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4. 如图是$4×4$的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色. 现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小方格有（
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
C
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
4.C
解析
【分析】
解题首先要明确轴对称图形的核心特征：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合。思考时可按以下步骤进行：第一步，先梳理4×4网格中所有可能作为该图形对称轴的直线，包括水平方向、竖直方向、两条对角线方向，以及其他斜向的对称轴；第二步，对每一条可能的对称轴，判断如果要让现有3个黑格沿该对称轴对称，需要补充的黑格位置在哪里；第三步，统计这些补充位置的总数量，注意排除重复的位置，最终得到符合要求的白格数。
【解析】
根据轴对称图形的定义，我们逐一排查所有可能的对称轴：
1. 取竖直方向（第2、3列之间的竖线）为对称轴，补充涂黑第2行第1列的白格，图形满足轴对称；
2. 取水平方向（第2、3行之间的横线）为对称轴，补充涂黑第3行第2列的白格，图形满足轴对称；
3. 取左上到右下的对角线为对称轴，补充涂黑对应位置的白格，图形满足轴对称；
4. 取右上到左下的对角线为对称轴，补充涂黑对应位置的白格，图形满足轴对称；
5. 取斜向的其他对称轴，补充涂黑对应位置的白格，图形满足轴对称。
经统计，共有5个不同的白色小方格符合要求。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的概念、轴对称的性质、网格对称作图
【点评】
本题属于轴对称的基础应用类题目，解题的关键是全面考虑不同方向的对称轴，避免因遗漏对称轴导致漏算符合要求的格子。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确轴对称图形的核心特征：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合。思考时可按以下步骤进行：第一步，先梳理4×4网格中所有可能作为该图形对称轴的直线，包括水平方向、竖直方向、两条对角线方向，以及其他斜向的对称轴；第二步，对每一条可能的对称轴，判断如果要让现有3个黑格沿该对称轴对称，需要补充的黑格位置在哪里；第三步，统计这些补充位置的总数量，注意排除重复的位置，最终得到符合要求的白格数。
【解析】
根据轴对称图形的定义，我们逐一排查所有可能的对称轴：
1. 取竖直方向（第2、3列之间的竖线）为对称轴，补充涂黑第2行第1列的白格，图形满足轴对称；
2. 取水平方向（第2、3行之间的横线）为对称轴，补充涂黑第3行第2列的白格，图形满足轴对称；
3. 取左上到右下的对角线为对称轴，补充涂黑对应位置的白格，图形满足轴对称；
4. 取右上到左下的对角线为对称轴，补充涂黑对应位置的白格，图形满足轴对称；
5. 取斜向的其他对称轴，补充涂黑对应位置的白格，图形满足轴对称。
经统计，共有5个不同的白色小方格符合要求。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的概念、轴对称的性质、网格对称作图
【点评】
本题属于轴对称的基础应用类题目，解题的关键是全面考虑不同方向的对称轴，避免因遗漏对称轴导致漏算符合要求的格子。
【难度系数】
0.6
5. 如图，图案是由一个窗花通过轴对称变换而形成的，则变换次数最多和最少分别是（
A.5,3
B.8,4
C.9,4
D.以上都不对
C
）A.5,3
B.8,4
C.9,4
D.以上都不对
答案
5.C
解析
【分析】
首先明确轴对称变换的定义：将一个图形沿某条直线翻折，得到其对称图形的过程称为1次轴对称变换，每次变换可自主选择要翻折的图形范围。要计算最多和最少变换次数，分两种极端情况思考：①求最多变换次数时，每次仅选择1个现有窗花做翻折，每次仅新增1个窗花，总窗花数减去初始的1个就是最多变换次数；②求最少变换次数时，每次尽可能选择所有现有窗花整体翻折，让每次变换后窗花数量翻倍，计算得到至少目标数量的窗花需要的次数即可。
【解析】
首先数出最终图案总共有10个窗花：
1. 计算最多变换次数：初始有1个窗花，若每次仅对1个窗花做轴对称变换，每次仅新增1个窗花，要得到10个窗花，需要的变换次数为$10-1=9$次；
2. 计算最少变换次数：每次选择所有现有窗花整体做轴对称变换，每次变换后窗花数量翻倍：
第1次变换后：$1×2=2$个；
第2次变换后：$2×2=4$个；
第3次变换后：$4×2=8$个；
此时8个＜10个，还需要再做1次变换，选择部分窗花翻折得到剩余2个新窗花，刚好得到10个，因此最少需要$3+1=4$次。
综上，变换次数最多是9次，最少是4次，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称变换，轴对称的应用
【点评】
本题考查轴对称变换的实际应用，解题核心是理解轴对称变换的特点，分别考虑每次新增图形最少、最多的两种极端情况，解题时要注意准确数出最终图案的窗花总数，避免因计数错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.65
首先明确轴对称变换的定义：将一个图形沿某条直线翻折，得到其对称图形的过程称为1次轴对称变换，每次变换可自主选择要翻折的图形范围。要计算最多和最少变换次数，分两种极端情况思考：①求最多变换次数时，每次仅选择1个现有窗花做翻折，每次仅新增1个窗花，总窗花数减去初始的1个就是最多变换次数；②求最少变换次数时，每次尽可能选择所有现有窗花整体翻折，让每次变换后窗花数量翻倍，计算得到至少目标数量的窗花需要的次数即可。
【解析】
首先数出最终图案总共有10个窗花：
1. 计算最多变换次数：初始有1个窗花，若每次仅对1个窗花做轴对称变换，每次仅新增1个窗花，要得到10个窗花，需要的变换次数为$10-1=9$次；
2. 计算最少变换次数：每次选择所有现有窗花整体做轴对称变换，每次变换后窗花数量翻倍：
第1次变换后：$1×2=2$个；
第2次变换后：$2×2=4$个；
第3次变换后：$4×2=8$个；
此时8个＜10个，还需要再做1次变换，选择部分窗花翻折得到剩余2个新窗花，刚好得到10个，因此最少需要$3+1=4$次。
综上，变换次数最多是9次，最少是4次，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称变换，轴对称的应用
【点评】
本题考查轴对称变换的实际应用，解题核心是理解轴对称变换的特点，分别考虑每次新增图形最少、最多的两种极端情况，解题时要注意准确数出最终图案的窗花总数，避免因计数错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.65
6. 如图，分别在4×4的方格纸中补全以直线m，n，p为对称轴的轴对称图形.
m
n
p
①
③
m
n
p
①
③
答案
6. 如图。
解析
【分析】
要补全轴对称图形，需依据轴对称的性质解题：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。解题思路如下：第一步，先找到已知的半个图形的所有顶点（即作图关键点）；第二步，逐个确定这些顶点关于给定对称轴的对称点，借助方格纸可直接数格子，保证对称点到对称轴的距离和原顶点到对称轴的距离相等；第三步，将所有对称点按照原图形的连接顺序依次相连，即可得到完整的轴对称图形。
【解析】
1. 首先标记出已知图形的所有顶点（关键点）；
2. 对每个顶点作对应对称轴的对称点：过顶点向对称轴作垂线，在对称轴另一侧的格点上，找到与原顶点到对称轴距离相等的点，即为该顶点的对称点；
3. 按照原图形的顶点连接顺序，顺次连接各个对称点，即可补全轴对称图形。
【答案】
【知识点】
轴对称的性质、作轴对称图形
【点评】
本题是基础的轴对称作图题，核心是理解轴对称的性质，掌握“找关键点→作对称点→顺次连线”的作图步骤，是轴对称相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
要补全轴对称图形，需依据轴对称的性质解题：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。解题思路如下：第一步，先找到已知的半个图形的所有顶点（即作图关键点）；第二步，逐个确定这些顶点关于给定对称轴的对称点，借助方格纸可直接数格子，保证对称点到对称轴的距离和原顶点到对称轴的距离相等；第三步，将所有对称点按照原图形的连接顺序依次相连，即可得到完整的轴对称图形。
【解析】
1. 首先标记出已知图形的所有顶点（关键点）；
2. 对每个顶点作对应对称轴的对称点：过顶点向对称轴作垂线，在对称轴另一侧的格点上，找到与原顶点到对称轴距离相等的点，即为该顶点的对称点；
3. 按照原图形的顶点连接顺序，顺次连接各个对称点，即可补全轴对称图形。
【答案】
【知识点】
轴对称的性质、作轴对称图形
【点评】
本题是基础的轴对称作图题，核心是理解轴对称的性质，掌握“找关键点→作对称点→顺次连线”的作图步骤，是轴对称相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
7. 如图,已知AB和B'C'是两个以直线MN为对称轴的三角形的两边,试画出完整的△ABC和△A'B'C'.
答案
7. 如图,△ABC 和△A'B'C'即为所求。
解析
【分析】
要画出关于直线MN对称的两个三角形，需利用轴对称的性质：成轴对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分。首先明确已知点的对应关系：点A的对称点是A'，点C'的对称点是C，点B的对称点是已知的B'。我们只需要先作出未知的对称点C和A'，再分别补全两个三角形的边即可。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作点A关于直线MN的对称点A'：过点A作MN的垂线，垂足记为点O，在MN的右侧延长垂线段，截取OA'=OA，即得到A的对称点A'；
2. 作点C'关于直线MN的对称点C：过点C'作MN的垂线，垂足记为点P，在MN的左侧延长垂线段，截取PC=PC'，即得到C'的对称点C；
3. 左侧连接AC、BC，得到完整的△ABC；右侧连接A'B'、A'C'，得到完整的△A'B'C'。
【答案】
如图,△ABC 和△A'B'C'即为所求。
【知识点】
轴对称的性质，作轴对称图形
【点评】
本题是基础的轴对称作图题，解题核心是掌握轴对称图形对应点的作图方法，作图时要注意保留作图痕迹，标注必要的垂直、等长标识，保证作图规范。
【难度系数】
0.8
要画出关于直线MN对称的两个三角形，需利用轴对称的性质：成轴对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分。首先明确已知点的对应关系：点A的对称点是A'，点C'的对称点是C，点B的对称点是已知的B'。我们只需要先作出未知的对称点C和A'，再分别补全两个三角形的边即可。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作点A关于直线MN的对称点A'：过点A作MN的垂线，垂足记为点O，在MN的右侧延长垂线段，截取OA'=OA，即得到A的对称点A'；
2. 作点C'关于直线MN的对称点C：过点C'作MN的垂线，垂足记为点P，在MN的左侧延长垂线段，截取PC=PC'，即得到C'的对称点C；
3. 左侧连接AC、BC，得到完整的△ABC；右侧连接A'B'、A'C'，得到完整的△A'B'C'。
【答案】
如图,△ABC 和△A'B'C'即为所求。
【知识点】
轴对称的性质，作轴对称图形
【点评】
本题是基础的轴对称作图题，解题核心是掌握轴对称图形对应点的作图方法，作图时要注意保留作图痕迹，标注必要的垂直、等长标识，保证作图规范。
【难度系数】
0.8
8. 在如图所示的网格中：
(1)画$△ A_1B_1C_1$，使它与$△ ABC$关于直线$l_1$对称；
(2)画$△ A_2B_2C_2$，使它与$△ A_1B_1C_1$关于直线$l_2$对称；
(3)画出$△ A_2B_2C_2$与$△ ABC$的对称轴。
(1)画$△ A_1B_1C_1$，使它与$△ ABC$关于直线$l_1$对称；
(2)画$△ A_2B_2C_2$，使它与$△ A_1B_1C_1$关于直线$l_2$对称；
(3)画出$△ A_2B_2C_2$与$△ ABC$的对称轴。
答案
8. (1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)如图,△A₂B₂C₂即为所求.
(3)如图,直线l₃即为所求.
解析
【分析】
要完成本题的作图，需依据轴对称的性质解题：① 关于某条直线对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分，所以作一个图形关于直线对称的图形，核心是找出各顶点关于对称轴的对称点，再顺次连接对称点即可；② 两个成轴对称的图形的对称轴是任意两组对应点连线的垂直平分线。
解题步骤思路：
1. 作△ABC关于l₁的对称图形：先找A、B、C三点关于l₁的对称点A₁、B₁、C₁，连接三点得到△A₁B₁C₁；
2. 作△A₁B₁C₁关于l₂的对称图形：同理找A₁、B₁、C₁关于l₂的对称点A₂、B₂、C₂，连接得到△A₂B₂C₂；
3. 作△A₂B₂C₂和△ABC的对称轴：找两组对应点，作它们连线的垂直平分线，即为所求对称轴。
【解析】
(1) 作△ABC关于直线l₁对称的△A₁B₁C₁：
① 分别过点A、B、C作直线l₁的垂线，标注垂足；
② 分别在垂线上垂足的另一侧取点，使点到垂足的距离等于原顶点到垂足的距离，得到A、B、C关于l₁的对称点A₁、B₁、C₁；
③ 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁。
(2) 作△A₁B₁C₁关于直线l₂对称的△A₂B₂C₂：
按照(1)的方法，分别作出A₁、B₁、C₁关于直线l₂的对称点A₂、B₂、C₂，顺次连接三点得到△A₂B₂C₂。
(3) 作△A₂B₂C₂与△ABC的对称轴：
连接对应点A和A₂、B和B₂，分别作这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线重合的直线l₃即为所求的对称轴，也可直接观察网格特征确定直线l₃。
【答案】
(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)如图,△A₂B₂C₂即为所求.
(3)如图,直线l₃即为所求.
【知识点】
作轴对称图形，轴对称的性质，对称轴的画法
【点评】
本题是基础的网格作图题，核心考查轴对称相关的作图技能，只要掌握“找对称点、顺次连线”的作图步骤，就能准确完成作图，解题时注意结合网格特征确定对称点位置，保证作图精度。
【难度系数】
0.8
要完成本题的作图，需依据轴对称的性质解题：① 关于某条直线对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分，所以作一个图形关于直线对称的图形，核心是找出各顶点关于对称轴的对称点，再顺次连接对称点即可；② 两个成轴对称的图形的对称轴是任意两组对应点连线的垂直平分线。
解题步骤思路：
1. 作△ABC关于l₁的对称图形：先找A、B、C三点关于l₁的对称点A₁、B₁、C₁，连接三点得到△A₁B₁C₁；
2. 作△A₁B₁C₁关于l₂的对称图形：同理找A₁、B₁、C₁关于l₂的对称点A₂、B₂、C₂，连接得到△A₂B₂C₂；
3. 作△A₂B₂C₂和△ABC的对称轴：找两组对应点，作它们连线的垂直平分线，即为所求对称轴。
【解析】
(1) 作△ABC关于直线l₁对称的△A₁B₁C₁：
① 分别过点A、B、C作直线l₁的垂线，标注垂足；
② 分别在垂线上垂足的另一侧取点，使点到垂足的距离等于原顶点到垂足的距离，得到A、B、C关于l₁的对称点A₁、B₁、C₁；
③ 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁。
(2) 作△A₁B₁C₁关于直线l₂对称的△A₂B₂C₂：
按照(1)的方法，分别作出A₁、B₁、C₁关于直线l₂的对称点A₂、B₂、C₂，顺次连接三点得到△A₂B₂C₂。
(3) 作△A₂B₂C₂与△ABC的对称轴：
连接对应点A和A₂、B和B₂，分别作这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线重合的直线l₃即为所求的对称轴，也可直接观察网格特征确定直线l₃。
【答案】
(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)如图,△A₂B₂C₂即为所求.
(3)如图,直线l₃即为所求.
【知识点】
作轴对称图形，轴对称的性质，对称轴的画法
【点评】
本题是基础的网格作图题，核心考查轴对称相关的作图技能，只要掌握“找对称点、顺次连线”的作图步骤，就能准确完成作图，解题时注意结合网格特征确定对称点位置，保证作图精度。
【难度系数】
0.8
9. 正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉,要求种植的花卉能组成轴对称图形.下面是两种不同设计方案中的一部分,请把图①、图②补成轴对称图形,并画出一条对称轴(在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉).
答案
9. 如图所示(答案不唯一).
解析
【分析】
要补全轴对称图形，首先需明确轴对称图形的特征：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合。解题可按以下思路进行：第一步先选定一条直线作为对称轴，第二步找出已有阴影部分的所有顶点（关键点），第三步根据“对称点的连线被对称轴垂直平分”的性质，画出每个关键点关于对称轴的对称点，第四步按照原有阴影的形状依次连接对称点，将得到的图形涂为阴影，最后标出对称轴即可。由于对称轴的选择不唯一，因此最终设计的图案也不唯一，只要符合轴对称要求即可。
【解析】
补图步骤如下：
1. 确定对称轴：图①选择水平直线$l$作为对称轴，图②选择竖直直线$l$作为对称轴（也可选择其他合适的直线作为对称轴）；
2. 找关键点：分别提取图①、图②中已有阴影部分的所有顶点作为关键点；
3. 作对称点：根据轴对称的性质，依次作出每个关键点关于所选对称轴的对称点；
4. 绘制阴影：按照原阴影的轮廓，顺次连接各对称点，将连接得到的封闭区域涂为阴影；
5. 标注对称轴：在图中标出所选的对称轴$l$。
最终得到的图形沿对称轴$l$折叠后，直线两旁的阴影部分和非阴影部分均能完全重合，符合题目要求。
【答案】
如图所示(答案不唯一).
【知识点】
轴对称图形概念，作轴对称图形，轴对称的性质
【点评】
本题属于开放性作图题，结合实际场景考查轴对称的相关知识，只要掌握作轴对称图形的基本方法就能完成，作答时注意对称点位置要准确，保证图形满足轴对称的要求即可。
【难度系数】
0.8
要补全轴对称图形，首先需明确轴对称图形的特征：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合。解题可按以下思路进行：第一步先选定一条直线作为对称轴，第二步找出已有阴影部分的所有顶点（关键点），第三步根据“对称点的连线被对称轴垂直平分”的性质，画出每个关键点关于对称轴的对称点，第四步按照原有阴影的形状依次连接对称点，将得到的图形涂为阴影，最后标出对称轴即可。由于对称轴的选择不唯一，因此最终设计的图案也不唯一，只要符合轴对称要求即可。
【解析】
补图步骤如下：
1. 确定对称轴：图①选择水平直线$l$作为对称轴，图②选择竖直直线$l$作为对称轴（也可选择其他合适的直线作为对称轴）；
2. 找关键点：分别提取图①、图②中已有阴影部分的所有顶点作为关键点；
3. 作对称点：根据轴对称的性质，依次作出每个关键点关于所选对称轴的对称点；
4. 绘制阴影：按照原阴影的轮廓，顺次连接各对称点，将连接得到的封闭区域涂为阴影；
5. 标注对称轴：在图中标出所选的对称轴$l$。
最终得到的图形沿对称轴$l$折叠后，直线两旁的阴影部分和非阴影部分均能完全重合，符合题目要求。
【答案】
如图所示(答案不唯一).
【知识点】
轴对称图形概念，作轴对称图形，轴对称的性质
【点评】
本题属于开放性作图题，结合实际场景考查轴对称的相关知识，只要掌握作轴对称图形的基本方法就能完成，作答时注意对称点位置要准确，保证图形满足轴对称的要求即可。
【难度系数】
0.8
