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2. 在数轴上，如果点A表示的数记为$a$，点B表示的数记为$b$，则A，B两点间的距离可以记作$|a-b|$或$|b-a|$. 我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，例如：点A与点B之间的距离表示为AB. 如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为$-10$，$0$，$12$.
(1)直接写出结果，OA=
(2)设点P在数轴上对应的数为$x$.
①若点P为线段AB的中点，则$x=$
②若点P为线段AB上的一个动点，则$|x+10|+|x-12|$的化简结果是
(3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动. 设运动时间为$t$ s，是否存在$t$值，使得$OM=ON$？若存在，请直接写出$t$值；若不存在，请说明理由.
(1)直接写出结果，OA=
10
，AB=22
.(2)设点P在数轴上对应的数为$x$.
①若点P为线段AB的中点，则$x=$
1
；②若点P为线段AB上的一个动点，则$|x+10|+|x-12|$的化简结果是
22
.(3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动. 设运动时间为$t$ s，是否存在$t$值，使得$OM=ON$？若存在，请直接写出$t$值；若不存在，请说明理由.
答案
(1) 10 22
(2)① 1 ② 22
(3) 存在，$t=1$，$\frac{11}{3}$，7或11.
(2)① 1 ② 22
(3) 存在，$t=1$，$\frac{11}{3}$，7或11.
解析
【分析】
1. 第(1)问：直接利用数轴两点距离公式$AB=|a-b|$，代入点A、O、B对应的数值，即可计算出OA、AB的长度。
2. 第(2)问：①线段中点对应的数等于两端点对应数的平均数，代入A、B的数值计算即可；②先根据P在线段AB上确定x的取值范围，判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值合并同类项完成化简。
3. 第(3)问：先计算点M从A到B的总运动时长，再按点N从B到A、从A返回B两个运动阶段，分别表示出M、N两点对应的数，进而写出OM、ON的绝对值表达式，列方程求解后验证解是否符合对应阶段的时间范围，舍去不符合的解即可得到所有符合条件的t值。
【解析】
(1) 已知点A对应$-10$，O对应$0$，B对应$12$，根据两点距离公式：
$OA=|-10 - 0|=10$，$AB=|-10 - 12|=22$。
(2) ① 若P为线段AB的中点，根据中点公式，中点对应的数为两端点对应数的平均值：
$x=\frac{-10 + 12}{2}=1$。
② 若P在线段AB上，则x的取值范围为$-10≤ x≤12$，此时$x+10≥0$，$x-12≤0$，去绝对值得：
$|x+10|+|x-12|=(x+10)+(12-x)=22$。
(3) 首先计算点M的总运动时长：AB总长为22，M的速度为2单位/秒，总时长$t_{总}=22÷2=11\ \mathrm{s}$，故t的取值范围为$0≤ t≤11$。
分两个阶段讨论：
① 当$0≤ t≤5.5$时，点N从B向A运动（N从B到A需要$22÷4=5.5\ \mathrm{s}$）：
此时M对应的数为$-10+2t$，$OM=|2t-10|$；N对应的数为$12-4t$，$ON=|12-4t|$。
令$OM=ON$，即$|2t-10|=|12-4t|$：
若$2t-10=12-4t$，解得$6t=22$，$t=\frac{11}{3}$，符合$0≤ t≤5.5$，有效；
若$2t-10=-(12-4t)$，解得$2t=2$，$t=1$，符合$0≤ t≤5.5$，有效。
② 当$5.5＜ t≤11$时，点N从A向B返回运动：
此时N对应的数为$-10+4(t-5.5)=4t-32$，$ON=|4t-32|$；M对应的数仍为$-10+2t$，此时$t＞5.5$，$2t-10＞0$，故$OM=2t-10$。
令$OM=ON$，即$2t-10=|4t-32|$：
若$2t-10=4t-32$，解得$2t=22$，$t=11$，符合$5.5＜ t≤11$，有效；
若$2t-10=-(4t-32)$，解得$6t=42$，$t=7$，符合$5.5＜ t≤11$，有效。
综上，存在符合条件的t值。
【答案】
(1) $10$，$22$
(2) ① $1$；② $22$
(3) 存在，$t=1$，$\frac{11}{3}$，7或11
【知识点】
数轴两点距离公式；绝对值化简；数轴动点问题
【点评】
本题是数轴章节的典型综合题，前两问侧重基础公式的应用，难度较低；第三问需要结合动点的运动轨迹分类讨论，求解后要注意验证解是否符合时间范围，能很好地考查分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.5
1. 第(1)问：直接利用数轴两点距离公式$AB=|a-b|$，代入点A、O、B对应的数值，即可计算出OA、AB的长度。
2. 第(2)问：①线段中点对应的数等于两端点对应数的平均数，代入A、B的数值计算即可；②先根据P在线段AB上确定x的取值范围，判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值合并同类项完成化简。
3. 第(3)问：先计算点M从A到B的总运动时长，再按点N从B到A、从A返回B两个运动阶段，分别表示出M、N两点对应的数，进而写出OM、ON的绝对值表达式，列方程求解后验证解是否符合对应阶段的时间范围，舍去不符合的解即可得到所有符合条件的t值。
【解析】
(1) 已知点A对应$-10$，O对应$0$，B对应$12$，根据两点距离公式：
$OA=|-10 - 0|=10$，$AB=|-10 - 12|=22$。
(2) ① 若P为线段AB的中点，根据中点公式，中点对应的数为两端点对应数的平均值：
$x=\frac{-10 + 12}{2}=1$。
② 若P在线段AB上，则x的取值范围为$-10≤ x≤12$，此时$x+10≥0$，$x-12≤0$，去绝对值得：
$|x+10|+|x-12|=(x+10)+(12-x)=22$。
(3) 首先计算点M的总运动时长：AB总长为22，M的速度为2单位/秒，总时长$t_{总}=22÷2=11\ \mathrm{s}$，故t的取值范围为$0≤ t≤11$。
分两个阶段讨论：
① 当$0≤ t≤5.5$时，点N从B向A运动（N从B到A需要$22÷4=5.5\ \mathrm{s}$）：
此时M对应的数为$-10+2t$，$OM=|2t-10|$；N对应的数为$12-4t$，$ON=|12-4t|$。
令$OM=ON$，即$|2t-10|=|12-4t|$：
若$2t-10=12-4t$，解得$6t=22$，$t=\frac{11}{3}$，符合$0≤ t≤5.5$，有效；
若$2t-10=-(12-4t)$，解得$2t=2$，$t=1$，符合$0≤ t≤5.5$，有效。
② 当$5.5＜ t≤11$时，点N从A向B返回运动：
此时N对应的数为$-10+4(t-5.5)=4t-32$，$ON=|4t-32|$；M对应的数仍为$-10+2t$，此时$t＞5.5$，$2t-10＞0$，故$OM=2t-10$。
令$OM=ON$，即$2t-10=|4t-32|$：
若$2t-10=4t-32$，解得$2t=22$，$t=11$，符合$5.5＜ t≤11$，有效；
若$2t-10=-(4t-32)$，解得$6t=42$，$t=7$，符合$5.5＜ t≤11$，有效。
综上，存在符合条件的t值。
【答案】
(1) $10$，$22$
(2) ① $1$；② $22$
(3) 存在，$t=1$，$\frac{11}{3}$，7或11
【知识点】
数轴两点距离公式；绝对值化简；数轴动点问题
【点评】
本题是数轴章节的典型综合题，前两问侧重基础公式的应用，难度较低；第三问需要结合动点的运动轨迹分类讨论，求解后要注意验证解是否符合时间范围，能很好地考查分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.5
