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2. 若 $a:b=2:3$，则下列式子一定成立的是（
A.$2a=3b$
B.$b - a = 1$
C.$\frac{a + 2}{b + 2} = \frac{2}{3}$
D.$\frac{a + b}{b} = \frac{5}{3}$
D
）A.$2a=3b$
B.$b - a = 1$
C.$\frac{a + 2}{b + 2} = \frac{2}{3}$
D.$\frac{a + b}{b} = \frac{5}{3}$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查比例相关知识，解题思路如下：首先根据已知条件$a:b=2:3$，可利用比例的基本性质得到$3a=2b$，也可以采用设参数法，设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$），再将参数代入每个选项逐一验证是否恒成立，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
已知$a:b=2:3$，根据比例的基本性质可得$3a=2b$，也可设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$），逐一分析选项：
选项A：由比例性质得$3a=2b$，不是$2a=3b$，该选项不成立；
选项B：$b-a=3k-2k=k$，$k$为任意不为0的常数，不一定等于1，比如当$k=2$时，$a=4$，$b=6$，$b-a=2≠1$，该选项不成立；
选项C：代入参数得$\frac{a+2}{b+2}=\frac{2k+2}{3k+2}$，当$k=2$时，$\frac{2×2+2}{3×2+2}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}≠\frac{2}{3}$，该选项不成立；
选项D：$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$，也可代入参数验证：$\frac{a+b}{b}=\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}$（$k≠0$可约去），该选项一定成立。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质，分式的化简运算
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，解题时可优先用设参数法验证选项，要注意不能默认$a=2$、$b=3$，避免忽略比例中项的任意性错选错误选项。
【难度系数】
0.75
本题考查比例相关知识，解题思路如下：首先根据已知条件$a:b=2:3$，可利用比例的基本性质得到$3a=2b$，也可以采用设参数法，设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$），再将参数代入每个选项逐一验证是否恒成立，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
已知$a:b=2:3$，根据比例的基本性质可得$3a=2b$，也可设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$），逐一分析选项：
选项A：由比例性质得$3a=2b$，不是$2a=3b$，该选项不成立；
选项B：$b-a=3k-2k=k$，$k$为任意不为0的常数，不一定等于1，比如当$k=2$时，$a=4$，$b=6$，$b-a=2≠1$，该选项不成立；
选项C：代入参数得$\frac{a+2}{b+2}=\frac{2k+2}{3k+2}$，当$k=2$时，$\frac{2×2+2}{3×2+2}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}≠\frac{2}{3}$，该选项不成立；
选项D：$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$，也可代入参数验证：$\frac{a+b}{b}=\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}$（$k≠0$可约去），该选项一定成立。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质，分式的化简运算
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，解题时可优先用设参数法验证选项，要注意不能默认$a=2$、$b=3$，避免忽略比例中项的任意性错选错误选项。
【难度系数】
0.75
3. 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$，则下列式子中正确的是（
A.$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{e}{f}$
B.$\frac{a+1}{b}=\frac{c+1}{d}=\frac{e+1}{f}$
C.$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$
D.$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}=\frac{e+f}{f}$
D
）A.$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{e}{f}$
B.$\frac{a+1}{b}=\frac{c+1}{d}=\frac{e+1}{f}$
C.$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$
D.$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}=\frac{e+f}{f}$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查比例的相关性质，解题时可先设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$，将a、c、e分别用含b、d、f和k的式子表示，再代入各个选项逐一验证是否成立；也可以直接利用比例的合比、等比性质判断，注意特殊性质的适用前提，也可通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$，则$a = bk$，$c = dk$，$e = fk$，逐一分析选项：
选项A：$\frac{a}{c}=\frac{bk}{dk}=\frac{b}{d}$，但$\frac{b}{d}$不一定等于$\frac{e}{f}=k$，例如取$\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}$，此时$\frac{a}{c}=\frac{1}{3}$，$\frac{e}{f}=\frac{1}{2}$，二者不相等，故A错误；
选项B：$\frac{a+1}{b}=\frac{bk+1}{b}=k+\frac{1}{b}$，$\frac{c+1}{d}=k+\frac{1}{d}$，$\frac{e+1}{f}=k+\frac{1}{f}$，仅当$b=d=f$时三者相等，否则不相等，例如上述例子中$\frac{1+1}{2}=1$，$\frac{3+1}{6}=\frac{2}{3}$，二者不相等，故B错误；
选项C：左边$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=k+k+k=3k$，右边$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{bk+dk+fk}{b+d+f}=k$（前提是$b+d+f≠0$），显然$3k≠k$（$k≠0$时），例如上述例子中左边为$\frac{3}{2}$，右边为$\frac{1}{2}$，二者不相等，故C错误；
选项D：$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=k+1$，$\frac{c+d}{d}=\frac{c}{d}+\frac{d}{d}=k+1$，$\frac{e+f}{f}=\frac{e}{f}+\frac{f}{f}=k+1$，三者相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
比例的性质、合比性质、等比性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，既可以通过设比值为常数k的通用方法推导验证，也可以通过举反例快速排除错误选项，解题时要注意等比性质的适用前提是所有分母之和不为0。
【难度系数】
0.7
本题考查比例的相关性质，解题时可先设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$，将a、c、e分别用含b、d、f和k的式子表示，再代入各个选项逐一验证是否成立；也可以直接利用比例的合比、等比性质判断，注意特殊性质的适用前提，也可通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$，则$a = bk$，$c = dk$，$e = fk$，逐一分析选项：
选项A：$\frac{a}{c}=\frac{bk}{dk}=\frac{b}{d}$，但$\frac{b}{d}$不一定等于$\frac{e}{f}=k$，例如取$\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}$，此时$\frac{a}{c}=\frac{1}{3}$，$\frac{e}{f}=\frac{1}{2}$，二者不相等，故A错误；
选项B：$\frac{a+1}{b}=\frac{bk+1}{b}=k+\frac{1}{b}$，$\frac{c+1}{d}=k+\frac{1}{d}$，$\frac{e+1}{f}=k+\frac{1}{f}$，仅当$b=d=f$时三者相等，否则不相等，例如上述例子中$\frac{1+1}{2}=1$，$\frac{3+1}{6}=\frac{2}{3}$，二者不相等，故B错误；
选项C：左边$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=k+k+k=3k$，右边$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{bk+dk+fk}{b+d+f}=k$（前提是$b+d+f≠0$），显然$3k≠k$（$k≠0$时），例如上述例子中左边为$\frac{3}{2}$，右边为$\frac{1}{2}$，二者不相等，故C错误；
选项D：$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=k+1$，$\frac{c+d}{d}=\frac{c}{d}+\frac{d}{d}=k+1$，$\frac{e+f}{f}=\frac{e}{f}+\frac{f}{f}=k+1$，三者相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
比例的性质、合比性质、等比性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，既可以通过设比值为常数k的通用方法推导验证，也可以通过举反例快速排除错误选项，解题时要注意等比性质的适用前提是所有分母之和不为0。
【难度系数】
0.7
4.若$\frac{a}{5}=\frac{b}{7}=\frac{c}{8}$，且$3a-2b+c=3$，则$2a+4b-3c$的值是（
A.14
B.42
C.7
D.$\frac{14}{3}$
D
）A.14
B.42
C.7
D.$\frac{14}{3}$
答案
4. D
解析
【分析】
当遇到连等的比例式时，可采用设参数法求解：先设相等的比值为参数k，将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入已知等式3a-2b+c=3求出k的值，最后将含k的a、b、c代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
设$\frac{a}{5}=\frac{b}{7}=\frac{c}{8}=k$（$k≠0$），则$a=5k$，$b=7k$，$c=8k$。
将$a=5k$，$b=7k$，$c=8k$代入$3a-2b+c=3$，得：
$3×5k - 2×7k + 8k = 3$
化简得：$15k -14k +8k = 3$，即$9k=3$，解得$k=\frac{1}{3}$。
再计算$2a+4b-3c$：
$2a+4b-3c=2×5k +4×7k -3×8k=10k+28k-24k=14k$
将$k=\frac{1}{3}$代入，得$14k=14×\frac{1}{3}=\frac{14}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
比例的性质，代数式求值
【点评】
本题是比例类求值的常见题型，解题关键是合理设参数将多个未知量转化为同一参数的表达式，大幅简化计算过程，掌握设参数的技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7
当遇到连等的比例式时，可采用设参数法求解：先设相等的比值为参数k，将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入已知等式3a-2b+c=3求出k的值，最后将含k的a、b、c代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
设$\frac{a}{5}=\frac{b}{7}=\frac{c}{8}=k$（$k≠0$），则$a=5k$，$b=7k$，$c=8k$。
将$a=5k$，$b=7k$，$c=8k$代入$3a-2b+c=3$，得：
$3×5k - 2×7k + 8k = 3$
化简得：$15k -14k +8k = 3$，即$9k=3$，解得$k=\frac{1}{3}$。
再计算$2a+4b-3c$：
$2a+4b-3c=2×5k +4×7k -3×8k=10k+28k-24k=14k$
将$k=\frac{1}{3}$代入，得$14k=14×\frac{1}{3}=\frac{14}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
比例的性质，代数式求值
【点评】
本题是比例类求值的常见题型，解题关键是合理设参数将多个未知量转化为同一参数的表达式，大幅简化计算过程，掌握设参数的技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5. 已知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$，则分式$\frac{2x-3xy+2y}{x+2xy+y}$的值为
$\frac{3}{5}$
。答案
5. $\frac{3}{5}$
解析
【分析】
首先观察已知条件和待求分式的结构，已知条件是关于x、y的倒数和，待求分式的分子、分母均是由x+y和xy的项构成，因此我们可以先对已知条件通分变形，得到x+y与xy的数量关系，再将待求分式整理为含x+y、xy的形式，采用整体代入的方法消元，即可求出分式的值，无需单独求解x、y的具体值。
【解析】
第一步：对已知条件进行变形
∵ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$，对左边通分（公分母为$xy$，且由原式可知$x≠0,y≠0,xy≠0$），得：
$\frac{y+x}{xy}=3$
等式两边同乘$xy$，可得：$x+y=3xy$
第二步：整理待求分式并代入计算
将待求分式$\frac{2x-3xy+2y}{x+2xy+y}$的分子、分母分别合并同类项，变形为：
$\frac{2(x+y)-3xy}{(x+y)+2xy}$
把$x+y=3xy$整体代入上式，得：
原式$=\frac{2×3xy - 3xy}{3xy + 2xy}=\frac{6xy-3xy}{5xy}=\frac{3xy}{5xy}$
∵ $xy≠0$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$xy$，得：
原式$=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
分式的化简求值，整体代入思想，分式的通分
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，解题的核心是通过对已知条件变形得到x+y与xy的关系，利用整体代入的方法简化运算，能有效避免单独求解未知数的繁琐，考查学生对分式性质的应用和整体思想的掌握。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件和待求分式的结构，已知条件是关于x、y的倒数和，待求分式的分子、分母均是由x+y和xy的项构成，因此我们可以先对已知条件通分变形，得到x+y与xy的数量关系，再将待求分式整理为含x+y、xy的形式，采用整体代入的方法消元，即可求出分式的值，无需单独求解x、y的具体值。
【解析】
第一步：对已知条件进行变形
∵ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$，对左边通分（公分母为$xy$，且由原式可知$x≠0,y≠0,xy≠0$），得：
$\frac{y+x}{xy}=3$
等式两边同乘$xy$，可得：$x+y=3xy$
第二步：整理待求分式并代入计算
将待求分式$\frac{2x-3xy+2y}{x+2xy+y}$的分子、分母分别合并同类项，变形为：
$\frac{2(x+y)-3xy}{(x+y)+2xy}$
把$x+y=3xy$整体代入上式，得：
原式$=\frac{2×3xy - 3xy}{3xy + 2xy}=\frac{6xy-3xy}{5xy}=\frac{3xy}{5xy}$
∵ $xy≠0$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$xy$，得：
原式$=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
分式的化简求值，整体代入思想，分式的通分
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，解题的核心是通过对已知条件变形得到x+y与xy的关系，利用整体代入的方法简化运算，能有效避免单独求解未知数的繁琐，考查学生对分式性质的应用和整体思想的掌握。
【难度系数】
0.7
6. 已知实数$a,b,c$满足$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}$，则$\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}$的值为
8或-1
.答案
6. 8或-1
解析
【分析】
遇到连等的比例式，我们可以通过设参数k的方法将比例关系转化为整式关系，即设$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=k$，进而得到$a+b=kc$，$b+c=ka$，$a+c=kb$。将这三个等式相加后，可得$2(a+b+c)=k(a+b+c)$，此时要注意：等式两边同时除以含字母的式子时，必须保证除数不为0，因此需要分$a+b+c≠0$和$a+b+c=0$两种情况分别计算k的值，再代入所求代数式即可得到结果。同时题中a、b、c均为分母，因此a、b、c均不为0，满足代数式有意义的条件。
【解析】
设$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=k$，根据比例的性质可得：
$a+b=kc$ ①，
$b+c=ka$ ②，
$a+c=kb$ ③。
将①+②+③，得：
$2(a+b+c)=k(a+b+c)$，
分两种情况讨论：
情况1：当$a+b+c≠0$时，等式两边同时除以$(a+b+c)$，得$k=2$。
此时$\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}=\frac{kc· ka· kb}{abc}=\frac{k^3abc}{abc}=k^3=2^3=8$。
情况2：当$a+b+c=0$时，可得$a+b=-c$，$b+c=-a$，$a+c=-b$。
代入所求代数式得：
$\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}=\frac{(-c)·(-a)·(-b)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1$。
综上，原式的值为8或-1。
【答案】
8或-1
【知识点】
比例的基本性质，分类讨论思想，代数式化简求值
【点评】
本题重点考查比例性质的应用，易错点是忽略$a+b+c=0$的情况导致漏解。解题时若遇到等式两边同时除以含字母的整式，一定要先考虑整式是否可能为0，通过分类讨论保证解答的完整性。
【难度系数】
0.6
遇到连等的比例式，我们可以通过设参数k的方法将比例关系转化为整式关系，即设$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=k$，进而得到$a+b=kc$，$b+c=ka$，$a+c=kb$。将这三个等式相加后，可得$2(a+b+c)=k(a+b+c)$，此时要注意：等式两边同时除以含字母的式子时，必须保证除数不为0，因此需要分$a+b+c≠0$和$a+b+c=0$两种情况分别计算k的值，再代入所求代数式即可得到结果。同时题中a、b、c均为分母，因此a、b、c均不为0，满足代数式有意义的条件。
【解析】
设$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=k$，根据比例的性质可得：
$a+b=kc$ ①，
$b+c=ka$ ②，
$a+c=kb$ ③。
将①+②+③，得：
$2(a+b+c)=k(a+b+c)$，
分两种情况讨论：
情况1：当$a+b+c≠0$时，等式两边同时除以$(a+b+c)$，得$k=2$。
此时$\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}=\frac{kc· ka· kb}{abc}=\frac{k^3abc}{abc}=k^3=2^3=8$。
情况2：当$a+b+c=0$时，可得$a+b=-c$，$b+c=-a$，$a+c=-b$。
代入所求代数式得：
$\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}=\frac{(-c)·(-a)·(-b)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1$。
综上，原式的值为8或-1。
【答案】
8或-1
【知识点】
比例的基本性质，分类讨论思想，代数式化简求值
【点评】
本题重点考查比例性质的应用，易错点是忽略$a+b+c=0$的情况导致漏解。解题时若遇到等式两边同时除以含字母的整式，一定要先考虑整式是否可能为0，通过分类讨论保证解答的完整性。
【难度系数】
0.6
7. 已知$\frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{1}{2}$，$\frac{1}{y} + \frac{1}{z+x} = \frac{1}{3}$，$\frac{1}{z} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{4}$，则$\frac{xy + xz + yz}{x+y+z}$的值为
$\frac{9}{2}$
。答案
7. $\frac{9}{2}$
解析
【分析】
观察已知的三个分式等式，若直接求解x、y、z的具体值计算量较大，我们可以先对每个等式左边通分化简，交叉相乘转化为整式关系式，再观察整式关系式与待求式$\frac{xy + xz + yz}{x+y+z}$的结构联系，通过将三个整式关系式相加，即可直接得到分子$xy+xz+yz$和分母$x+y+z$的倍数关系，从而求出待求式的值。
【解析】
1. 对第一个已知等式变形：
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{1}{2}$
左边通分可得：$\frac{x+y+z}{x(y+z)} = \frac{1}{2}$
交叉相乘得：$x(y+z) = 2(x+y+z)$，展开左边得：$xy + xz = 2(x+y+z)$ ---①
2. 对第二个已知等式变形：
$\frac{1}{y} + \frac{1}{z+x} = \frac{1}{3}$
左边通分可得：$\frac{x+y+z}{y(z+x)} = \frac{1}{3}$
交叉相乘得：$y(z+x) = 3(x+y+z)$，展开左边得：$yz + xy = 3(x+y+z)$ ---②
3. 对第三个已知等式变形：
$\frac{1}{z} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{4}$
左边通分可得：$\frac{x+y+z}{z(x+y)} = \frac{1}{4}$
交叉相乘得：$z(x+y) = 4(x+y+z)$，展开左边得：$xz + yz = 4(x+y+z)$ ---③
4. 将①+②+③，左边相加得：$(xy+xz)+(yz+xy)+(xz+yz)=2(xy+xz+yz)$
右边相加得：$2(x+y+z)+3(x+y+z)+4(x+y+z)=9(x+y+z)$
因此可得：$2(xy+xz+yz) = 9(x+y+z)$
由分式有意义的条件可知$x+y+z ≠ 0$，两边同时除以$2(x+y+z)$，得：
$\frac{xy + xz + yz}{x+y+z} = \frac{9}{2}$
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
分式的通分，整式变形运算，整体思想求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，不需要求出未知数的具体值，通过对已知等式合理变形、整体运算即可得到结果，核心是运用整体思想简化计算，能有效锻炼学生的观察能力和代数式变形能力。
【难度系数】
0.6
观察已知的三个分式等式，若直接求解x、y、z的具体值计算量较大，我们可以先对每个等式左边通分化简，交叉相乘转化为整式关系式，再观察整式关系式与待求式$\frac{xy + xz + yz}{x+y+z}$的结构联系，通过将三个整式关系式相加，即可直接得到分子$xy+xz+yz$和分母$x+y+z$的倍数关系，从而求出待求式的值。
【解析】
1. 对第一个已知等式变形：
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{1}{2}$
左边通分可得：$\frac{x+y+z}{x(y+z)} = \frac{1}{2}$
交叉相乘得：$x(y+z) = 2(x+y+z)$，展开左边得：$xy + xz = 2(x+y+z)$ ---①
2. 对第二个已知等式变形：
$\frac{1}{y} + \frac{1}{z+x} = \frac{1}{3}$
左边通分可得：$\frac{x+y+z}{y(z+x)} = \frac{1}{3}$
交叉相乘得：$y(z+x) = 3(x+y+z)$，展开左边得：$yz + xy = 3(x+y+z)$ ---②
3. 对第三个已知等式变形：
$\frac{1}{z} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{4}$
左边通分可得：$\frac{x+y+z}{z(x+y)} = \frac{1}{4}$
交叉相乘得：$z(x+y) = 4(x+y+z)$，展开左边得：$xz + yz = 4(x+y+z)$ ---③
4. 将①+②+③，左边相加得：$(xy+xz)+(yz+xy)+(xz+yz)=2(xy+xz+yz)$
右边相加得：$2(x+y+z)+3(x+y+z)+4(x+y+z)=9(x+y+z)$
因此可得：$2(xy+xz+yz) = 9(x+y+z)$
由分式有意义的条件可知$x+y+z ≠ 0$，两边同时除以$2(x+y+z)$，得：
$\frac{xy + xz + yz}{x+y+z} = \frac{9}{2}$
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
分式的通分，整式变形运算，整体思想求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，不需要求出未知数的具体值，通过对已知等式合理变形、整体运算即可得到结果，核心是运用整体思想简化计算，能有效锻炼学生的观察能力和代数式变形能力。
【难度系数】
0.6
8. 已知$x,y,z$满足$\frac{xy}{x+y}=-2$，$\frac{zy}{z+y}=\frac{3}{4}$，$\frac{zx}{z+x}=-\frac{3}{4}$，则$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$的值为
-4
.答案
8. -4
解析
【分析】
观察已知条件和待求式的结构，均为分子是字母乘积、分母是字母和的分式，直接求解x、y、z的具体值运算量大。我们可以利用倒数法，对已知等式和待求式分别取倒数，将分式拆分为两个单位分式的和，转化为关于$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$、$\frac{1}{z}$的关系式，计算出三个单位分式的和后，再倒推得到待求式的值。
【解析】
解：对已知三个等式左右两边同时取倒数，可得：
$\frac{x+y}{xy}=-\frac{1}{2}$，拆分得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{2}$ ①
$\frac{z+y}{zy}=\frac{4}{3}$，拆分得：$\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{4}{3}$ ②
$\frac{z+x}{zx}=-\frac{4}{3}$，拆分得：$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=-\frac{4}{3}$ ③
将①+②+③，左边相加得：$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
右边相加得：$-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{1}{2}$
因此$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=-\frac{1}{2}$，解得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{4}$
再对待求式取倒数：$\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{4}$
因此$\frac{xyz}{xy+yz+zx}=\frac{1}{-\frac{1}{4}}=-4$
【答案】
-4
【知识点】
分式化简、倒数变换、代数式求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心技巧是通过倒数法将复杂的分式结构转化为简单的单位分式和的形式，避免了直接求解未知数的繁琐运算，熟练掌握这种变形技巧能大幅提升分式求值类题目的解题效率。
【难度系数】
0.6
观察已知条件和待求式的结构，均为分子是字母乘积、分母是字母和的分式，直接求解x、y、z的具体值运算量大。我们可以利用倒数法，对已知等式和待求式分别取倒数，将分式拆分为两个单位分式的和，转化为关于$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$、$\frac{1}{z}$的关系式，计算出三个单位分式的和后，再倒推得到待求式的值。
【解析】
解：对已知三个等式左右两边同时取倒数，可得：
$\frac{x+y}{xy}=-\frac{1}{2}$，拆分得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{2}$ ①
$\frac{z+y}{zy}=\frac{4}{3}$，拆分得：$\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{4}{3}$ ②
$\frac{z+x}{zx}=-\frac{4}{3}$，拆分得：$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=-\frac{4}{3}$ ③
将①+②+③，左边相加得：$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
右边相加得：$-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{1}{2}$
因此$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=-\frac{1}{2}$，解得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{4}$
再对待求式取倒数：$\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{4}$
因此$\frac{xyz}{xy+yz+zx}=\frac{1}{-\frac{1}{4}}=-4$
【答案】
-4
【知识点】
分式化简、倒数变换、代数式求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心技巧是通过倒数法将复杂的分式结构转化为简单的单位分式和的形式，避免了直接求解未知数的繁琐运算，熟练掌握这种变形技巧能大幅提升分式求值类题目的解题效率。
【难度系数】
0.6
9.已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}≠0,2a - b + c = 10$，求$a,b,c$的值.
答案
9. 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$,则$a=2k,b=3k,c=4k.$
$\because 2a-b+c=10,$
$\therefore 4k-3k+4k=10.$ 解得$k=2.$
$\therefore a=4,b=6,c=8.$
$\because 2a-b+c=10,$
$\therefore 4k-3k+4k=10.$ 解得$k=2.$
$\therefore a=4,b=6,c=8.$
解析
【分析】
本题属于连比类的求值题，遇到几个比值相等的问题时，常用的解题思路是设公共比值为参数k，这样就能将a、b、c三个未知数都转化为含k的代数式，把多未知数的问题简化为只含参数k的一元一次方程问题，求出k的取值后，再反向计算就能得到a、b、c的值。
【解析】
解：设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$（$k≠0$），
则$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$。
$\because 2a - b + c = 10$，
将$a=2k$、$b=3k$、$c=4k$代入等式得：
$2×2k - 3k + 4k = 10$，
整理得$4k - 3k + 4k = 10$，
合并同类项得$5k=10$，
解得$k=2$。
$\therefore a=2×2=4$，$b=3×2=6$，$c=4×2=8$。
【答案】
$a=4$，$b=6$，$c=8$
【知识点】
比例的性质；参数法解题；一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例计算的基础题型，核心考查连比问题的处理技巧，设公共参数的方法可以有效降低多未知数问题的解题难度，是比例类求值题的常用思路，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题属于连比类的求值题，遇到几个比值相等的问题时，常用的解题思路是设公共比值为参数k，这样就能将a、b、c三个未知数都转化为含k的代数式，把多未知数的问题简化为只含参数k的一元一次方程问题，求出k的取值后，再反向计算就能得到a、b、c的值。
【解析】
解：设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$（$k≠0$），
则$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$。
$\because 2a - b + c = 10$，
将$a=2k$、$b=3k$、$c=4k$代入等式得：
$2×2k - 3k + 4k = 10$，
整理得$4k - 3k + 4k = 10$，
合并同类项得$5k=10$，
解得$k=2$。
$\therefore a=2×2=4$，$b=3×2=6$，$c=4×2=8$。
【答案】
$a=4$，$b=6$，$c=8$
【知识点】
比例的性质；参数法解题；一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例计算的基础题型，核心考查连比问题的处理技巧，设公共参数的方法可以有效降低多未知数问题的解题难度，是比例类求值题的常用思路，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
10. 观察下列各式：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；
请你类比上面三个等式反映的规律，解下列方程：
$\frac{1}{(x-2)x} + \frac{1}{x(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+4)} + \dots + \frac{1}{(x+2024)(x+2026)} = \frac{1}{x+2026}$。该方程的解是
请你类比上面三个等式反映的规律，解下列方程：
$\frac{1}{(x-2)x} + \frac{1}{x(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+4)} + \dots + \frac{1}{(x+2024)(x+2026)} = \frac{1}{x+2026}$。该方程的解是
$x=1\ 016$
。答案
10. $x=1\ 016$
解析
【分析】
首先观察已知等式的规律，属于裂项相消的类型，本题中每个分式的分母是两个相差为2的整式相乘，因此可类比给出的规律，将每个分式拆分为两个分式差的$\frac{1}{2}$，相加后中间项全部抵消，仅保留首尾两项，将复杂的分式求和方程转化为普通分式方程，再按照分式方程的解法求解，最后检验根是否符合要求即可。
【解析】
解：根据裂项规律，对左边每一项拆分可得：
$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$
因此原方程左边可变形为：
$\frac{1}{2}[(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x})+(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2})+(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4})+\dots+(\frac{1}{x+2024}-\frac{1}{x+2026})]$
中间项相互抵消后，左边化简为：
$\frac{1}{2}(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2026})$
因此原方程变为：
$\frac{1}{2}(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2026})=\frac{1}{x+2026}$
两边同乘$2(x-2)(x+2026)$去分母（需满足$x≠2$且$x≠-2,-4,\dots,-2026$），得：
$(x+2026)-(x-2)=2(x-2)$
整理左边得：$x+2026 - x + 2 = 2028$，因此：
$2028=2x-4$
移项解得：$2x=2032$，即$x=1016$
检验：将$x=1016$代入原方程各分母，均不为0，因此$x=1016$是原方程的解。
【答案】
$x=1016$
【知识点】
裂项相消法，解分式方程，规律探究
【点评】
本题结合规律探究与分式方程求解，核心是正确运用裂项相消简化繁分式求和，求解后注意检验分式方程的根是否为增根，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.6
首先观察已知等式的规律，属于裂项相消的类型，本题中每个分式的分母是两个相差为2的整式相乘，因此可类比给出的规律，将每个分式拆分为两个分式差的$\frac{1}{2}$，相加后中间项全部抵消，仅保留首尾两项，将复杂的分式求和方程转化为普通分式方程，再按照分式方程的解法求解，最后检验根是否符合要求即可。
【解析】
解：根据裂项规律，对左边每一项拆分可得：
$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$
因此原方程左边可变形为：
$\frac{1}{2}[(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x})+(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2})+(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4})+\dots+(\frac{1}{x+2024}-\frac{1}{x+2026})]$
中间项相互抵消后，左边化简为：
$\frac{1}{2}(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2026})$
因此原方程变为：
$\frac{1}{2}(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2026})=\frac{1}{x+2026}$
两边同乘$2(x-2)(x+2026)$去分母（需满足$x≠2$且$x≠-2,-4,\dots,-2026$），得：
$(x+2026)-(x-2)=2(x-2)$
整理左边得：$x+2026 - x + 2 = 2028$，因此：
$2028=2x-4$
移项解得：$2x=2032$，即$x=1016$
检验：将$x=1016$代入原方程各分母，均不为0，因此$x=1016$是原方程的解。
【答案】
$x=1016$
【知识点】
裂项相消法，解分式方程，规律探究
【点评】
本题结合规律探究与分式方程求解，核心是正确运用裂项相消简化繁分式求和，求解后注意检验分式方程的根是否为增根，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.6
11. 已知两个分式$\frac{1}{a},\frac{1}{a-1}(a≠0且a≠1)$，将这两个分式进行如下运算：
第一次运算：$M_1=\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1},N_1=\frac{1}{a}-\frac{1}{a-1}$；
第二次运算：$M_2=M_1+N_1,N_2=M_1-N_1$；
第三次运算：$M_3=M_2+N_2,N_3=M_2-N_2$；
继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：
①$N_3=-2N_1$；②$M_2+M_8=M_4+M_6$；③$N_{20}=\frac{20}{a-1}$；④$M_{n+2}=2M_n(n为正整数)$。
以上结论正确的个数是（
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
第一次运算：$M_1=\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1},N_1=\frac{1}{a}-\frac{1}{a-1}$；
第二次运算：$M_2=M_1+N_1,N_2=M_1-N_1$；
第三次运算：$M_3=M_2+N_2,N_3=M_2-N_2$；
继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：
①$N_3=-2N_1$；②$M_2+M_8=M_4+M_6$；③$N_{20}=\frac{20}{a-1}$；④$M_{n+2}=2M_n(n为正整数)$。
以上结论正确的个数是（
A
）A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案
11. A
解析
【分析】
解题时首先先化简初始的$M_1$、$N_1$，再根据题目给出的运算规则推导$M$、$N$的递推规律，无需逐一计算到高次项，再用得到的规律逐一验证四个结论是否正确即可。
第一步：先计算$M_1$、$N_1$的最简形式，可通过抵消同类项简化运算；
第二步：根据$M_{n+1}=M_n+N_n$、$N_{n+1}=M_n-N_n$的规则，推导$M$、$N$的递推关系，找到规律；
第三步：用规律逐一判断4个结论的正误，统计正确结论的个数。
【解析】
首先计算初始值：
$M_1=\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1}$，$N_1=\frac{1}{a}-\frac{1}{a-1}$
根据运算规则：
$M_2=M_1+N_1=(\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1})+(\frac{1}{a}-\frac{1}{a-1})=\frac{2}{a}$
$N_2=M_1-N_1=(\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1})-(\frac{1}{a}-\frac{1}{a-1})=\frac{2}{a-1}$
进一步推导递推关系：
对任意正整数$n$，$M_{n+2}=M_{n+1}+N_{n+1}$，而$M_{n+1}=M_n+N_n$，$N_{n+1}=M_n-N_n$，代入得：
$M_{n+2}=(M_n+N_n)+(M_n-N_n)=2M_n$，同理可得$N_{n+2}=M_{n+1}-N_{n+1}=(M_n+N_n)-(M_n-N_n)=2N_n$
接下来逐一判断结论：
①$N_3=2N_1≠-2N_1$，结论①错误；
②根据递推规律：$M_4=2M_2$，$M_6=2M_4=4M_2$，$M_8=2M_6=8M_2$，左边$M_2+M_8=M_2+8M_2=9M_2=\frac{18}{a}$，右边$M_4+M_6=2M_2+4M_2=6M_2=\frac{12}{a}$，左右不相等，结论②错误；
③$N$的偶数项规律：$N_{2k}=2^{k-1}N_2=2^{k-1}·\frac{2}{a-1}=\frac{2^k}{a-1}$，当$2k=20$时，$k=10$，$N_{20}=\frac{2^{10}}{a-1}=\frac{1024}{a-1}≠\frac{20}{a-1}$，结论③错误；
④由之前推导的递推关系可知$M_{n+2}=2M_n$对任意正整数$n$成立，结论④正确。
综上，只有1个结论正确。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算，规律探究，递推关系应用
【点评】
本题重点考查分式运算能力和归纳推理能力，通过推导递推规律可以避免重复计算，解题时要注意符号和指数规律的准确性，不要把指数规律错当成线性规律。
【难度系数】
0.6
解题时首先先化简初始的$M_1$、$N_1$，再根据题目给出的运算规则推导$M$、$N$的递推规律，无需逐一计算到高次项，再用得到的规律逐一验证四个结论是否正确即可。
第一步：先计算$M_1$、$N_1$的最简形式，可通过抵消同类项简化运算；
第二步：根据$M_{n+1}=M_n+N_n$、$N_{n+1}=M_n-N_n$的规则，推导$M$、$N$的递推关系，找到规律；
第三步：用规律逐一判断4个结论的正误，统计正确结论的个数。
【解析】
首先计算初始值：
$M_1=\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1}$，$N_1=\frac{1}{a}-\frac{1}{a-1}$
根据运算规则：
$M_2=M_1+N_1=(\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1})+(\frac{1}{a}-\frac{1}{a-1})=\frac{2}{a}$
$N_2=M_1-N_1=(\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1})-(\frac{1}{a}-\frac{1}{a-1})=\frac{2}{a-1}$
进一步推导递推关系：
对任意正整数$n$，$M_{n+2}=M_{n+1}+N_{n+1}$，而$M_{n+1}=M_n+N_n$，$N_{n+1}=M_n-N_n$，代入得：
$M_{n+2}=(M_n+N_n)+(M_n-N_n)=2M_n$，同理可得$N_{n+2}=M_{n+1}-N_{n+1}=(M_n+N_n)-(M_n-N_n)=2N_n$
接下来逐一判断结论：
①$N_3=2N_1≠-2N_1$，结论①错误；
②根据递推规律：$M_4=2M_2$，$M_6=2M_4=4M_2$，$M_8=2M_6=8M_2$，左边$M_2+M_8=M_2+8M_2=9M_2=\frac{18}{a}$，右边$M_4+M_6=2M_2+4M_2=6M_2=\frac{12}{a}$，左右不相等，结论②错误；
③$N$的偶数项规律：$N_{2k}=2^{k-1}N_2=2^{k-1}·\frac{2}{a-1}=\frac{2^k}{a-1}$，当$2k=20$时，$k=10$，$N_{20}=\frac{2^{10}}{a-1}=\frac{1024}{a-1}≠\frac{20}{a-1}$，结论③错误；
④由之前推导的递推关系可知$M_{n+2}=2M_n$对任意正整数$n$成立，结论④正确。
综上，只有1个结论正确。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算，规律探究，递推关系应用
【点评】
本题重点考查分式运算能力和归纳推理能力，通过推导递推规律可以避免重复计算，解题时要注意符号和指数规律的准确性，不要把指数规律错当成线性规律。
【难度系数】
0.6
