6. 如图，已知线段AB.
(1)尺规作图：延长AB到点C，使$BC=2AB$(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，取AC的中点D. 若$AB=4$，求BD的长.

解：
(1) 按要求完成尺规作图，保留作图痕迹：延长AB，以点B为圆心、AB长为半径画弧，在AB延长线上得到第一个分点，再以该分点为圆心、AB长为半径画弧，在延长线上得到点C，即满足$BC=2AB$。
(2) $\because AB=4$，$BC=2AB$
$\therefore BC=2×4=8$
$\therefore AC=AB+BC=4+8=12$
$\because D$是$AC$的中点
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$
$\therefore BD=AD-AB=6-4=2$
答：$BD$的长为2。

【分析】
(1) 尺规作图部分：要得到$BC=2AB$，需先延长AB，再在AB的延长线上连续截取2段长度等于AB的线段，即可得到符合要求的点C，作图时注意保留圆弧痕迹。
(2) 线段计算部分：先根据AB的长度和BC与AB的倍数关系求出BC的长，再求和得到AC的总长度；之后利用线段中点的性质求出AD的长度，最后通过AD与AB的差即可算出BD的长度。
【解析】
(1) 按要求作图：延长AB，以点B为圆心、AB长为半径画弧，交AB延长线于一点，再以该点为圆心、AB长为半径画弧，交AB延长线于点C，此时$BC=2AB$，保留作图痕迹即可。
(2) 已知$AB=4$，且$BC=2AB$，
$\therefore BC=2×4=8$，
$\therefore AC=AB+BC=4+8=12$，
$\because D$是$AC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$，
$\therefore BD=AD-AB=6-4=2$。
【答案】
(1) 作图见上述解析；
(2) $BD$的长为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
尺规作图作线段；线段和差计算；线段中点的性质
【点评】
本题综合考查尺规作图的基本操作和线段的相关计算，属于基础题型，作图时要注意保留规定的作图痕迹，计算部分只要梳理清楚各线段的数量关系，结合中点的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

1. 下列说法正确的是().

A.若$AC+CB=AB$，则点$C$在线段$AB$上
B.连接两点的线段叫两点之间的距离
C.直线比射线长
D.若$AP=PB$，则点$P$是线段$AB$的中点

A

【分析】
本题属于几何基本概念辨析题，解题核心是逐一对照每个选项对应的几何定义、性质判断正误，排除错误选项即可得到正确答案。思考时要注意每个概念成立的前提条件，不能遗漏限制要素：①判断A选项时结合“两点之间线段最短”的性质分析，若点C不在线段AB上，AC与CB的和必然大于AB的长度；②判断B选项要明确“距离是长度，不是线段本身”；③判断C选项要牢记直线、射线都是无限延伸的，没有固定长度；④判断D选项要注意线段中点的前提是点必须在线段上。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据两点之间线段最短的性质，若点C不在线段AB上，那么路径A→C→B的长度AC+CB一定大于线段AB的长度，只有当点C在线段AB上时，才有AC+CB=AB，因此该说法正确。
B选项：连接两点的线段的长度才叫做两点之间的距离，距离是一个数值，不是线段本身，因此该说法错误。
C选项：直线可以向两端无限延伸，射线可以向一端无限延伸，二者都没有确定的长度，无法比较长短，因此该说法错误。
D选项：若点P不在线段AB上，即使满足AP=PB，点P也不是线段AB的中点，只有当P在线段AB上且AP=PB时，P才是AB的中点，因此该说法错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
线段和差性质、两点间的距离、线段中点的定义
【点评】
本题侧重考查对几何基础概念的准确理解，易错点是容易忽略概念的限制条件，比如判断线段中点时忘记点需在线段上、混淆距离和线段的区别，学习时要记全概念的完整表述，避免断章取义。
【难度系数】
0.7

2. 小明家距学校2 km，小亮家距学校3 km，则小明家与小亮家距离是().

A.1 km
B.5 km
C.1 km或5 km
D.无法确定

D

【分析】
解题时首先要明确题目给出的条件：仅知道小明家、小亮家分别到学校的距离，没有说明三个地点的位置是否在同一条直线上，也没有说明两家在学校的同侧还是异侧。我们可以先假设共线的情况，能得到1km或5km两种结果，但如果三个地点不在同一直线上，两家的距离还会有其他可能，所以因为位置关系不确定，无法得出确定的距离。
【解析】
题目没有明确小明家、小亮家、学校三个地点的位置关系，分情况讨论如下：
1. 若三个地点在同一条直线上：
当小明家和小亮家在学校的同一侧时，两家的距离为 $3 - 2 = 1\ \mathrm{km}$；
当小明家和小亮家在学校的两侧时，两家的距离为 $3 + 2 = 5\ \mathrm{km}$。
2. 若三个地点不在同一条直线上，小明家与小亮家的距离既不是1km也不是5km，存在多种可能的结果。
由于位置关系不明确，无法确定小明家与小亮家的距离，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
两点间距离，位置与方向
【点评】
本题的易错点是默认三个地点在同一直线上，仅考虑共线的两种情况从而误选C，解题时要注意全面分析所有可能的位置关系，不要漏考虑非共线的情况。
【难度系数】
0.6

3. 如图，线段AB表示一根对折以后的绳子. 现从P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为32 cm；若$AP=\frac{1}{4}PB$，则这条绳子的原长为 cm.

解：设AP = x cm，则PB = 4x cm。
分两种情况讨论：
1. 若折点为点B，剪断后最长段为2PB：
2×4x = 32
解得x = 4
绳子原长为2(AP + PB) = 2×(x + 4x) = 10x = 40 cm。
2. 若折点为点A，剪断后最长段为PB：
4x = 32
解得x = 8
绳子原长为2(AP + PB) = 2×(x + 4x) = 10x = 80 cm。
综上，这条绳子的原长为$\boldsymbol{40或80}$ cm。

【分析】
本题为对折绳子剪断的线段计算问题，首先要明确对折的折点存在两种可能：折点为A或折点为B。已知AP和PB的比例关系，我们可以先设AP的长度为未知数，用未知数表示出PB的长度，再针对两种折点的情况，分别找到剪断后最长段对应的表达式，结合最长段为32cm的条件列方程求解，最后计算绳子原长即可，解题时注意不要遗漏任意一种折点的情况。
【解析】
设$AP = x\ \mathrm{cm}$，由$AP=\frac{1}{4}PB$可得$PB = 4x\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 当折点为点B时，剪断后的最长段为对折后2倍PB的长度：
$2×4x = 32$
解得$x = 4$
绳子原长为$2(AP+PB)=2×(x+4x)=10x=10×4=40\ \mathrm{cm}$。
2. 当折点为点A时，剪断后的最长段为PB对应的对折段，长度为$4x$：
$4x = 32$
解得$x = 8$
绳子原长为$2(AP+PB)=2×(x+4x)=10x=10×8=80\ \mathrm{cm}$。
综上，这条绳子的原长为40cm或80cm。
【答案】
$40或80$
【知识点】
线段和差计算；分类讨论思想；比例线段应用
【点评】
本题的易错点是容易忽略对折折点的两种可能性，导致漏解，解题时要结合对折的特点，分情况讨论最长段的构成，再结合已知条件求解即可。
【难度系数】
0.6