 1$,求证:$∠ BAC=90°$.
答案
证明：
(1) ∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
∵ ∠AED是△BCE的外角，
∴ ∠AED = ∠CBE + ∠C。
∵ ∠2 = ∠1 + ∠C，
∴ ∠2 + ∠ABE = ∠1 + ∠C + ∠CBE = ∠1 + ∠AED。
在△ABD中，∠ADB = 180° - ∠2 - ∠ABE，
在△ADE中，∠ADE = 180° - ∠1 - ∠AED，
∴ ∠ADB = ∠ADE。
又∵ ∠ADB + ∠ADE = 180°，
∴ ∠ADB = ∠ADE = 90°，
∴ AD⊥BE。
(2) ∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABC = 2∠ABE。
∵ ∠ABC = 2∠1，
∴ ∠ABE = ∠1。
∵ ∠2 = ∠1 + ∠C，
∴ ∠C = ∠2 - ∠1。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC + ∠ABC + ∠C = 180°，
代入∠ABC=2∠1，∠C=∠2-∠1，得：
∠BAC + 2∠1 + ∠2 - ∠1 = 180°，
即∠BAC + (∠1 + ∠2) = 180°。
又∵ ∠BAC = ∠2 + ∠1，
∴ 2∠BAC = 180°，
∴ ∠BAC = 90°。
(1) ∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
∵ ∠AED是△BCE的外角，
∴ ∠AED = ∠CBE + ∠C。
∵ ∠2 = ∠1 + ∠C，
∴ ∠2 + ∠ABE = ∠1 + ∠C + ∠CBE = ∠1 + ∠AED。
在△ABD中，∠ADB = 180° - ∠2 - ∠ABE，
在△ADE中，∠ADE = 180° - ∠1 - ∠AED，
∴ ∠ADB = ∠ADE。
又∵ ∠ADB + ∠ADE = 180°，
∴ ∠ADB = ∠ADE = 90°，
∴ AD⊥BE。
(2) ∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABC = 2∠ABE。
∵ ∠ABC = 2∠1，
∴ ∠ABE = ∠1。
∵ ∠2 = ∠1 + ∠C，
∴ ∠C = ∠2 - ∠1。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC + ∠ABC + ∠C = 180°，
代入∠ABC=2∠1，∠C=∠2-∠1，得：
∠BAC + 2∠1 + ∠2 - ∠1 = 180°，
即∠BAC + (∠1 + ∠2) = 180°。
又∵ ∠BAC = ∠2 + ∠1，
∴ 2∠BAC = 180°，
∴ ∠BAC = 90°。
解析
【分析】
(1) 要证明AD⊥BE，本质是要证明AD与BE的夹角为90°。观察图形可知∠ADB与∠ADE是邻补角，和为180°，因此只需证明∠ADB=∠ADE，即可得到两个角均为90°。根据三角形内角和定理，要证∠ADB=∠ADE，只需证∠2+∠ABE=∠1+∠AED：首先由BE平分∠ABC可得∠ABE=∠CBE，再利用三角形外角的性质得∠AED=∠CBE+∠C，结合已知∠2=∠1+∠C，代入即可证得∠2+∠ABE=∠1+∠AED，进而完成垂直的证明。
(2) 要证明∠BAC=90°，可利用三角形内角和为180°推导：首先结合角平分线定义和已知∠ABC=2∠1，可得∠ABE=∠1；再将已知∠2=∠1+∠C变形为∠C=∠2-∠1，把∠ABC和∠C代入△ABC的内角和公式中，结合∠BAC=∠1+∠2，即可推导出2∠BAC=180°，进而得到∠BAC=90°。
【解析】
(1)
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
∵ ∠AED是△BCE的外角，
∴ ∠AED = ∠CBE + ∠C。
∵ ∠2 = ∠1 + ∠C，
∴ ∠2 + ∠ABE = ∠1 + ∠C + ∠CBE = ∠1 + ∠AED。
在△ABD中，∠ADB = 180° - ∠2 - ∠ABE，
在△ADE中，∠ADE = 180° - ∠1 - ∠AED，
∴ ∠ADB = ∠ADE。
又
∵ ∠ADB + ∠ADE = 180°，
∴ ∠ADB = ∠ADE = 90°，
∴ AD⊥BE。
(2)
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABC = 2∠ABE。
∵ ∠ABC = 2∠1，
∴ ∠ABE = ∠1。
∵ ∠2 = ∠1 + ∠C，
∴ ∠C = ∠2 - ∠1。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC + ∠ABC + ∠C = 180°，
代入∠ABC=2∠1，∠C=∠2-∠1，得：
∠BAC + 2∠1 + ∠2 - ∠1 = 180°，
即∠BAC + (∠1 + ∠2) = 180°。
又
∵ ∠BAC = ∠2 + ∠1，
∴ 2∠BAC = 180°，
∴ ∠BAC = 90°。
【答案】
(1) AD⊥BE得证；
(2) ∠BAC=90°得证。
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查角的等量代换能力，解题的核心是熟练运用角平分线、三角形内外角的相关性质，将已知条件和待证结论建立关联，通过合理的角代换即可完成证明，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD⊥BE，本质是要证明AD与BE的夹角为90°。观察图形可知∠ADB与∠ADE是邻补角，和为180°，因此只需证明∠ADB=∠ADE，即可得到两个角均为90°。根据三角形内角和定理，要证∠ADB=∠ADE，只需证∠2+∠ABE=∠1+∠AED：首先由BE平分∠ABC可得∠ABE=∠CBE，再利用三角形外角的性质得∠AED=∠CBE+∠C，结合已知∠2=∠1+∠C，代入即可证得∠2+∠ABE=∠1+∠AED，进而完成垂直的证明。
(2) 要证明∠BAC=90°，可利用三角形内角和为180°推导：首先结合角平分线定义和已知∠ABC=2∠1，可得∠ABE=∠1；再将已知∠2=∠1+∠C变形为∠C=∠2-∠1，把∠ABC和∠C代入△ABC的内角和公式中，结合∠BAC=∠1+∠2，即可推导出2∠BAC=180°，进而得到∠BAC=90°。
【解析】
(1)
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
∵ ∠AED是△BCE的外角，
∴ ∠AED = ∠CBE + ∠C。
∵ ∠2 = ∠1 + ∠C，
∴ ∠2 + ∠ABE = ∠1 + ∠C + ∠CBE = ∠1 + ∠AED。
在△ABD中，∠ADB = 180° - ∠2 - ∠ABE，
在△ADE中，∠ADE = 180° - ∠1 - ∠AED，
∴ ∠ADB = ∠ADE。
又
∵ ∠ADB + ∠ADE = 180°，
∴ ∠ADB = ∠ADE = 90°，
∴ AD⊥BE。
(2)
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABC = 2∠ABE。
∵ ∠ABC = 2∠1，
∴ ∠ABE = ∠1。
∵ ∠2 = ∠1 + ∠C，
∴ ∠C = ∠2 - ∠1。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC + ∠ABC + ∠C = 180°，
代入∠ABC=2∠1，∠C=∠2-∠1，得：
∠BAC + 2∠1 + ∠2 - ∠1 = 180°，
即∠BAC + (∠1 + ∠2) = 180°。
又
∵ ∠BAC = ∠2 + ∠1，
∴ 2∠BAC = 180°，
∴ ∠BAC = 90°。
【答案】
(1) AD⊥BE得证；
(2) ∠BAC=90°得证。
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查角的等量代换能力，解题的核心是熟练运用角平分线、三角形内外角的相关性质，将已知条件和待证结论建立关联，通过合理的角代换即可完成证明，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
16. (★★★)(1)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线相交于点$O$,若$∠ A=42°$,求$∠ BOC$的度数;
(2)把(1)中“$∠ A=42°$”这个条件去掉,试探索$∠ BOC$和$∠ A$之间有怎样的数量关系.
(2)把(1)中“$∠ A=42°$”这个条件去掉,试探索$∠ BOC$和$∠ A$之间有怎样的数量关系.
答案
解：(1) 在△ABC中，
∵ ∠A = 42°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 42° = 138°。
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×138° = 69°。
在△BOC中，
∠BOC = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - 69° = 111°。
(2) 在△ABC中，
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A。
在△BOC中，
∠BOC = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - (90° - $\frac{1}{2}$∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A。
即∠BOC和∠A的数量关系为：$\boldsymbol{∠BOC = 90° + \frac{1}{2}∠A}$。
∵ ∠A = 42°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 42° = 138°。
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×138° = 69°。
在△BOC中，
∠BOC = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - 69° = 111°。
(2) 在△ABC中，
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A。
在△BOC中，
∠BOC = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - (90° - $\frac{1}{2}$∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A。
即∠BOC和∠A的数量关系为：$\boldsymbol{∠BOC = 90° + \frac{1}{2}∠A}$。
解析
【分析】
(1) 求解∠BOC的度数可按照三步思路推导：首先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A的度数，先求出△ABC中∠ABC与∠ACB的度数和；再根据角平分线的定义，可得∠1、∠2分别是∠ABC、∠ACB的一半，进而求出∠1与∠2的度数和；最后再次利用三角形内角和定理，在△BOC中计算出∠BOC的度数。
(2) 探索∠BOC和∠A的通用数量关系时，只需将(1)中∠A的具体数值替换为∠A，沿用上述推导逻辑即可得到两者的关系式。
【解析】
(1) 在△ABC中，
∵ ∠A = 42°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 42° = 138°。
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×138° = 69°。
在△BOC中，
∠BOC = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - 69° = 111°。
(2) 在△ABC中，
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A。
在△BOC中，
∠BOC = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - (90° - $\frac{1}{2}$∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A。
【答案】
(1) $\boldsymbol{111°}$；(2) $\boldsymbol{∠BOC = 90° + \frac{1}{2}∠A}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，角的和差运算
【点评】
本题是三角形内角性质与角平分线定义的典型综合题，解题核心是通过角平分线的性质建立大三角形内角和小三角形内角的关联，推导得出的∠BOC与∠A的数量关系是常考结论，熟练掌握该结论可提高同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠BOC的度数可按照三步思路推导：首先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A的度数，先求出△ABC中∠ABC与∠ACB的度数和；再根据角平分线的定义，可得∠1、∠2分别是∠ABC、∠ACB的一半，进而求出∠1与∠2的度数和；最后再次利用三角形内角和定理，在△BOC中计算出∠BOC的度数。
(2) 探索∠BOC和∠A的通用数量关系时，只需将(1)中∠A的具体数值替换为∠A，沿用上述推导逻辑即可得到两者的关系式。
【解析】
(1) 在△ABC中，
∵ ∠A = 42°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 42° = 138°。
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×138° = 69°。
在△BOC中，
∠BOC = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - 69° = 111°。
(2) 在△ABC中，
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A。
在△BOC中，
∠BOC = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - (90° - $\frac{1}{2}$∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A。
【答案】
(1) $\boldsymbol{111°}$；(2) $\boldsymbol{∠BOC = 90° + \frac{1}{2}∠A}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，角的和差运算
【点评】
本题是三角形内角性质与角平分线定义的典型综合题，解题核心是通过角平分线的性质建立大三角形内角和小三角形内角的关联，推导得出的∠BOC与∠A的数量关系是常考结论，熟练掌握该结论可提高同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
17. (★★★)如图,在$△ ABC$中,点D在边BC上,点E在边AC上,连接AD,DE,$∠ B=60°$.
(1)若$∠ 3=60°$,试说明$∠ 1=∠ 2$;
(2)若$∠ C=40°$,$∠ 1=50°$,且$∠ 3=∠ 4$,求$∠ 2$的度数.
(1)若$∠ 3=60°$,试说明$∠ 1=∠ 2$;
(2)若$∠ C=40°$,$∠ 1=50°$,且$∠ 3=∠ 4$,求$∠ 2$的度数.
答案
解：
(1) 由三角形外角的性质，得∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠1，
又∵ ∠ADC = ∠3 + ∠2，
∴ ∠3 + ∠2 = ∠B + ∠1，
∵ ∠B = 60°，∠3 = 60°，
代入得60° + ∠2 = 60° + ∠1，
∴ ∠1 = ∠2。
(2) 在△ABC中，由三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 60° - 40° = 80°，
∵ ∠1 = 50°，
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠1 = 80° - 50° = 30°，
在△ADE中，∠DAC + ∠3 + ∠4 = 180°，
又∵ ∠3 = ∠4，
∴ 2∠4 = 180° - 30° = 150°，
解得∠4 = 75°，
由三角形外角的性质，得∠4是△DEC的外角，
∴ ∠4 = ∠2 + ∠C，
∴ ∠2 = ∠4 - ∠C = 75° - 40° = 35°。
综上，∠2的度数为35°。
(1) 由三角形外角的性质，得∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠1，
又∵ ∠ADC = ∠3 + ∠2，
∴ ∠3 + ∠2 = ∠B + ∠1，
∵ ∠B = 60°，∠3 = 60°，
代入得60° + ∠2 = 60° + ∠1，
∴ ∠1 = ∠2。
(2) 在△ABC中，由三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 60° - 40° = 80°，
∵ ∠1 = 50°，
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠1 = 80° - 50° = 30°，
在△ADE中，∠DAC + ∠3 + ∠4 = 180°，
又∵ ∠3 = ∠4，
∴ 2∠4 = 180° - 30° = 150°，
解得∠4 = 75°，
由三角形外角的性质，得∠4是△DEC的外角，
∴ ∠4 = ∠2 + ∠C，
∴ ∠2 = ∠4 - ∠C = 75° - 40° = 35°。
综上，∠2的度数为35°。
解析
【分析】
(1) 要证明∠1=∠2，首先观察角的位置，∠ADC是△ABD的外角，根据外角性质可得∠ADC=∠B+∠1；同时∠ADC可拆分为∠3+∠2，因此可得到∠B+∠1=∠3+∠2，代入已知的∠B=60°、∠3=60°，即可推出∠1=∠2。
(2) 要求∠2的度数，首先在△ABC中，利用三角形内角和定理算出∠BAC的度数，减去已知的∠1得到∠DAC的度数；再在△ADE中，结合∠3=∠4的条件，用内角和定理算出∠4的度数；最后观察∠4是△DEC的外角，根据外角性质∠4=∠C+∠2，代入已知的∠C和算出的∠4，即可求出∠2的度数。
【解析】
(1) 由三角形外角的性质，得∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠1，
又
∵ ∠ADC = ∠3 + ∠2，
∴ ∠3 + ∠2 = ∠B + ∠1，
∵ ∠B = 60°，∠3 = 60°，
代入得60° + ∠2 = 60° + ∠1，
∴ ∠1 = ∠2。
(2) 在△ABC中，由三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 60° - 40° = 80°，
∵ ∠1 = 50°，
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠1 = 80° - 50° = 30°，
在△ADE中，∠DAC + ∠3 + ∠4 = 180°，
又
∵ ∠3 = ∠4，
∴ 2∠4 = 180° - 30° = 150°，
解得∠4 = 75°，
由三角形外角的性质，得∠4是△DEC的外角，
∴ ∠4 = ∠2 + ∠C，
∴ ∠2 = ∠4 - ∠C = 75° - 40° = 35°。
【答案】
(1) 可证得∠1=∠2；
(2) ∠2的度数为35°。
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质，角度计算
【点评】
本题属于基础几何角度证明与计算类题目，重点考查三角形内角和、外角性质的应用，解题关键是准确识别角的位置关系，理清各角的和差逻辑，熟练运用相关定理即可顺利求解，能够很好地巩固三角形角度相关的核心知识点。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠1=∠2，首先观察角的位置，∠ADC是△ABD的外角，根据外角性质可得∠ADC=∠B+∠1；同时∠ADC可拆分为∠3+∠2，因此可得到∠B+∠1=∠3+∠2，代入已知的∠B=60°、∠3=60°，即可推出∠1=∠2。
(2) 要求∠2的度数，首先在△ABC中，利用三角形内角和定理算出∠BAC的度数，减去已知的∠1得到∠DAC的度数；再在△ADE中，结合∠3=∠4的条件，用内角和定理算出∠4的度数；最后观察∠4是△DEC的外角，根据外角性质∠4=∠C+∠2，代入已知的∠C和算出的∠4，即可求出∠2的度数。
【解析】
(1) 由三角形外角的性质，得∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠1，
又
∵ ∠ADC = ∠3 + ∠2，
∴ ∠3 + ∠2 = ∠B + ∠1，
∵ ∠B = 60°，∠3 = 60°，
代入得60° + ∠2 = 60° + ∠1，
∴ ∠1 = ∠2。
(2) 在△ABC中，由三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 60° - 40° = 80°，
∵ ∠1 = 50°，
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠1 = 80° - 50° = 30°，
在△ADE中，∠DAC + ∠3 + ∠4 = 180°，
又
∵ ∠3 = ∠4，
∴ 2∠4 = 180° - 30° = 150°，
解得∠4 = 75°，
由三角形外角的性质，得∠4是△DEC的外角，
∴ ∠4 = ∠2 + ∠C，
∴ ∠2 = ∠4 - ∠C = 75° - 40° = 35°。
【答案】
(1) 可证得∠1=∠2；
(2) ∠2的度数为35°。
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质，角度计算
【点评】
本题属于基础几何角度证明与计算类题目，重点考查三角形内角和、外角性质的应用，解题关键是准确识别角的位置关系，理清各角的和差逻辑，熟练运用相关定理即可顺利求解，能够很好地巩固三角形角度相关的核心知识点。
【难度系数】
0.7
