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例 王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车.
(1)用含$m$的代数式表示新能源车的每千米行驶费用；
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5 000元和7 600元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用）
分析:(1)用总电价除以续航里程列出代数式即可；
(2)①根据题意列出分式方程，解方程求出$m$的值，进而即可求解；②设每年行驶里程为$x$ km时，买新能源车的年费用更低，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可求解.
解:(1)新能源车的每千米行驶费用为$\frac{60}{m}$元.
(2)①由题意，得$\frac{320}{m}-\frac{60}{m}=0.52$.
解得$m=500$.
经检验，$m=500$是所列分式方程的解，且符合题意.
∴ $\frac{320}{500}=0.64$，$\frac{60}{500}=0.12$.
答:燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每千米行驶费用为0.12元.
②设每年行驶里程为$x$ km时，买新能源车的年费用更低，
由题意，得 $0.12x+7600＜0.64x+5000$.
解得$x＞5000$.
答:每年行驶里程超过5000 km时，买新能源车的年费用更低.
(1)用含$m$的代数式表示新能源车的每千米行驶费用；
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5 000元和7 600元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用）
分析:(1)用总电价除以续航里程列出代数式即可；
(2)①根据题意列出分式方程，解方程求出$m$的值，进而即可求解；②设每年行驶里程为$x$ km时，买新能源车的年费用更低，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可求解.
解:(1)新能源车的每千米行驶费用为$\frac{60}{m}$元.
(2)①由题意，得$\frac{320}{m}-\frac{60}{m}=0.52$.
解得$m=500$.
经检验，$m=500$是所列分式方程的解，且符合题意.
∴ $\frac{320}{500}=0.64$，$\frac{60}{500}=0.12$.
答:燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每千米行驶费用为0.12元.
②设每年行驶里程为$x$ km时，买新能源车的年费用更低，
由题意，得 $0.12x+7600＜0.64x+5000$.
解得$x＞5000$.
答:每年行驶里程超过5000 km时，买新能源车的年费用更低.
答案
解：(1) 新能源车的总电费为$60×1=60$元，续航里程为$m\ \mathrm{km}$，因此每千米行驶费用为$\frac{60}{m}$元。
(2) ① 由题意，得
$\frac{320}{m}-\frac{60}{m}=0.52$
解得$m=500$。
经检验，$m=500$是所列分式方程的解，且符合题意。
$\therefore \frac{320}{500}=0.64$，$\frac{60}{500}=0.12$。
答：燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每千米行驶费用为0.12元。
② 设每年行驶里程为$x\ \mathrm{km}$时，买新能源车的年费用更低，
由题意，得
$0.12x+7600＜0.64x+5000$
解得$x＞5000$。
答：每年行驶里程超过5000 km时，买新能源车的年费用更低。
(2) ① 由题意，得
$\frac{320}{m}-\frac{60}{m}=0.52$
解得$m=500$。
经检验，$m=500$是所列分式方程的解，且符合题意。
$\therefore \frac{320}{500}=0.64$，$\frac{60}{500}=0.12$。
答：燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每千米行驶费用为0.12元。
② 设每年行驶里程为$x\ \mathrm{km}$时，买新能源车的年费用更低，
由题意，得
$0.12x+7600＜0.64x+5000$
解得$x＞5000$。
答：每年行驶里程超过5000 km时，买新能源车的年费用更低。
解析
【分析】
先计算新能源车的总电费，再用总电费除以续航里程$m$得到其每千米行驶费用；根据燃油车与新能源车每千米行驶费用的差值列分式方程求解$m$，进而得到两款车的每千米费用；最后设每年行驶里程为$x$，根据年费用的关系列一元一次不等式，求解得到结果。
【解析】
(1) 新能源车的总电费为：$60×1 = 60$元，续航里程为$m\ \mathrm{km}$，因此每千米行驶费用为$\frac{60}{m}$元。
(2) ① 根据题意，燃油车每千米行驶费用为$\frac{320}{m}$元，结合“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元”，列方程：
$\frac{320}{m} - \frac{60}{m} = 0.52$
解得$m = 500$。
经检验，$m = 500$是所列分式方程的解，且符合题意。
因此，燃油车每千米行驶费用为$\frac{320}{500}=0.64$元，新能源车每千米行驶费用为$\frac{60}{500}=0.12$元。
② 设每年行驶里程为$x\ \mathrm{km}$时，买新能源车的年费用更低，根据年费用公式（年费用=年行驶费用+年其他费用），列不等式：
$0.12x + 7600 ＜ 0.64x + 5000$
解得$x ＞ 5000$。
【答案】
(1) 新能源车的每千米行驶费用为$\frac{60}{m}$元；
(2) ① 燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每千米行驶费用为0.12元；
② 每年行驶里程超过5000 km时，买新能源车的年费用更低。
【知识点】
分式的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际购车费用问题，考查分式方程和一元一次不等式的应用，需要学生理解题意，找准等量关系与不等关系，正确列出方程和不等式，是典型的数学应用题型。
【难度系数】
0.6
先计算新能源车的总电费，再用总电费除以续航里程$m$得到其每千米行驶费用；根据燃油车与新能源车每千米行驶费用的差值列分式方程求解$m$，进而得到两款车的每千米费用；最后设每年行驶里程为$x$，根据年费用的关系列一元一次不等式，求解得到结果。
【解析】
(1) 新能源车的总电费为：$60×1 = 60$元，续航里程为$m\ \mathrm{km}$，因此每千米行驶费用为$\frac{60}{m}$元。
(2) ① 根据题意，燃油车每千米行驶费用为$\frac{320}{m}$元，结合“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元”，列方程：
$\frac{320}{m} - \frac{60}{m} = 0.52$
解得$m = 500$。
经检验，$m = 500$是所列分式方程的解，且符合题意。
因此，燃油车每千米行驶费用为$\frac{320}{500}=0.64$元，新能源车每千米行驶费用为$\frac{60}{500}=0.12$元。
② 设每年行驶里程为$x\ \mathrm{km}$时，买新能源车的年费用更低，根据年费用公式（年费用=年行驶费用+年其他费用），列不等式：
$0.12x + 7600 ＜ 0.64x + 5000$
解得$x ＞ 5000$。
【答案】
(1) 新能源车的每千米行驶费用为$\frac{60}{m}$元；
(2) ① 燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每千米行驶费用为0.12元；
② 每年行驶里程超过5000 km时，买新能源车的年费用更低。
【知识点】
分式的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际购车费用问题，考查分式方程和一元一次不等式的应用，需要学生理解题意，找准等量关系与不等关系，正确列出方程和不等式，是典型的数学应用题型。
【难度系数】
0.6
下面是小明的一篇回顾与反思,请认真阅读并完成相应的任务.
异分母分式的加减法回顾与反思
【回顾】
今天我们学习了异分母分式的加减法,在课堂小结环节我的总结如下:
下面是我在课堂上化简分式$\frac{4}{x^2 - 4} - \frac{x - 2}{x^2 - 4x + 4}$的过程:
【反思】总之,在学习中我们要善于思考与反思、总结与归纳,在总结中收获经验,为今后的学习奠定坚实的基础.
【任务】
(1)在探究异分母分式的加减法法则时主要体现的数学思想是
A. 函数思想 B. 数形结合思想 C. 转化思想 D. 统计思想
(2)以上化简过程中,第
(3)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯,由于小明的马虎,解题过程出现了错误,从第
异分母分式的加减法回顾与反思
【回顾】
今天我们学习了异分母分式的加减法,在课堂小结环节我的总结如下:
下面是我在课堂上化简分式$\frac{4}{x^2 - 4} - \frac{x - 2}{x^2 - 4x + 4}$的过程:
【反思】总之,在学习中我们要善于思考与反思、总结与归纳,在总结中收获经验,为今后的学习奠定坚实的基础.
【任务】
(1)在探究异分母分式的加减法法则时主要体现的数学思想是
C
;A. 函数思想 B. 数形结合思想 C. 转化思想 D. 统计思想
(2)以上化简过程中,第
三
步是分式的通分,通分的依据是分式的基本性质
;(3)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯,由于小明的马虎,解题过程出现了错误,从第
四
步开始出现错误,化简的正确结果应该是$-\frac{1}{x+2}$
.答案
(1)C
(2)三 分式的基本性质
(3)四 $-\frac{1}{x+2}$
(2)三 分式的基本性质
(3)四 $-\frac{1}{x+2}$
解析
【分析】
首先，问题(1)需明确异分母分式加减法的核心是将异分母转化为同分母，对应数学思想；问题(2)要掌握通分的定义及依据，结合化简步骤判断；问题(3)需先分解分母因式，再通过正确化简过程对比找出错误步骤，计算正确结果。
【解析】
(1) 异分母分式加减法的法则是先通分，将异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式加减法计算，这一过程体现了转化思想，故选C；
(2) 通分是根据分式的基本性质，把异分母分式化为与原分式相等的同分母分式的过程，对应化简过程中的第三步，通分的依据是分式的基本性质；
(3) 先分解分母：$x^2 -4=(x+2)(x-2)$，$x^2 -4x+4=(x-2)^2$，最简公分母为$(x+2)(x-2)^2$，正确化简过程为：$\frac{4}{(x+2)(x-2)} - \frac{x-2}{(x-2)^2} = \frac{4(x-2)}{(x+2)(x-2)^2} - \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-2)^2} = \frac{4x -8 -x^2 +4}{(x+2)(x-2)^2} = \frac{-(x-2)^2}{(x+2)(x-2)^2} = -\frac{1}{x+2}$，故小明从第四步开始出错，正确结果为$-\frac{1}{x+2}$。
【答案】
(1)C；(2)三，分式的基本性质；(3)四，$-\frac{1}{x+2}$
【知识点】
异分母分式加减法，分式的基本性质，因式分解
【点评】
本题考查异分母分式加减法的核心知识，涵盖数学思想、通分依据及化简易错点，要求学生掌握分式化简的完整步骤，培养严谨的解题习惯，是分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.5
首先，问题(1)需明确异分母分式加减法的核心是将异分母转化为同分母，对应数学思想；问题(2)要掌握通分的定义及依据，结合化简步骤判断；问题(3)需先分解分母因式，再通过正确化简过程对比找出错误步骤，计算正确结果。
【解析】
(1) 异分母分式加减法的法则是先通分，将异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式加减法计算，这一过程体现了转化思想，故选C；
(2) 通分是根据分式的基本性质，把异分母分式化为与原分式相等的同分母分式的过程，对应化简过程中的第三步，通分的依据是分式的基本性质；
(3) 先分解分母：$x^2 -4=(x+2)(x-2)$，$x^2 -4x+4=(x-2)^2$，最简公分母为$(x+2)(x-2)^2$，正确化简过程为：$\frac{4}{(x+2)(x-2)} - \frac{x-2}{(x-2)^2} = \frac{4(x-2)}{(x+2)(x-2)^2} - \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-2)^2} = \frac{4x -8 -x^2 +4}{(x+2)(x-2)^2} = \frac{-(x-2)^2}{(x+2)(x-2)^2} = -\frac{1}{x+2}$，故小明从第四步开始出错，正确结果为$-\frac{1}{x+2}$。
【答案】
(1)C；(2)三，分式的基本性质；(3)四，$-\frac{1}{x+2}$
【知识点】
异分母分式加减法，分式的基本性质，因式分解
【点评】
本题考查异分母分式加减法的核心知识，涵盖数学思想、通分依据及化简易错点，要求学生掌握分式化简的完整步骤，培养严谨的解题习惯，是分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.5
