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1. 某种病毒的平均直径是100 nm,1 nm=$10^{-9}$ m,则此种病毒的平均直径用科学记数法表示为
$10^{-7}$
m.答案
$10^{-7}$
解析
【分析】
本题需要将纳米单位的长度换算为米单位并用科学记数法表示，解题思路如下：第一步，根据题目给出的纳米与米的换算关系，列出单位换算的乘法算式；第二步，将算式中的整百数转化为10的幂次形式，满足科学记数法的格式要求；第三步，运用同底数幂的乘法法则计算指数，最终得到规范的科学记数法结果。
【解析】
解：已知$1\ \mathrm{nm}=10^{-9}\ \mathrm{m}$，
则该病毒的平均直径为：
$100\ \mathrm{nm}=100×10^{-9}\ \mathrm{m}$
将100改写为$10^2$，可得：
$=10^2×10^{-9}\ \mathrm{m}$
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则计算：
$=10^{2+(-9)}\ \mathrm{m}$
$=10^{-7}\ \mathrm{m}$
【答案】
$10^{-7}$
【知识点】
1. 科学记数法
2. 同底数幂的乘法
3. 长度单位换算
【点评】
本题是基础应用类题目，重点考察科学记数法的规则和单位换算的方法，解题时要注意科学记数法中$a×10^n$的$a$需满足$1≤|a|＜10$，熟记幂的运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题需要将纳米单位的长度换算为米单位并用科学记数法表示，解题思路如下：第一步，根据题目给出的纳米与米的换算关系，列出单位换算的乘法算式；第二步，将算式中的整百数转化为10的幂次形式，满足科学记数法的格式要求；第三步，运用同底数幂的乘法法则计算指数，最终得到规范的科学记数法结果。
【解析】
解：已知$1\ \mathrm{nm}=10^{-9}\ \mathrm{m}$，
则该病毒的平均直径为：
$100\ \mathrm{nm}=100×10^{-9}\ \mathrm{m}$
将100改写为$10^2$，可得：
$=10^2×10^{-9}\ \mathrm{m}$
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则计算：
$=10^{2+(-9)}\ \mathrm{m}$
$=10^{-7}\ \mathrm{m}$
【答案】
$10^{-7}$
【知识点】
1. 科学记数法
2. 同底数幂的乘法
3. 长度单位换算
【点评】
本题是基础应用类题目，重点考察科学记数法的规则和单位换算的方法，解题时要注意科学记数法中$a×10^n$的$a$需满足$1≤|a|＜10$，熟记幂的运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 不改变分式$\frac{0.5x -1}{0.3x +2}$的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，则所得的结果为
$\frac{5x-10}{3x+20}$
。答案
$\frac{5x-10}{3x+20}$
解析
【分析】
要将分式分子、分母中的小数系数化为整数，需依据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。观察本题分子、分母的系数均为一位小数，因此只需给分子、分母同时乘10即可将所有系数化为整数，注意乘的时候分子、分母的每一项都要参与运算，不能遗漏常数项，避免出现仅乘含x的项的错误。
【解析】
根据分式的基本性质，将原分式的分子和分母同时乘10（10≠0，分式的值不变），计算如下：
$\frac{0.5x -1}{0.3x +2} = \frac{(0.5x -1)×10}{(0.3x +2)×10} = \frac{0.5x×10 - 1×10}{0.3x×10 + 2×10} = \frac{5x - 10}{3x + 20}$
【答案】
$\frac{5x-10}{3x+20}$
【知识点】
分式的基本性质、整式乘法运算
【点评】
本题是分式变形的基础题，核心考查分式基本性质的应用，解题时要注意给分子分母同乘一个数时，每一项都要参与运算，避免因漏乘常数项导致变形错误。
【难度系数】
0.85
要将分式分子、分母中的小数系数化为整数，需依据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。观察本题分子、分母的系数均为一位小数，因此只需给分子、分母同时乘10即可将所有系数化为整数，注意乘的时候分子、分母的每一项都要参与运算，不能遗漏常数项，避免出现仅乘含x的项的错误。
【解析】
根据分式的基本性质，将原分式的分子和分母同时乘10（10≠0，分式的值不变），计算如下：
$\frac{0.5x -1}{0.3x +2} = \frac{(0.5x -1)×10}{(0.3x +2)×10} = \frac{0.5x×10 - 1×10}{0.3x×10 + 2×10} = \frac{5x - 10}{3x + 20}$
【答案】
$\frac{5x-10}{3x+20}$
【知识点】
分式的基本性质、整式乘法运算
【点评】
本题是分式变形的基础题，核心考查分式基本性质的应用，解题时要注意给分子分母同乘一个数时，每一项都要参与运算，避免因漏乘常数项导致变形错误。
【难度系数】
0.85
3. 当x
≠3
时，分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$有意义；当x =-3
时，分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$的值为0.答案
≠3 =-3
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确两个核心规则：①分式有意义的条件是分母不等于0；②分式的值为0需要同时满足两个条件：分子等于0，且分母不等于0，两个条件缺一不可。
第一问求分式有意义时x的取值，直接根据分母不为0列不等式求解即可；第二问求分式值为0时x的取值，先解分子等于0得到x的可能取值，再排除使得分母为0的取值即可得到最终结果。
【解析】
1. 求分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$有意义时x的取值：
分式有意义的条件是分母不为0，即：
$x-3 ≠ 0$
解得：$x ≠ 3$
2. 求分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$的值为0时x的取值：
分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0：
① 令分子为0：$x^2 -9 = 0$
因式分解得：$(x+3)(x-3)=0$
解得：$x=3$或$x=-3$
② 结合分母不为0的要求$x ≠ 3$，排除$x=3$，因此$x=-3$
【答案】
≠3；=-3
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，易错点是求解分式值为0的问题时，容易忽略分母不能为0的限制，直接取分子为0的所有解，解题时要牢记两个条件需同时满足。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确两个核心规则：①分式有意义的条件是分母不等于0；②分式的值为0需要同时满足两个条件：分子等于0，且分母不等于0，两个条件缺一不可。
第一问求分式有意义时x的取值，直接根据分母不为0列不等式求解即可；第二问求分式值为0时x的取值，先解分子等于0得到x的可能取值，再排除使得分母为0的取值即可得到最终结果。
【解析】
1. 求分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$有意义时x的取值：
分式有意义的条件是分母不为0，即：
$x-3 ≠ 0$
解得：$x ≠ 3$
2. 求分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$的值为0时x的取值：
分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0：
① 令分子为0：$x^2 -9 = 0$
因式分解得：$(x+3)(x-3)=0$
解得：$x=3$或$x=-3$
② 结合分母不为0的要求$x ≠ 3$，排除$x=3$，因此$x=-3$
【答案】
≠3；=-3
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，易错点是求解分式值为0的问题时，容易忽略分母不能为0的限制，直接取分子为0的所有解，解题时要牢记两个条件需同时满足。
【难度系数】
0.8
4. 计算:(1) $\frac{2x^2}{3y^2} · \frac{5y}{6x} ÷ \frac{10y}{21x^2};$
(2) $\frac{x}{x^2 -4x +4} - \frac{x}{x^2 -4} + \frac{1}{2x +4};$
(3) $(4a)^{-1} ÷ \frac{1}{8a} -3a · ( \frac{a^3}{a^2 +6a +9} )^0.$
(2) $\frac{x}{x^2 -4x +4} - \frac{x}{x^2 -4} + \frac{1}{2x +4};$
(3) $(4a)^{-1} ÷ \frac{1}{8a} -3a · ( \frac{a^3}{a^2 +6a +9} )^0.$
答案
(1) $\frac{7x^3}{6y^2}$
(2) $\frac{x+2}{2(x-2)^2}$
(3) $2-3a$
(2) $\frac{x+2}{2(x-2)^2}$
(3) $2-3a$
解析
【分析】
(1) 分式乘除混合运算，解题思路是先将除法转化为乘法，再分别对系数、同底数幂进行运算，最后约分化为最简分式即可。
(2) 分式加减混合运算，首先需要对各分式的分母因式分解，找到最简公分母，再通分将异分母分式转化为同分母分式，然后分子相加减，最后约分得到最简结果。
(3) 涉及负整数指数幂、零指数幂和分式四则运算的综合题，按照运算顺序：先算乘方（负指数、零指数），再算乘除，最后算加减；注意零指数幂的底数不为0时结果为1，负指数幂等于把幂指数变号后所得幂的倒数。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再约分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2x^2}{3y^2} · \frac{5y}{6x} · \frac{21x^2}{10y}\\&=\frac{2×5×21·x^2·x·x^2}{3×6×10·y^2·y·y}\\&=\frac{210x^3}{180y^2}\\&=\frac{7x^3}{6y^2}\end{aligned}$
(2) 先因式分解各分母，确定最简公分母为$2(x-2)^2(x+2)$，再通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x}{(x-2)^2} - \frac{x}{(x+2)(x-2)} + \frac{1}{2(x+2)}\\&=\frac{2x(x+2) - 2x(x-2) + (x-2)^2}{2(x-2)^2(x+2)}\\&=\frac{2x^2+4x -2x^2+4x +x^2-4x+4}{2(x-2)^2(x+2)}\\&=\frac{x^2+4x+4}{2(x-2)^2(x+2)}\\&=\frac{(x+2)^2}{2(x-2)^2(x+2)}\\&=\frac{x+2}{2(x-2)^2}\end{aligned}$
(3) 先计算负指数幂和零指数幂，再算乘除，最后算加减：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4a} ÷ \frac{1}{8a} - 3a ×1\\&=\frac{1}{4a} ×8a -3a\\&=2 -3a\end{aligned}$
（注：零指数幂$( \frac{a^3}{a^2 +6a +9} )^0$中，$a≠-3$，符合运算前提）
【答案】
(1) $\frac{7x^3}{6y^2}$；(2) $\frac{x+2}{2(x-2)^2}$；(3) $2-3a$
【知识点】
分式的乘除运算、分式的加减运算、整数指数幂的运算
【点评】
这组题目核心考察分式运算和整数指数幂的运算规则，解题时需注意：乘除运算先统一为乘法再约分可简化计算，加减运算要先因式分解分母再找最简公分母通分，零指数幂要注意底数不为0的隐含条件，最终结果必须化为最简形式。
【难度系数】
0.7
(1) 分式乘除混合运算，解题思路是先将除法转化为乘法，再分别对系数、同底数幂进行运算，最后约分化为最简分式即可。
(2) 分式加减混合运算，首先需要对各分式的分母因式分解，找到最简公分母，再通分将异分母分式转化为同分母分式，然后分子相加减，最后约分得到最简结果。
(3) 涉及负整数指数幂、零指数幂和分式四则运算的综合题，按照运算顺序：先算乘方（负指数、零指数），再算乘除，最后算加减；注意零指数幂的底数不为0时结果为1，负指数幂等于把幂指数变号后所得幂的倒数。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再约分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2x^2}{3y^2} · \frac{5y}{6x} · \frac{21x^2}{10y}\\&=\frac{2×5×21·x^2·x·x^2}{3×6×10·y^2·y·y}\\&=\frac{210x^3}{180y^2}\\&=\frac{7x^3}{6y^2}\end{aligned}$
(2) 先因式分解各分母，确定最简公分母为$2(x-2)^2(x+2)$，再通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x}{(x-2)^2} - \frac{x}{(x+2)(x-2)} + \frac{1}{2(x+2)}\\&=\frac{2x(x+2) - 2x(x-2) + (x-2)^2}{2(x-2)^2(x+2)}\\&=\frac{2x^2+4x -2x^2+4x +x^2-4x+4}{2(x-2)^2(x+2)}\\&=\frac{x^2+4x+4}{2(x-2)^2(x+2)}\\&=\frac{(x+2)^2}{2(x-2)^2(x+2)}\\&=\frac{x+2}{2(x-2)^2}\end{aligned}$
(3) 先计算负指数幂和零指数幂，再算乘除，最后算加减：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4a} ÷ \frac{1}{8a} - 3a ×1\\&=\frac{1}{4a} ×8a -3a\\&=2 -3a\end{aligned}$
（注：零指数幂$( \frac{a^3}{a^2 +6a +9} )^0$中，$a≠-3$，符合运算前提）
【答案】
(1) $\frac{7x^3}{6y^2}$；(2) $\frac{x+2}{2(x-2)^2}$；(3) $2-3a$
【知识点】
分式的乘除运算、分式的加减运算、整数指数幂的运算
【点评】
这组题目核心考察分式运算和整数指数幂的运算规则，解题时需注意：乘除运算先统一为乘法再约分可简化计算，加减运算要先因式分解分母再找最简公分母通分，零指数幂要注意底数不为0的隐含条件，最终结果必须化为最简形式。
【难度系数】
0.7
