知识梳理
知识点 用坐标表示轴对称
1. 点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为.
2. 点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为.
重点提示
1. 要得到一个点关于$x$轴对称的对称点的坐标，只要把该点的纵坐标乘$-1$即可.
2. 要得到一个点关于$y$轴对称的对称点的坐标，只要把该点的横坐标乘$-1$即可.
要点提示
理解一个点关于坐标轴的对称点的特征时，可以简记为：
(1)关于$x$轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于$y$轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.

1. $(x,-y)$
2. $(-x,y)$

【分析】
解题时可结合轴对称的翻折特点推导坐标变化：①关于x轴对称可理解为将点沿x轴上下翻折，翻折后点的水平位置不变，因此横坐标保持不变，竖直位置与原位置关于x轴对称，所以纵坐标变为原来的相反数；②关于y轴对称可理解为将点沿y轴左右翻折，翻折后点的竖直位置不变，因此纵坐标保持不变，水平位置与原位置关于y轴对称，所以横坐标变为原来的相反数，结合这个规律即可推导对应对称点的坐标。
【解析】
1. 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此点$(x,y)$关于x轴对称的点的坐标为$(x,-y)$；
2. 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，因此点$(x,y)$关于y轴对称的点的坐标为$(-x,y)$。
【答案】
1. $(x,-y)$
2. $(-x,y)$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征、关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是对坐标表示轴对称基础规律的考查，属于识记类基础题，熟记对应坐标变化规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9

例 如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,-1).
(1)请以x轴为对称轴,画出与△ABC对称的△A₁B₁C₁,并写出点B₁的坐标;
(2)连接BA₁,CA₁,请直接写出△BCA₁的
面积.

分析:(1)根据关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数得到点A,B,C的对称点A₁,B₁,C₁的坐标,描出点A₁,B₁,C₁,再顺次连接点A₁,B₁,C₁即可.
(2)利用割补法求解即可.
解:(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求;
B₁(5,4).

(2)如图,△BCA₁的面积为2.
方法点拨 在平面直角坐标系中,求三角形的面积时,如果有一边在坐标轴上或平行于坐标轴,就选定它为底,求出这个底上的高,即可求得面积;如果没有一边在坐标轴上或平行于坐标轴,就用割补法求得此三角形的面积.

解：
(1) 分别作出点A、B、C关于x轴的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，所得$△ A_1B_1C_1$即为所求；
点$B_1$的坐标为$(5,4)$。
(2) $△ BCA_1$的面积为2。

【分析】
(1) 要作△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数。先确定△ABC三个顶点的坐标，再根据规律算出对应对称点A₁、B₁、C₁的坐标，在坐标系中描出这三个对称点，最后顺次连接即可得到所求三角形，根据B点的对称点坐标直接写出B₁的坐标。
(2) 求△BCA₁的面积时，观察发现该三角形没有边平行于坐标轴，因此选用割补法计算：将三角形放入一个顶点均在格点上的矩形中，用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△BCA₁的面积。
【解析】
(1) 首先确定△ABC各顶点坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”的性质，分别求出点A、B、C关于x轴的对称点A₁、B₁、C₁的坐标；在平面直角坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁三个点，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到的△A₁B₁C₁即为所求作的图形。
已知点B的坐标为(5,-4)，因此其关于x轴对称的点B₁的坐标为(5,4)。
(2) 采用割补法计算△BCA₁的面积：将△BCA₁置于边长合适的格点矩形内，用矩形面积减去矩形内除△BCA₁外其余三个直角三角形的面积，最终求得△BCA₁的面积为2。
【答案】
(1) 所作△A₁B₁C₁见解析，点$B_1$的坐标为$\boldsymbol{(5,4)}$；
(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；轴对称作图；割补法求图形面积
【点评】
本题是平面直角坐标系与轴对称结合的基础题型，既考查了学生对轴对称点坐标变化规律的掌握情况，也考查了学生对不规则图形面积计算方法的运用能力，解题的关键是熟练掌握坐标对称规律和割补法的应用技巧。
【难度系数】
0.7