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7. 先阅读下面的材料，然后解答问题：
通过观察，发现方程：
$x+\dfrac{1}{x}=2+\dfrac{1}{2}$的解为$x_1=2,x_2=\dfrac{1}{2}$；
$x+\dfrac{1}{x}=3+\dfrac{1}{3}$的解为$x_1=3,x_2=\dfrac{1}{3}$；
$x+\dfrac{1}{x}=4+\dfrac{1}{4}$的解为$x_1=4,x_2=\dfrac{1}{4}$.
（1）猜想方程$x+\dfrac{1}{x}=5+\dfrac{1}{5}$的解是________；
（2）猜想关于$x$的方程$x+\dfrac{1}{x}=a+\dfrac{1}{a}$的解是________；
（3）用上述方法求关于$x$的方程$\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=a+\dfrac{1}{a+1}$的解.
通过观察，发现方程：
$x+\dfrac{1}{x}=2+\dfrac{1}{2}$的解为$x_1=2,x_2=\dfrac{1}{2}$；
$x+\dfrac{1}{x}=3+\dfrac{1}{3}$的解为$x_1=3,x_2=\dfrac{1}{3}$；
$x+\dfrac{1}{x}=4+\dfrac{1}{4}$的解为$x_1=4,x_2=\dfrac{1}{4}$.
（1）猜想方程$x+\dfrac{1}{x}=5+\dfrac{1}{5}$的解是________；
（2）猜想关于$x$的方程$x+\dfrac{1}{x}=a+\dfrac{1}{a}$的解是________；
（3）用上述方法求关于$x$的方程$\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=a+\dfrac{1}{a+1}$的解.
答案
(1)$x_1=5,x_2=\frac{1}{5}$
(2)$x_1=a,x_2=\frac{1}{a}$
(3)关于$x$的方程$\frac{x^2+x+1}{x+1}=a+\frac{1}{a+1}$可化为
$x+1+\frac{1}{x+1}=a+1+\frac{1}{a+1}$,
$\therefore x+1=a+1$,或$x+1=\frac{1}{a+1}$.
$\therefore x_1=a,x_2=-\frac{a}{a+1}$.
(2)$x_1=a,x_2=\frac{1}{a}$
(3)关于$x$的方程$\frac{x^2+x+1}{x+1}=a+\frac{1}{a+1}$可化为
$x+1+\frac{1}{x+1}=a+1+\frac{1}{a+1}$,
$\therefore x+1=a+1$,或$x+1=\frac{1}{a+1}$.
$\therefore x_1=a,x_2=-\frac{a}{a+1}$.
解析
【分析】
本题属于规律探究类分式方程问题，解题思路如下：①先观察给出的3个方程及其解的特征，总结出形如“$x+\dfrac{1}{x}=c+\dfrac{1}{c}$”的分式方程的解为$x_1=c$，$x_2=\dfrac{1}{c}$的规律；②第（1）（2）问直接套用总结的规律即可得到答案；③第（3）问先对左边的分式进行拆分化简，通过在等式两边同时加1的方式，将方程变形为符合上述规律的形式，再套用规律求解，最后检验解是否使原方程分母不为0即可。
【解析】
（1）根据给出的方程解的规律，方程$x+\dfrac{1}{x}=5+\dfrac{1}{5}$的解为$x_1=5$，$x_2=\dfrac{1}{5}$；
（2）将规律推广到一般形式，关于$x$的方程$x+\dfrac{1}{x}=a+\dfrac{1}{a}$的解为$x_1=a$，$x_2=\dfrac{1}{a}$；
（3）先对原方程左边的分式变形：
$\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=\dfrac{x(x+1)+1}{x+1}=x+\dfrac{1}{x+1}$
则原方程可化为：$x+\dfrac{1}{x+1}=a+\dfrac{1}{a+1}$
等式两边同时加1，得：$x+1+\dfrac{1}{x+1}=a+1+\dfrac{1}{a+1}$
根据总结的规律可得：$x+1=a+1$ 或 $x+1=\dfrac{1}{a+1}$
分别求解：
①解$x+1=a+1$，得$x=a$；
②解$x+1=\dfrac{1}{a+1}$，得$x=\dfrac{1}{a+1}-1=\dfrac{1-(a+1)}{a+1}=-\dfrac{a}{a+1}$
经检验，$x=a$和$x=-\dfrac{a}{a+1}$均为原方程的解。
【答案】
(1)$x_1=5,x_2=\frac{1}{5}$
(2)$x_1=a,x_2=\frac{1}{a}$
(3)$x_1=a,x_2=-\frac{a}{a+1}$
【知识点】
分式方程的解，规律探究，分式化简
【点评】
本题以规律探究为载体考查分式方程的解法，需要学生具备较强的观察归纳能力，核心是运用转化思想，将待求解的陌生方程变形为符合已知规律的形式从而快速得解，是分式方程章节的典型拓展题型。
【难度系数】
0.65
本题属于规律探究类分式方程问题，解题思路如下：①先观察给出的3个方程及其解的特征，总结出形如“$x+\dfrac{1}{x}=c+\dfrac{1}{c}$”的分式方程的解为$x_1=c$，$x_2=\dfrac{1}{c}$的规律；②第（1）（2）问直接套用总结的规律即可得到答案；③第（3）问先对左边的分式进行拆分化简，通过在等式两边同时加1的方式，将方程变形为符合上述规律的形式，再套用规律求解，最后检验解是否使原方程分母不为0即可。
【解析】
（1）根据给出的方程解的规律，方程$x+\dfrac{1}{x}=5+\dfrac{1}{5}$的解为$x_1=5$，$x_2=\dfrac{1}{5}$；
（2）将规律推广到一般形式，关于$x$的方程$x+\dfrac{1}{x}=a+\dfrac{1}{a}$的解为$x_1=a$，$x_2=\dfrac{1}{a}$；
（3）先对原方程左边的分式变形：
$\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=\dfrac{x(x+1)+1}{x+1}=x+\dfrac{1}{x+1}$
则原方程可化为：$x+\dfrac{1}{x+1}=a+\dfrac{1}{a+1}$
等式两边同时加1，得：$x+1+\dfrac{1}{x+1}=a+1+\dfrac{1}{a+1}$
根据总结的规律可得：$x+1=a+1$ 或 $x+1=\dfrac{1}{a+1}$
分别求解：
①解$x+1=a+1$，得$x=a$；
②解$x+1=\dfrac{1}{a+1}$，得$x=\dfrac{1}{a+1}-1=\dfrac{1-(a+1)}{a+1}=-\dfrac{a}{a+1}$
经检验，$x=a$和$x=-\dfrac{a}{a+1}$均为原方程的解。
【答案】
(1)$x_1=5,x_2=\frac{1}{5}$
(2)$x_1=a,x_2=\frac{1}{a}$
(3)$x_1=a,x_2=-\frac{a}{a+1}$
【知识点】
分式方程的解，规律探究，分式化简
【点评】
本题以规律探究为载体考查分式方程的解法，需要学生具备较强的观察归纳能力，核心是运用转化思想，将待求解的陌生方程变形为符合已知规律的形式从而快速得解，是分式方程章节的典型拓展题型。
【难度系数】
0.65
8. 某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比用2400万元购进B型汽车的数量少20辆.
(1)A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
(2)该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购进多少辆A型汽车？
(1)A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
(2)该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购进多少辆A型汽车？
答案
(1)设每辆B型汽车的进价为$x$万元,则每辆A型汽车的进价为$1.5x$万元.
根据题意,得
$\frac{2400}{x}-\frac{3000}{1.5x}=20$.
解得$x=20$.
经检验,$x=20$是所列分式方程的解,且符合题意.
$\therefore 1.5×20=30$(万元).
答:A型汽车的进价为每辆30万元,B型汽车的进价为每辆20万元.
(2)设购进A型汽车$m$辆,则购进B型汽车$(150-m)$辆.
根据题意,得
$30m+20(150-m)≤ 3600$.
解得$m≤ 60$.
答:最多可以购进60辆A型汽车.
根据题意,得
$\frac{2400}{x}-\frac{3000}{1.5x}=20$.
解得$x=20$.
经检验,$x=20$是所列分式方程的解,且符合题意.
$\therefore 1.5×20=30$(万元).
答:A型汽车的进价为每辆30万元,B型汽车的进价为每辆20万元.
(2)设购进A型汽车$m$辆,则购进B型汽车$(150-m)$辆.
根据题意,得
$30m+20(150-m)≤ 3600$.
解得$m≤ 60$.
答:最多可以购进60辆A型汽车.
解析
【分析】
(1) 第一问为分式方程实际应用，首先明确两个核心关系：①A型汽车进价是B型汽车进价的1.5倍；②用2400万元购进B型汽车的数量比用3000万元购进A型汽车的数量多20辆。我们可以设B型汽车进价为x万元，用x表示出A型汽车的进价，再根据“数量=总价÷单价”分别表示两款车的购买数量，代入第二个数量关系列分式方程求解，注意分式方程必须检验根是否为增根、是否符合实际题意。
(2) 第二问为一元一次不等式实际应用，核心不等关系是：购进两款汽车的总费用不超过3600万元。设购进A型汽车m辆，用m表示出B型汽车的购进数量，代入不等关系列不等式，求解后取最大正整数解即可得到最多购进A型汽车的数量。
【解析】
(1)设每辆B型汽车的进价为$x$万元,则每辆A型汽车的进价为$1.5x$万元.
根据题意,得
$\frac{2400}{x}-\frac{3000}{1.5x}=20$.
解得$x=20$.
经检验,$x=20$是所列分式方程的解,且符合题意.
$\therefore 1.5×20=30$(万元).
答:A型汽车的进价为每辆30万元,B型汽车的进价为每辆20万元.
(2)设购进A型汽车$m$辆,则购进B型汽车$(150-m)$辆.
根据题意,得
$30m+20(150-m)≤ 3600$.
解得$m≤ 60$.
答:最多可以购进60辆A型汽车.
【答案】
(1)A型汽车进价为每辆30万元，B型汽车进价为每辆20万元；
(2)最多可以购进60辆A型汽车。
【知识点】
分式方程的实际应用；一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，解题关键是准确从题干中提取等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解。需要注意分式方程要做双检验，不等式的解要结合实际场景取符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为分式方程实际应用，首先明确两个核心关系：①A型汽车进价是B型汽车进价的1.5倍；②用2400万元购进B型汽车的数量比用3000万元购进A型汽车的数量多20辆。我们可以设B型汽车进价为x万元，用x表示出A型汽车的进价，再根据“数量=总价÷单价”分别表示两款车的购买数量，代入第二个数量关系列分式方程求解，注意分式方程必须检验根是否为增根、是否符合实际题意。
(2) 第二问为一元一次不等式实际应用，核心不等关系是：购进两款汽车的总费用不超过3600万元。设购进A型汽车m辆，用m表示出B型汽车的购进数量，代入不等关系列不等式，求解后取最大正整数解即可得到最多购进A型汽车的数量。
【解析】
(1)设每辆B型汽车的进价为$x$万元,则每辆A型汽车的进价为$1.5x$万元.
根据题意,得
$\frac{2400}{x}-\frac{3000}{1.5x}=20$.
解得$x=20$.
经检验,$x=20$是所列分式方程的解,且符合题意.
$\therefore 1.5×20=30$(万元).
答:A型汽车的进价为每辆30万元,B型汽车的进价为每辆20万元.
(2)设购进A型汽车$m$辆,则购进B型汽车$(150-m)$辆.
根据题意,得
$30m+20(150-m)≤ 3600$.
解得$m≤ 60$.
答:最多可以购进60辆A型汽车.
【答案】
(1)A型汽车进价为每辆30万元，B型汽车进价为每辆20万元；
(2)最多可以购进60辆A型汽车。
【知识点】
分式方程的实际应用；一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，解题关键是准确从题干中提取等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解。需要注意分式方程要做双检验，不等式的解要结合实际场景取符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
