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1. 阅读下列材料，完成相应任务.
数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数$a,b,c,d$，使得分式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立（即$a,b,c,d$成比例）.由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系.试猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明.
(1)$\frac{a}{c}$和$\frac{b}{d}$；(2)$\frac{a-b}{b}$和$\frac{c-d}{d}$；(3)$\frac{a+b}{c+d}$和$\frac{a-b}{c-d}$（$a≠b,c≠d$）.
“兴趣小组”找了一组能使分式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立的数：$a=2,b=3,c=4,d=6$.并对(1)(2)进行了探究.
(1)计算：当$a=2,b=3,c=4,d=6$时，$\frac{a}{c}=\frac{1}{2}$，$\frac{b}{d}=\frac{1}{2}$.
猜想：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.
证明：∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
∴$\frac{a}{b}·\frac{b}{c}=\frac{c}{d}·\frac{b}{c}$（依据1）.
∴$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.
(2)计算：当$a=2,b=3,c=4,d=6$时，$\frac{a-b}{b}=-\frac{1}{3}$，$\frac{c-d}{d}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$.
猜想：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$.
证明：方法一：∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
∴$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$（依据2）.
∴$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$.
方法二（作差法）：∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，∴$ad=bc$.
∴$\frac{a-b}{b}-\frac{c-d}{d}=\frac{ad-bd}{bd}-\frac{bc-bd}{bd}$（依据3）
$=\frac{ad-bd-bc+bd}{bd}$
$=\frac{ad-bc}{bd}$
$=0$.
∴$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$.
任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是：依据1：
任务二：请你说明材料中的(3)$\frac{a+b}{c+d}$和$\frac{a-b}{c-d}$（$a≠b,c≠d$）的关系，并进行证明.
数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数$a,b,c,d$，使得分式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立（即$a,b,c,d$成比例）.由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系.试猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明.
(1)$\frac{a}{c}$和$\frac{b}{d}$；(2)$\frac{a-b}{b}$和$\frac{c-d}{d}$；(3)$\frac{a+b}{c+d}$和$\frac{a-b}{c-d}$（$a≠b,c≠d$）.
“兴趣小组”找了一组能使分式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立的数：$a=2,b=3,c=4,d=6$.并对(1)(2)进行了探究.
(1)计算：当$a=2,b=3,c=4,d=6$时，$\frac{a}{c}=\frac{1}{2}$，$\frac{b}{d}=\frac{1}{2}$.
猜想：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.
证明：∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
∴$\frac{a}{b}·\frac{b}{c}=\frac{c}{d}·\frac{b}{c}$（依据1）.
∴$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.
(2)计算：当$a=2,b=3,c=4,d=6$时，$\frac{a-b}{b}=-\frac{1}{3}$，$\frac{c-d}{d}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$.
猜想：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$.
证明：方法一：∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
∴$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$（依据2）.
∴$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$.
方法二（作差法）：∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，∴$ad=bc$.
∴$\frac{a-b}{b}-\frac{c-d}{d}=\frac{ad-bd}{bd}-\frac{bc-bd}{bd}$（依据3）
$=\frac{ad-bd-bc+bd}{bd}$
$=\frac{ad-bc}{bd}$
$=0$.
∴$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$.
任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是：依据1：
等式的性质2
；依据2：等式的性质1
；依据3：分式的基本性质
；任务二：请你说明材料中的(3)$\frac{a+b}{c+d}$和$\frac{a-b}{c-d}$（$a≠b,c≠d$）的关系，并进行证明.
答案
任务一:等式的性质2 等式的性质1 分式的基本性质
任务二:$\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}$. 证明如下：
$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d},$
$\therefore ad=bc.$
$\because \frac{a+b}{c+d}-\frac{a-b}{c-d}$
$=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}-\frac{(a-b)(c+d)}{(c+d)(c-d)}$
$=\frac{ac+bc-ad-bd-ac+bc-ad+bd}{(c+d)(c-d)}$
$=\frac{2bc-2ad}{(c+d)(c-d)}$
$=0,$
$\therefore \frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}.$
任务二:$\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}$. 证明如下：
$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d},$
$\therefore ad=bc.$
$\because \frac{a+b}{c+d}-\frac{a-b}{c-d}$
$=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}-\frac{(a-b)(c+d)}{(c+d)(c-d)}$
$=\frac{ac+bc-ad-bd-ac+bc-ad+bd}{(c+d)(c-d)}$
$=\frac{2bc-2ad}{(c+d)(c-d)}$
$=0,$
$\therefore \frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}.$
解析
【分析】
任务一解题思路：结合三个依据对应的操作匹配对应性质：①依据1对应等式两边同时乘不为0的$\frac{b}{c}$，对应等式的性质2；②依据2对应等式两边同时减1，对应等式的性质1；③依据3对应异分母分式通分的操作，对应分式的基本性质。
任务二解题思路：首先由已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$可得$ad=bc$，判断两个分式的关系可采用作差法：若两式的差为0则两式相等，先对两个分式通分，再将$ad=bc$代入化简后的分子，即可证明分子为0，从而得到两式相等的结论。
【解析】
任务一：
1. 操作是等式两边同时乘不为0的$\frac{b}{c}$，等式仍然成立，对应依据1为等式的性质2；
2. 操作是等式两边同时减1，等式仍然成立，对应依据2为等式的性质1；
3. 操作是对分式通分，分子分母同乘不为0的整式后分式值不变，对应依据3为分式的基本性质。
任务二：
猜想两式关系：$\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}$（$c+d≠0,c-d≠0$）
证明如下：
$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d},$
$\therefore ad=bc.$
对两式作差得：
$\begin{aligned}\frac{a+b}{c+d}-\frac{a-b}{c-d}&=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}-\frac{(a-b)(c+d)}{(c+d)(c-d)}\\&=\frac{ac+bc-ad-bd-ac+bc-ad+bd}{(c+d)(c-d)}\\&=\frac{2bc-2ad}{(c+d)(c-d)}\end{aligned}$
将$ad=bc$代入分子得$2bc-2ad=0$，即差为0，
$\therefore \frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}.$
【答案】
任务一：等式的性质2；等式的性质1；分式的基本性质
任务二：$\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}$，证明如上。
【知识点】
等式的性质；分式的基本性质；分式运算
【点评】
本题是比例性质的探究题，遵循从特殊到一般的探究逻辑，既考查了基础性质的识记，又考查了作差法证明分式相等的应用，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
任务一解题思路：结合三个依据对应的操作匹配对应性质：①依据1对应等式两边同时乘不为0的$\frac{b}{c}$，对应等式的性质2；②依据2对应等式两边同时减1，对应等式的性质1；③依据3对应异分母分式通分的操作，对应分式的基本性质。
任务二解题思路：首先由已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$可得$ad=bc$，判断两个分式的关系可采用作差法：若两式的差为0则两式相等，先对两个分式通分，再将$ad=bc$代入化简后的分子，即可证明分子为0，从而得到两式相等的结论。
【解析】
任务一：
1. 操作是等式两边同时乘不为0的$\frac{b}{c}$，等式仍然成立，对应依据1为等式的性质2；
2. 操作是等式两边同时减1，等式仍然成立，对应依据2为等式的性质1；
3. 操作是对分式通分，分子分母同乘不为0的整式后分式值不变，对应依据3为分式的基本性质。
任务二：
猜想两式关系：$\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}$（$c+d≠0,c-d≠0$）
证明如下：
$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d},$
$\therefore ad=bc.$
对两式作差得：
$\begin{aligned}\frac{a+b}{c+d}-\frac{a-b}{c-d}&=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}-\frac{(a-b)(c+d)}{(c+d)(c-d)}\\&=\frac{ac+bc-ad-bd-ac+bc-ad+bd}{(c+d)(c-d)}\\&=\frac{2bc-2ad}{(c+d)(c-d)}\end{aligned}$
将$ad=bc$代入分子得$2bc-2ad=0$，即差为0，
$\therefore \frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}.$
【答案】
任务一：等式的性质2；等式的性质1；分式的基本性质
任务二：$\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}$，证明如上。
【知识点】
等式的性质；分式的基本性质；分式运算
【点评】
本题是比例性质的探究题，遵循从特殊到一般的探究逻辑，既考查了基础性质的识记，又考查了作差法证明分式相等的应用，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
