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12. 已知$x＞2$，$S_1=\dfrac{x}{2}$，$S_2=\dfrac{1}{S_1}$，$S_3=-S_2+1$，$S_4=\dfrac{1}{S_3}$，$S_5=-S_4+1$，……
当$n$为大于1的奇数时，$S_n=-S_{n-1}+1$；
当$n$为大于1的偶数时，$S_n=\dfrac{1}{S_{n-1}}$；
(1) 求$S_3$；(用含$x$的式子表示)
(2) $S_{2024}=$
(3) 计算：$S_1+S_2+S_3+···+S_{2028}$。
当$n$为大于1的奇数时，$S_n=-S_{n-1}+1$；
当$n$为大于1的偶数时，$S_n=\dfrac{1}{S_{n-1}}$；
(1) 求$S_3$；(用含$x$的式子表示)
(2) $S_{2024}=$
$\frac{2}{x}$
；(用含$x$的式子表示)(3) 计算：$S_1+S_2+S_3+···+S_{2028}$。
答案
12. (1)$\because S_1=\frac{x}{2},S_2=\frac{1}{S_1}=\frac{2}{x},$
$\therefore S_3=-S_2+1=-\frac{2}{x}+1.$
(2)$\frac{2}{x}$
(3)$1\ 014$
$\therefore S_3=-S_2+1=-\frac{2}{x}+1.$
(2)$\frac{2}{x}$
(3)$1\ 014$
解析
【分析】
(1) 第一问严格按照题目给出的递推规则计算：先根据n为偶数时的递推公式，由$S_1$求出$S_2$，再代入n为奇数时的递推公式即可求出$S_3$；
(2) 依次计算前7项的值，可发现数列$S_n$每6项为一个周期循环，用2024除以周期6，根据余数对应周期内的项即可得到$S_{2024}$；
(3) 先计算一个周期内6项的和，可得每个周期的和为定值3，再计算2028中包含多少个完整周期，用周期数乘单个周期的和即可得到总和。
【解析】
(1) 已知$S_1=\dfrac{x}{2}$，n=2是大于1的偶数，
$\therefore S_2=\dfrac{1}{S_1}=\dfrac{1}{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{2}{x}$，
又n=3是大于1的奇数，
$\therefore S_3=-S_2+1=-\dfrac{2}{x}+1$；
(2) 继续计算后续项找周期：
$S_4=\dfrac{1}{S_3}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{x}}=\dfrac{x}{x-2}$，
$S_5=-S_4+1=-\dfrac{x}{x-2}+1=\dfrac{-x+x-2}{x-2}=\dfrac{-2}{x-2}$，
$S_6=\dfrac{1}{S_5}=-\dfrac{x-2}{2}$，
$S_7=-S_6+1=\dfrac{x-2}{2}+1=\dfrac{x}{2}=S_1$，
可得数列$S_n$的周期为6，
$\because 2024÷6=337······2$，余数为2，
$\therefore S_{2024}=S_2=\dfrac{2}{x}$；
(3) 先计算1个周期的和：
$S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6$
$=\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}+\dfrac{x-2}{x}+\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{-2}{x-2}-\dfrac{x-2}{2}$
$=(\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-2}{2})+(\dfrac{2}{x}+\dfrac{x-2}{x})+(\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x-2})$
$=1+1+1=3$，
$\because 2028÷6=338$，即2028项刚好包含338个完整周期，
$\therefore S_1+S_2+···+S_{2028}=338×3=1014$。
【答案】
(1) $S_3=-\dfrac{2}{x}+1$；(2) $\dfrac{2}{x}$；(3) $1014$
【知识点】
分式的运算，规律探究，代数式求值
【点评】
本题将分式运算和数列规律探究结合，解题的核心是先通过递推公式找出数列的循环周期，利用周期将复杂的多式求和转化为简单的周期乘法计算，既考查了分式的基本运算能力，也考查了规律观察归纳的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问严格按照题目给出的递推规则计算：先根据n为偶数时的递推公式，由$S_1$求出$S_2$，再代入n为奇数时的递推公式即可求出$S_3$；
(2) 依次计算前7项的值，可发现数列$S_n$每6项为一个周期循环，用2024除以周期6，根据余数对应周期内的项即可得到$S_{2024}$；
(3) 先计算一个周期内6项的和，可得每个周期的和为定值3，再计算2028中包含多少个完整周期，用周期数乘单个周期的和即可得到总和。
【解析】
(1) 已知$S_1=\dfrac{x}{2}$，n=2是大于1的偶数，
$\therefore S_2=\dfrac{1}{S_1}=\dfrac{1}{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{2}{x}$，
又n=3是大于1的奇数，
$\therefore S_3=-S_2+1=-\dfrac{2}{x}+1$；
(2) 继续计算后续项找周期：
$S_4=\dfrac{1}{S_3}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{x}}=\dfrac{x}{x-2}$，
$S_5=-S_4+1=-\dfrac{x}{x-2}+1=\dfrac{-x+x-2}{x-2}=\dfrac{-2}{x-2}$，
$S_6=\dfrac{1}{S_5}=-\dfrac{x-2}{2}$，
$S_7=-S_6+1=\dfrac{x-2}{2}+1=\dfrac{x}{2}=S_1$，
可得数列$S_n$的周期为6，
$\because 2024÷6=337······2$，余数为2，
$\therefore S_{2024}=S_2=\dfrac{2}{x}$；
(3) 先计算1个周期的和：
$S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6$
$=\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}+\dfrac{x-2}{x}+\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{-2}{x-2}-\dfrac{x-2}{2}$
$=(\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-2}{2})+(\dfrac{2}{x}+\dfrac{x-2}{x})+(\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x-2})$
$=1+1+1=3$，
$\because 2028÷6=338$，即2028项刚好包含338个完整周期，
$\therefore S_1+S_2+···+S_{2028}=338×3=1014$。
【答案】
(1) $S_3=-\dfrac{2}{x}+1$；(2) $\dfrac{2}{x}$；(3) $1014$
【知识点】
分式的运算，规律探究，代数式求值
【点评】
本题将分式运算和数列规律探究结合，解题的核心是先通过递推公式找出数列的循环周期，利用周期将复杂的多式求和转化为简单的周期乘法计算，既考查了分式的基本运算能力，也考查了规律观察归纳的能力。
【难度系数】
0.6
13. 对于正数 $ x $，规定 $ f(x)=\dfrac{1}{x+1} $. 请解答下列问题.
(1) 计算：$ f(2)+f(\dfrac{1}{2}) $；
(2) 计算：$ f(1)+f(2)+\dots +f(2025)+f(2026)+f(\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{3})+\dots +f(\dfrac{1}{2025})+f(\dfrac{1}{2026}) $；
(3) 探究是否存在正数 $ m $ 使得 $ [f(m+1)]^2 + [f(\dfrac{1}{m-1})]^2 + \dfrac{1}{m} = [f(\dfrac{1}{m+1})]^2 + [f(m-1)]^2 $ 成立，若存在，请求出 $ m $ 的值.
(1) 计算：$ f(2)+f(\dfrac{1}{2}) $；
(2) 计算：$ f(1)+f(2)+\dots +f(2025)+f(2026)+f(\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{3})+\dots +f(\dfrac{1}{2025})+f(\dfrac{1}{2026}) $；
(3) 探究是否存在正数 $ m $ 使得 $ [f(m+1)]^2 + [f(\dfrac{1}{m-1})]^2 + \dfrac{1}{m} = [f(\dfrac{1}{m+1})]^2 + [f(m-1)]^2 $ 成立，若存在，请求出 $ m $ 的值.
答案
13. (1) 由题意,得$f(2)+f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2+1}+\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1.$
(2)$\because f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{\frac{1}{x}+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{x}{1+x}=1,$
$\therefore f(1)+f(2)+\dots +f(2\ 025)+f(2\ 026)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+\dots +f(\frac{1}{2\ 025})+f(\frac{1}{2\ 026})$
$=f(1)+[f(2)+f(\frac{1}{2})]+[f(3)+f(\frac{1}{3})]+\dots +[f(2\ 026)+f(\frac{1}{2\ 026})]$
$=\frac{1}{2}+1+1+\dots +1$
$=2\ 025\ \frac{1}{2}.$
(3) 由$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$,得$f(\frac{1}{x})=1-f(x).$
$\because [f(m+1)]^2 + [f(\frac{1}{m-1})]^2 + \frac{1}{m} = [f(\frac{1}{m+1})]^2 + [f(m-1)]^2,$
$\therefore [f(m+1)]^2 + [1-f(m-1)]^2 + \frac{1}{m} = [1-f(m+1)]^2 + [f(m-1)]^2.$
$\therefore [f(m+1)]^2 + 1 - 2f(m-1) + [f(m-1)]^2 = 1 - 2f(m+1) + [f(m+1)]^2 + [f(m-1)]^2 -\frac{1}{m}.$
$\therefore -2f(m-1) = -2f(m+1) -\frac{1}{m}.$
$\because f(x)=\frac{1}{x+1},$
$\therefore -\frac{2}{m} = -\frac{2}{m+2} -\frac{1}{m}.$ 整理,得$\frac{2}{m+2}=\frac{1}{m}.$
解得$m=2.$
经检验,$m=2$是此分式方程的解.
由上可得,$m=2$时,题中等式成立.
(2)$\because f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{\frac{1}{x}+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{x}{1+x}=1,$
$\therefore f(1)+f(2)+\dots +f(2\ 025)+f(2\ 026)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+\dots +f(\frac{1}{2\ 025})+f(\frac{1}{2\ 026})$
$=f(1)+[f(2)+f(\frac{1}{2})]+[f(3)+f(\frac{1}{3})]+\dots +[f(2\ 026)+f(\frac{1}{2\ 026})]$
$=\frac{1}{2}+1+1+\dots +1$
$=2\ 025\ \frac{1}{2}.$
(3) 由$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$,得$f(\frac{1}{x})=1-f(x).$
$\because [f(m+1)]^2 + [f(\frac{1}{m-1})]^2 + \frac{1}{m} = [f(\frac{1}{m+1})]^2 + [f(m-1)]^2,$
$\therefore [f(m+1)]^2 + [1-f(m-1)]^2 + \frac{1}{m} = [1-f(m+1)]^2 + [f(m-1)]^2.$
$\therefore [f(m+1)]^2 + 1 - 2f(m-1) + [f(m-1)]^2 = 1 - 2f(m+1) + [f(m+1)]^2 + [f(m-1)]^2 -\frac{1}{m}.$
$\therefore -2f(m-1) = -2f(m+1) -\frac{1}{m}.$
$\because f(x)=\frac{1}{x+1},$
$\therefore -\frac{2}{m} = -\frac{2}{m+2} -\frac{1}{m}.$ 整理,得$\frac{2}{m+2}=\frac{1}{m}.$
解得$m=2.$
经检验,$m=2$是此分式方程的解.
由上可得,$m=2$时,题中等式成立.
解析
【分析】
(1) 第一问直接根据题中给出的$f(x)$的定义，分别将$x=2$和$x=\frac{1}{2}$代入表达式，计算求和即可。
(2) 第二问先推导$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和的规律：计算$f(x)+f(\frac{1}{x})$，发现其结果恒为1；再观察所求式子，除单独的$f(1)$外，其余项可两两配对为$[f(2)+f(\frac{1}{2})]$、$[f(3)+f(\frac{1}{3})]\dots[f(2026)+f(\frac{1}{2026})]$，每对的和均为1，数清配对数量后加上$f(1)$的值即可得到结果。
(3) 第三问先利用第二问得到的$f(\frac{1}{x})=1-f(x)$的结论，将等式中自变量为倒数的函数项替换为对应1减原函数的形式，代入原式后展开消去同类项，再把$f(x)$的表达式代入得到关于$m$的分式方程，解分式方程后检验根是否符合正数要求即可。
【解析】
(1) 由题意，得$f(2)+f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2+1}+\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$。
(2) $\because f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{\frac{1}{x}+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{x}{1+x}=1$，
$\therefore f(1)+f(2)+\dots +f(2025)+f(2026)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+\dots +f(\frac{1}{2025})+f(\frac{1}{2026})$
$=f(1)+[f(2)+f(\frac{1}{2})]+[f(3)+f(\frac{1}{3})]+\dots +[f(2026)+f(\frac{1}{2026})]$
$=\frac{1}{2}+1+1+\dots +1$
$=2025\frac{1}{2}$。
(3) 由$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$，得$f(\frac{1}{x})=1-f(x)$。
$\because [f(m+1)]^2 + [f(\frac{1}{m-1})]^2 + \frac{1}{m} = [f(\frac{1}{m+1})]^2 + [f(m-1)]^2$，
$\therefore [f(m+1)]^2 + [1-f(m-1)]^2 + \frac{1}{m} = [1-f(m+1)]^2 + [f(m-1)]^2$，
$\therefore [f(m+1)]^2 + 1 - 2f(m-1) + [f(m-1)]^2 + \frac{1}{m} = 1 - 2f(m+1) + [f(m+1)]^2 + [f(m-1)]^2$，
$\therefore -2f(m-1)+\frac{1}{m} = -2f(m+1)$，
$\because f(x)=\frac{1}{x+1}$，
$\therefore -\frac{2}{m} + \frac{1}{m} = -\frac{2}{m+2}$，整理得$\frac{2}{m+2}=\frac{1}{m}$，
解得$m=2$，
经检验，$m=2$是此分式方程的解，且为正数，符合题意。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；
(2) $\boxed{2025\dfrac{1}{2}}$（或$\boxed{\dfrac{4051}{2}}$）；
(3) 存在，$\boxed{m=2}$。
【知识点】
新定义运算，分式化简求值，分式方程的解法
【点评】
本题以新定义函数为背景，综合考查了分式的运算规律探究与分式方程的求解，解题的核心是先推导出$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$的规律，可大幅简化计算过程；解分式方程时要注意检验根是否满足分母不为0的要求。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问直接根据题中给出的$f(x)$的定义，分别将$x=2$和$x=\frac{1}{2}$代入表达式，计算求和即可。
(2) 第二问先推导$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和的规律：计算$f(x)+f(\frac{1}{x})$，发现其结果恒为1；再观察所求式子，除单独的$f(1)$外，其余项可两两配对为$[f(2)+f(\frac{1}{2})]$、$[f(3)+f(\frac{1}{3})]\dots[f(2026)+f(\frac{1}{2026})]$，每对的和均为1，数清配对数量后加上$f(1)$的值即可得到结果。
(3) 第三问先利用第二问得到的$f(\frac{1}{x})=1-f(x)$的结论，将等式中自变量为倒数的函数项替换为对应1减原函数的形式，代入原式后展开消去同类项，再把$f(x)$的表达式代入得到关于$m$的分式方程，解分式方程后检验根是否符合正数要求即可。
【解析】
(1) 由题意，得$f(2)+f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2+1}+\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$。
(2) $\because f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{\frac{1}{x}+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{x}{1+x}=1$，
$\therefore f(1)+f(2)+\dots +f(2025)+f(2026)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+\dots +f(\frac{1}{2025})+f(\frac{1}{2026})$
$=f(1)+[f(2)+f(\frac{1}{2})]+[f(3)+f(\frac{1}{3})]+\dots +[f(2026)+f(\frac{1}{2026})]$
$=\frac{1}{2}+1+1+\dots +1$
$=2025\frac{1}{2}$。
(3) 由$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$，得$f(\frac{1}{x})=1-f(x)$。
$\because [f(m+1)]^2 + [f(\frac{1}{m-1})]^2 + \frac{1}{m} = [f(\frac{1}{m+1})]^2 + [f(m-1)]^2$，
$\therefore [f(m+1)]^2 + [1-f(m-1)]^2 + \frac{1}{m} = [1-f(m+1)]^2 + [f(m-1)]^2$，
$\therefore [f(m+1)]^2 + 1 - 2f(m-1) + [f(m-1)]^2 + \frac{1}{m} = 1 - 2f(m+1) + [f(m+1)]^2 + [f(m-1)]^2$，
$\therefore -2f(m-1)+\frac{1}{m} = -2f(m+1)$，
$\because f(x)=\frac{1}{x+1}$，
$\therefore -\frac{2}{m} + \frac{1}{m} = -\frac{2}{m+2}$，整理得$\frac{2}{m+2}=\frac{1}{m}$，
解得$m=2$，
经检验，$m=2$是此分式方程的解，且为正数，符合题意。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；
(2) $\boxed{2025\dfrac{1}{2}}$（或$\boxed{\dfrac{4051}{2}}$）；
(3) 存在，$\boxed{m=2}$。
【知识点】
新定义运算，分式化简求值，分式方程的解法
【点评】
本题以新定义函数为背景，综合考查了分式的运算规律探究与分式方程的求解，解题的核心是先推导出$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$的规律，可大幅简化计算过程；解分式方程时要注意检验根是否满足分母不为0的要求。
【难度系数】
0.65
