4. 如图，已知线段$AB=24$，动点$P$从$A$出发，以每秒2个单位的速度沿射线$AB$方向运动，运动时间为$t\ \mathrm{s}(t＞0)$，点$M$为$AP$的中点.
(1)当$t=3$时，求线段$MB$的长度.
(2)当$t$为何值时，点$P$恰好是$MB$的中点.
(3)当$t$为何值时，$AM=2PB$.

(1) 当$t=3$时，$AP=3×2=6$. 因为点$M$为$AP$的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×6=3$，所以$MB=AB-AM=24-3=21$.
(2) 因为点$M$为$AP$的中点，所以$AM=MP=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×2t=t$. 因为点$P$是$MB$的中点，所以$MP=PB=t$，所以$AB=3AM=3t=24$，所以$t=8$.
(3) ①当点$P$在线段$AB$上时，$AM=t$，$PB=AB-AP=24-2t$，所以$t=2(24-2t)$，解得$t=\frac{48}{5}$. ②当$P$在线段$AB$的延长线上时，$AM=t$，$PB=AP-AB=2t-24$，所以$t=2(2t-24)$，解得$t=16$. 所以$t=\frac{48}{5}$或$t=16$.

【分析】
这是一道线段动点综合题，结合行程公式与线段性质求解即可：
1. 第(1)问先根据速度和时间求出AP长度，再利用中点性质求出AM，最后通过线段差计算MB的长度；
2. 第(2)问先用含t的代数式表示出中点M分割AP的两段长度，再结合P是MB中点的条件，得到AB与AM的数量关系，列方程求解t；
3. 第(3)问因为P沿射线AB运动，所以分P在线段AB上、P在线段AB延长线上两种情况，分别表示出PB的长度，再根据AM=2PB的等量关系列方程求解，注意检验解是否符合对应位置的取值范围。
【解析】
(1) 当$t=3$时，由路程=速度×时间得$AP=2×3=6$，
∵点M为AP的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×6=3$，
又
∵$AB=24$，
∴$MB=AB-AM=24-3=21$。
(2) 由题意得$AP=2t$，
∵点M为AP的中点，
∴$AM=MP=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×2t=t$，
∵点P是MB的中点，
∴$MP=PB=t$，
∴$AB=AM+MP+PB=t+t+t=3t$，
代入$AB=24$得$3t=24$，解得$t=8$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当点P在线段AB上时，$PB=AB-AP=24-2t$，$AM=t$，
由$AM=2PB$列方程：$t=2(24-2t)$，
解得$t=\frac{48}{5}$，符合点P在线段AB上的取值范围；
② 当点P在线段AB的延长线上时，$PB=AP-AB=2t-24$，$AM=t$，
由$AM=2PB$列方程：$t=2(2t-24)$，
解得$t=16$，符合点P在AB延长线上的取值范围。
【答案】
(1) $\boldsymbol{21}$
(2) $\boldsymbol{t=8}$
(3) $\boldsymbol{t=\frac{48}{5}}$或$\boldsymbol{t=16}$
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段动点类的典型题，核心是用含t的代数式表示各线段长度，结合几何等量关系列方程求解，解题时需注意射线的延伸性，对动点的位置分类讨论，避免漏解，能有效考察逻辑分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.65

1. 已知两点之间的所有连线中，线段最短. 请尝试解决下面的问题.
(1)如图1，正方体的顶点A处有一只蚂蚁，这只蚂蚁从点A沿正方体表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？请画出示意图(画出一种即可).
(2)如图2，圆柱和正方体沿一条竖直棱紧贴摆放，二者高度相同，贴合竖棱上有一点B，圆柱底面边缘有一点A，正方体右侧棱上有一点C. 蚂蚁从点B沿圆柱侧面爬行至点A，再从点A出发，先后经过圆柱与正方体表面到达点C. 怎样爬行路线最短？请画出示意图.

(1) （画法不唯一）
(2)

【分析】
本题考查立体表面的最短路径问题，核心思路是利用“两点之间线段最短”的公理，将立体图形的表面展开为平面，把空间路径问题转化为平面上两点连线的问题求解。
（1）对于正方体表面A到B的路径，只需将A、B所在的两个相邻面展开到同一平面，连接两点得到的线段就是最短路径，还原到正方体表面即可得到爬行路线；
（2）对于多立体组合的路径问题，分两段处理：①B到A的路径：把圆柱侧面展开为平面矩形，连接A、B得到最短路径；②A到C的路径：将路径要经过的圆柱侧面、正方体前面和右面全部展开到同一平面，连接A、C，得到的线段还原后就是该段最短路径，整体组合即为全程最短路线。
【解析】
(1) 根据“两点之间线段最短”的公理，将正方体包含点A和点B的两个相邻面展开到同一个平面中，连接AB，这条线段对应在正方体表面的路线就是最短爬行路线，画法不唯一，只要是展开相邻两个面后连接两点的路径都符合要求。
(2) ①B到A的最短路线：将圆柱侧面沿过点B的竖直棱展开为平面矩形，在展开图中连接AB，该线段在圆柱侧面上对应的路线就是B到A的最短爬行路线；
②A到C的最短路线：将圆柱侧面、正方体的前面和右面展开到同一平面内，连接AC，线段AC依次经过圆柱侧面、正方体前面、正方体右面，还原到立体表面后就是A到C的最短爬行路线。
【答案】
(1) （画法不唯一）
(2)
【知识点】
两点之间线段最短；立体图形展开图；最短路径求解
【点评】
本题将“两点之间线段最短”的公理和立体图形展开的知识结合，需要学生具备将空间问题转化为平面问题的思维，解题关键是把路径经过的所有立体表面都展开到同一平面后再连线，能够很好地锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.6