9. (★)如图,在$△ ABC$中,AD为$△ ABC$的角平分线,BE为$△ ABC$的高,$∠ C = 70°$,$∠ ABC=48°$,那么$∠ BFD$的度数为 【 】

A.$59°$
B.$60°$
C.$56°$
D.$22°$

A

在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-70°-48°=62°。
因为AD是△ABC的角平分线，所以∠CAD=1/2∠BAC=31°。
因为BE是△ABC的高，所以∠AEF=90°，在Rt△AEF中，∠AFE=90°-∠CAD=59°。
由于∠BFD与∠AFE是对顶角，因此∠BFD=∠AFE=59°。

10. (★★)有下列条件:①$∠ A+∠ B=∠ C$;②$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$;③$∠ A=90°-∠ B$;④$∠ A=∠ B=2∠ C$;⑤$∠ A=2∠ B=3∠ C$.其中,能确定$△ ABC$是直角三角形的条件有
【 】

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

B

根据三角形内角和为180°逐个分析条件：
① 由∠A+∠B=∠C，代入∠A+∠B+∠C=180°，得2∠C=180°，∠C=90°，是直角三角形；
② 设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，x+2x+3x=180°，解得x=30°，∠C=90°，是直角三角形；
③ 由∠A=90°-∠B，得∠A+∠B=90°，则∠C=180°-90°=90°，是直角三角形；
④ 由∠A=∠B=2∠C，代入内角和得2∠C+2∠C+∠C=180°，解得∠C=36°，∠A=∠B=72°，不是直角三角形；
⑤ 设∠A=k，则∠B=k/2，∠C=k/3，代入内角和得k + k/2 + k/3=180°，解得k=1080°/11≠90°，不是直角三角形。
综上，能确定△ABC是直角三角形的条件共3个。

11. (★★)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD,BE相交于点P,则∠APB的度数为 【 】

A.135°
B.125°
C.130°
D.120°

A

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，由三角形内角和定理可得∠BAC + ∠ABC = 180° - ∠ACB = 90°。因为AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，所以∠PAB = 1/2∠BAC，∠PBA = 1/2∠ABC，因此∠PAB + ∠PBA = 1/2(∠BAC + ∠ABC) = 45°。在△APB中，∠APB = 180° - (∠PAB + ∠PBA) = 180° - 45° = 135°。

12. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 30°$,$∠ C = 62°$,$AE$平分$∠ BAC$.
(1)求$∠ BAE$的度数;
(2)若$AD ⊥ BC$于点$D$,$∠ ADF = 74°$,求证:$△ ADF$是直角三角形.

解：(1) 在△ABC中，
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 62° = 88°
∵ AE平分∠BAC
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×88° = 44°
证明：(2) ∵ AD⊥BC
∴ ∠ADB = 90°
在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°
∵ ∠BAE = 44°
∴ ∠DAF = ∠BAD - ∠BAE = 60° - 44° = 16°
又∵ ∠ADF = 74°
∴ ∠DAF + ∠ADF = 16° + 74° = 90°
∴ ∠AFD = 180° - (∠DAF + ∠ADF) = 90°
∴ △ADF是直角三角形。

13. (★★★)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中, $∠ ACB = 90°$, $∠ B = 42°$, 将其折叠, 使点A落在边BC上的$A'$处, 折痕为CD, 则$∠ A'DB$的度数为.

$\boldsymbol{6°}$

解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=42°$，
$\therefore ∠ A = 180° - ∠ ACB - ∠ B = 180° - 90° - 42° = 48°$。
由折叠的性质可得：$∠ CA'D = ∠ A = 48°$。
$\because ∠ CA'D$是$△ A'BD$的外角，
$\therefore ∠ CA'D = ∠ B + ∠ A'DB$，
$\therefore ∠ A'DB = ∠ CA'D - ∠ B = 48° - 42° = 6°$。
最终

14. (★★★)如图,在$△ ABC$中,BD平分$∠ ABC$,$BD⊥ AC$于点D,点F在AC上,点E在AB的延长线上,连接EF交BC于点G,且$∠ ABC=2∠ E$.
(1)试问:EF与AC有怎样的位置关系?请说明理由.
(2)若$∠ E=40°$,请求出$∠ C$的度数.

解：
(1) $EF ⊥ AC$，理由如下：
∵ BD 平分 $∠ ABC$，
∴ $∠ ABC = 2∠ ABD$。
又∵ $∠ ABC = 2∠ E$，
∴ $∠ ABD = ∠ E$，
∴ $BD // EF$（同位角相等，两直线平行）。
∵ $BD ⊥ AC$，即 $∠ BDC = 90°$，
∴ $∠ EFC = ∠ BDC = 90°$，
∴ $EF ⊥ AC$。
(2) ∵ $∠ E = 40°$，
∴ $∠ ABC = 2∠ E = 80°$。
∵ BD 平分 $∠ ABC$，
∴ $∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC = 40°$。
又∵ $BD ⊥ AC$，
∴ $∠ BDC = 90°$。
在 $△ BDC$ 中，
$∠ C = 180° - ∠ BDC - ∠ DBC = 180° - 90° - 40° = 50°$。
综上，(1) $EF ⊥ AC$；(2) $∠ C = 50°$。