登录
5. 解下列方程.
(1)$\frac{3}{x-2}-\frac{x}{2-x}=-2;$
(2)$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}=1;$
(3)$\frac{2x}{x+3}+1=\frac{7}{2x+6}.$
(1)$\frac{3}{x-2}-\frac{x}{2-x}=-2;$
(2)$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}=1;$
(3)$\frac{2x}{x+3}+1=\frac{7}{2x+6}.$
答案
(1) $x=\frac{1}{3}$
(2) 原方程无解
(3) $x=\frac{1}{6}$
(2) 原方程无解
(3) $x=\frac{1}{6}$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径为：①先整理各分母，互为相反数的分母可统一符号，能因式分解的分母先因式分解，据此确定最简公分母，同时明确分母不为0的限制条件；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解所得的整式方程；④将整式方程的根代入最简公分母检验，若公分母为0则该根是增根，原方程无解，若公分母不为0则该根为原分式方程的解。
【解析】
(1) 原方程变形为：$\frac{3}{x-2}+\frac{x}{x-2}=-2$
由分母不为0得$x≠2$，方程两边同乘最简公分母$(x-2)$去分母得：
$3 + x = -2(x-2)$
解整式方程：
$3 + x = -2x + 4$
$3x = 1$
$x=\frac{1}{3}$
检验：将$x=\frac{1}{3}$代入$x-2$，得$\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}≠0$，是原方程的解。
(2) 先分解分母：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，由分母不为0得$x≠\pm1$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘最简公分母去分母得：
$(x+1)^2 - 4 = x^2 - 1$
解整式方程：
$x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 - 1$
$2x = 2$
$x=1$
检验：将$x=1$代入$(x+1)(x-1)$，得$(1+1)(1-1)=0$，因此$x=1$是增根，原方程无解。
(3) 整理分母：$2x+6=2(x+3)$，由分母不为0得$x≠-3$，最简公分母为$2(x+3)$，方程两边同乘最简公分母去分母得：
$4x + 2(x+3) = 7$
解整式方程：
$4x + 2x + 6 = 7$
$6x = 1$
$x=\frac{1}{6}$
检验：将$x=\frac{1}{6}$代入$2(x+3)$，得$2×(\frac{1}{6}+3)=\frac{19}{3}≠0$，是原方程的解。
【答案】
(1) $x=\frac{1}{3}$
(2) 原方程无解
(3) $x=\frac{1}{6}$
【知识点】
分式方程解法，增根检验，因式分解
【点评】
这三道是分式方程求解的典型基础题，覆盖了分母互为相反数、含可因式分解的二次分母等常见考法，解题关键是找准最简公分母，求解后务必检验，避免误将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径为：①先整理各分母，互为相反数的分母可统一符号，能因式分解的分母先因式分解，据此确定最简公分母，同时明确分母不为0的限制条件；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解所得的整式方程；④将整式方程的根代入最简公分母检验，若公分母为0则该根是增根，原方程无解，若公分母不为0则该根为原分式方程的解。
【解析】
(1) 原方程变形为：$\frac{3}{x-2}+\frac{x}{x-2}=-2$
由分母不为0得$x≠2$，方程两边同乘最简公分母$(x-2)$去分母得：
$3 + x = -2(x-2)$
解整式方程：
$3 + x = -2x + 4$
$3x = 1$
$x=\frac{1}{3}$
检验：将$x=\frac{1}{3}$代入$x-2$，得$\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}≠0$，是原方程的解。
(2) 先分解分母：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，由分母不为0得$x≠\pm1$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘最简公分母去分母得：
$(x+1)^2 - 4 = x^2 - 1$
解整式方程：
$x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 - 1$
$2x = 2$
$x=1$
检验：将$x=1$代入$(x+1)(x-1)$，得$(1+1)(1-1)=0$，因此$x=1$是增根，原方程无解。
(3) 整理分母：$2x+6=2(x+3)$，由分母不为0得$x≠-3$，最简公分母为$2(x+3)$，方程两边同乘最简公分母去分母得：
$4x + 2(x+3) = 7$
解整式方程：
$4x + 2x + 6 = 7$
$6x = 1$
$x=\frac{1}{6}$
检验：将$x=\frac{1}{6}$代入$2(x+3)$，得$2×(\frac{1}{6}+3)=\frac{19}{3}≠0$，是原方程的解。
【答案】
(1) $x=\frac{1}{3}$
(2) 原方程无解
(3) $x=\frac{1}{6}$
【知识点】
分式方程解法，增根检验，因式分解
【点评】
这三道是分式方程求解的典型基础题，覆盖了分母互为相反数、含可因式分解的二次分母等常见考法，解题关键是找准最简公分母，求解后务必检验，避免误将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
6. 阅读下列解题过程：
已知$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4+1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$，知$x≠0$.
∴ $\frac{x^2+1}{x}=3$，即$x+\frac{1}{x}=3$.
∴ $\frac{x^4+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$.
∴ $\frac{x^2}{x^4+1}=\frac{1}{7}$.
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”.请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4+1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$，知$x≠0$.
∴ $\frac{x^2+1}{x}=3$，即$x+\frac{1}{x}=3$.
∴ $\frac{x^4+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$.
∴ $\frac{x^2}{x^4+1}=\frac{1}{7}$.
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”.请你利用“倒数法”解决下面的问题：
答案
(1)$\because \frac{m}{m^2-1}=\frac{1}{4}$,
$\therefore \frac{m^2-1}{m}=4$,即 $m-\frac{1}{m}=4$.
$\therefore \frac{m^4+1}{m^2}=m^2+\frac{1}{m^2}=(m-\frac{1}{m})^2 +2=4^2+2=18$.
$\therefore \frac{m^2}{m^4+1}=\frac{1}{18}$.
(2)$\because \frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{6}$,
$\therefore \frac{x^2+x+1}{x}=6$,即 $x+\frac{1}{x}+1=6$.
$\therefore x+\frac{1}{x}=5$.
$\therefore \frac{x^4-x^2+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-1=(x+\frac{1}{x})^2 -2-1=5^2-2-1=22$.
$\therefore \frac{x^2}{x^4-x^2+1}=\frac{1}{22}$.
$\therefore \frac{m^2-1}{m}=4$,即 $m-\frac{1}{m}=4$.
$\therefore \frac{m^4+1}{m^2}=m^2+\frac{1}{m^2}=(m-\frac{1}{m})^2 +2=4^2+2=18$.
$\therefore \frac{m^2}{m^4+1}=\frac{1}{18}$.
(2)$\because \frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{6}$,
$\therefore \frac{x^2+x+1}{x}=6$,即 $x+\frac{1}{x}+1=6$.
$\therefore x+\frac{1}{x}=5$.
$\therefore \frac{x^4-x^2+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-1=(x+\frac{1}{x})^2 -2-1=5^2-2-1=22$.
$\therefore \frac{x^2}{x^4-x^2+1}=\frac{1}{22}$.
解析
【分析】
本题使用题干给出的“倒数法”求解：
(1) 首先判断$m≠0$（若$m=0$，已知等式左边为0，与右边$\frac{1}{4}$矛盾），将已知等式两边取倒数，变形得到$m-\frac{1}{m}$的值；再将待求式$\frac{m^2}{m^4+1}$取倒数，拆分后可转化为含$m^2+\frac{1}{m^2}$的形式，利用完全平方公式将$m^2+\frac{1}{m^2}$用$m-\frac{1}{m}$表示，代入数值计算后再取倒数即可得到结果。
(2) 同理先判断$x≠0$，将已知等式取倒数变形得到$x+\frac{1}{x}$的值；再对待求式取倒数拆分，转化为含$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，用完全平方公式变形代入计算，最后取倒数得到结果。
【解析】
(1) $\because \frac{m}{m^2-1}=\frac{1}{4}$，可知$m≠0$，
$\therefore$ 等式两边取倒数得：$\frac{m^2-1}{m}=4$，即 $m-\frac{1}{m}=4$，
将待求式取倒数得：$\frac{m^4+1}{m^2}=m^2+\frac{1}{m^2}=(m-\frac{1}{m})^2 +2$，
代入$m-\frac{1}{m}=4$得：$4^2+2=18$，
$\therefore \frac{m^2}{m^4+1}=\frac{1}{18}$。
(2) $\because \frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{6}$，可知$x≠0$，
$\therefore$ 等式两边取倒数得：$\frac{x^2+x+1}{x}=6$，即 $x+\frac{1}{x}+1=6$，
$\therefore x+\frac{1}{x}=5$，
将待求式取倒数得：$\frac{x^4-x^2+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-1=(x+\frac{1}{x})^2 -2-1$，
代入$x+\frac{1}{x}=5$得：$5^2-2-1=22$，
$\therefore \frac{x^2}{x^4-x^2+1}=\frac{1}{22}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{18}$；(2) $\frac{1}{22}$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，倒数法求值
【点评】
本题是方法类应用题，核心是掌握“倒数法”的使用场景，通过对已知等式和待求式分别取倒数，结合完全平方公式变形，可避免求解高次方程，大幅简化计算过程，是分式求值中常用的简便方法。
【难度系数】
0.7
本题使用题干给出的“倒数法”求解：
(1) 首先判断$m≠0$（若$m=0$，已知等式左边为0，与右边$\frac{1}{4}$矛盾），将已知等式两边取倒数，变形得到$m-\frac{1}{m}$的值；再将待求式$\frac{m^2}{m^4+1}$取倒数，拆分后可转化为含$m^2+\frac{1}{m^2}$的形式，利用完全平方公式将$m^2+\frac{1}{m^2}$用$m-\frac{1}{m}$表示，代入数值计算后再取倒数即可得到结果。
(2) 同理先判断$x≠0$，将已知等式取倒数变形得到$x+\frac{1}{x}$的值；再对待求式取倒数拆分，转化为含$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，用完全平方公式变形代入计算，最后取倒数得到结果。
【解析】
(1) $\because \frac{m}{m^2-1}=\frac{1}{4}$，可知$m≠0$，
$\therefore$ 等式两边取倒数得：$\frac{m^2-1}{m}=4$，即 $m-\frac{1}{m}=4$，
将待求式取倒数得：$\frac{m^4+1}{m^2}=m^2+\frac{1}{m^2}=(m-\frac{1}{m})^2 +2$，
代入$m-\frac{1}{m}=4$得：$4^2+2=18$，
$\therefore \frac{m^2}{m^4+1}=\frac{1}{18}$。
(2) $\because \frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{6}$，可知$x≠0$，
$\therefore$ 等式两边取倒数得：$\frac{x^2+x+1}{x}=6$，即 $x+\frac{1}{x}+1=6$，
$\therefore x+\frac{1}{x}=5$，
将待求式取倒数得：$\frac{x^4-x^2+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-1=(x+\frac{1}{x})^2 -2-1$，
代入$x+\frac{1}{x}=5$得：$5^2-2-1=22$，
$\therefore \frac{x^2}{x^4-x^2+1}=\frac{1}{22}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{18}$；(2) $\frac{1}{22}$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，倒数法求值
【点评】
本题是方法类应用题，核心是掌握“倒数法”的使用场景，通过对已知等式和待求式分别取倒数，结合完全平方公式变形，可避免求解高次方程，大幅简化计算过程，是分式求值中常用的简便方法。
【难度系数】
0.7
