4. 在一次知识竞赛中，甲、乙两班各有50名同学参加比赛，每名同学都需要完成三道题的答题. 竞赛规则：答对一题得10分，不答或者答错扣10分.
(1)请直接写出每名同学所有可能的得分情况.
(2)甲班的答题情况：有2名同学全部答错，全部答对的人数比答对一题的人数的3倍少6人，答对两题的人数是答对一题的人数的2倍. 乙班的答题情况：没有同学全部答错，答对一题的人数的3倍和答对两题的人数之和等于全部答对的人数.
①求甲班全部答对的人数；
②请判断甲、乙两班哪个班的总得分更高，并说明理由.

(1)若不答或答错三题，得分为0−3×10=−30(分)；若只答对一题，则不答或答错两题，得分为1×10−2×10=−10(分)；若只答对两题，则不答或答错一题，得分为2×10−1×10=10(分)；若答对三题，得分为3×10=30(分)，则每名同学所有可能得分情况是−30分、−10分、10分和30分。(2)①设甲班答对一题有x人，依题意得2+(3x−6)+2x+x=50，解得x=9。因为3×9−6=21(人)，所以甲班全部答对的人数是21人。②因为甲班答对三题有21人，答对两题有18人，答对一题有9人，全部答错有2人，故甲班总得分为21×30+18×10−9×10−2×30=660(分)；设乙班答对一题有a人，答对两题有b人，答对三题有(3a+b)人，所以a+b+(3a+b)=50，即2a+b=25，故乙班总得分为(−10)a+10b+30(3a+b)=40(2a+b)=1 000(分)。因为1 000＞660，所以乙班的总得分更高。

【分析】
(1) 每名同学共答3道题，答对题数存在0道、1道、2道、3道共4种可能，结合“答对1题得10分、不答/答错1题扣10分”的规则，分别计算4种情况的得分即可。
(2) ① 甲班总人数为50人，总人数=全部答错人数+答对1题人数+答对2题人数+全部答对人数，设答对1题的人数为x，用x表示出其余各类人数后列一元一次方程求解，即可得到全部答对的人数。
② 先根据①的结果计算甲班总得分；再设乙班答对1题的人数为a、答对2题的人数为b，结合乙班人数关系和得分规则，将乙班总得分用含a、b的式子表示，利用总人数的等量关系整体代入计算乙班总得分，最后比较两班总分大小即可。
【解析】
(1) 按答对题数分4种情况计算得分：
① 答对0题（不答/答错3题）：得分=$0×10 - 3×10=-30$分；
② 答对1题（不答/答错2题）：得分=$1×10 - 2×10=-10$分；
③ 答对2题（不答/答错1题）：得分=$2×10 - 1×10=10$分；
④ 答对3题：得分=$3×10=30$分。
(2) ① 设甲班答对1题的人数为$x$人，则全部答对的人数为$(3x-6)$人，答对2题的人数为$2x$人，已知全部答错的有2人，总人数为50人，列方程得：
$2+(3x-6)+2x+x=50$
合并同类项得$6x-4=50$，解得$x=9$。
因此全部答对的人数为$3×9-6=21$人。
② 计算甲班总得分：
甲班答对3题21人，答对2题$2×9=18$人，答对1题9人，全部答错2人，总得分：
$21×30+18×10+9×(-10)+2×(-30)=630+180-90-60=660$分。
计算乙班总得分：
设乙班答对1题的人数为$a$人，答对2题的人数为$b$人，由题意得全部答对的人数为$(3a+b)$人，总人数为50人，列方程得：
$a+b+(3a+b)=50$，化简得$2a+b=25$。
乙班总得分：
$a×(-10)+b×10+(3a+b)×30=80a+40b=40×(2a+b)$
将$2a+b=25$代入得总得分$=40×25=1000$分。
因为$1000＞660$，所以乙班总得分更高。
【答案】
(1) 每名同学所有可能的得分情况为$\boldsymbol{-30分、-10分、10分、30分}$；
(2) ① 甲班全部答对的人数为$\boldsymbol{21}$人；② $\boldsymbol{乙班}$的总得分更高。
【知识点】
一元一次方程的应用，积分问题计算，代数式化简求值
【点评】
本题以知识竞赛积分为背景，考查了方程思想在实际问题中的应用，解题核心是找准人数、得分两类等量关系，计算乙班得分时运用整体代入的思路可大幅简化计算，能有效考查学生分析问题、解决问题的能力。
【难度系数】
0.7

1. 爸爸妈妈和小华准备外出旅游. 甲、乙两家旅行社的报价相同，为了竞争，甲旅行社说：“一个成人买全票，其他人可享受六折优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行可按团体票计价，按原价的$\frac{4}{5}$优惠.”由此可以判断().

A.甲比乙优惠
B.乙比甲优惠
C.甲、乙收费相同
D.以上都有可能

1. A

【分析】
这是方案选择类应用题，解题时我们可以先设旅行社的原价为参数，再根据两家旅行社的优惠规则，分别计算出一家三口选择两家旅行社的总费用，最后比较两个总费用的大小，费用更低的更优惠。
【解析】
设两家旅行社的原报价为每人$a$元（$a＞0$）。
①计算甲旅行社的总费用：
甲旅行社规则是1个成人买全票，其余2人享受六折优惠，因此总费用为：
$a + 2×0.6a = a + 1.2a = 2.2a$
②计算乙旅行社的总费用：
乙旅行社规则是全部按原价的$\frac{4}{5}$（即0.8）优惠，3人的总费用为：
$3×0.8a = 2.4a$
③比较费用大小：
因为$a＞0$，所以$2.2a ＜ 2.4a$，即甲旅行社的收费更低，甲比乙优惠。
【答案】
A
【知识点】
方案选择问题，列代数式，代数式大小比较
【点评】
本题是典型的优惠方案比较类问题，解题核心是合理设出参数，准确根据规则列出对应代数式后比较大小，计算时要注意准确核算参与优惠的人数。
【难度系数】
0.7

2. 七年级部分学生去某地研学. 如果每辆汽车坐 30 人，那么有 15 个学生没有座位；如果每辆汽车坐 45 人，那么空出 1 辆汽车. 若设有 x 辆汽车，则可列方程为.

2. 30x+15=45(x-1)

【分析】
要列方程首先需要找到题目中的等量关系，本题中无论采用哪种乘车方案，学生的总人数是固定不变的，我们可以用含汽车数量x的式子分别表示两种方案下的学生总人数，令两个式子相等即可得到方程。首先表示第一种方案的总人数：每辆车坐30人，x辆车可坐30x人，还有15人没有座位，因此总人数为30x+15；再表示第二种方案的总人数：空出1辆汽车，说明实际使用的汽车数量为(x-1)辆，每辆车坐45人，因此总人数为45(x-1)，结合总人数相等即可列出方程。
【解析】
第一步：确定等量关系：两种乘车方案的学生总人数相等。
第二步：用含x的式子表示第一种方案的总人数：
每辆汽车坐30人，x辆可乘坐30x人，剩余15人无座位，总人数为：$30x + 15$
第三步：用含x的式子表示第二种方案的总人数：
空出1辆汽车，实际使用汽车数量为$(x-1)$辆，每辆坐45人，总人数为：$45(x-1)$
第四步：根据总人数相等列方程：$30x + 15 = 45(x-1)$
【答案】
$30x+15=45(x-1)$
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系确定
【点评】
本题是方案类列方程的基础题型，解题核心是抓住题目中的不变量建立等量关系，解题时要注意第二种方案中实际参与载客的汽车数量是原有车辆数减1，避免因忽略空车的条件出现列式错误。
【难度系数】
0.8

3. 某市出租车计价规则如下：行程不超过2.5 km，收起步价10元，超过部分每千米路程收费2.6元. 某天陈叔叔去探望一位朋友，坐出租车付了19元. 设他乘坐的路程为x km，可列方程为.

3. 10+2.6(x-2.5)=19

【分析】
解题时首先判断行驶路程是否超过起步路程：已知总付费19元大于起步价10元，所以行驶路程x超过2.5km。接下来拆分总费用的构成：总费用由两部分组成，一是固定的起步价10元，二是超过2.5km部分的路程费用。超过2.5km的路程为(x-2.5)km，这部分每千米收费2.6元，因此超出部分的费用为2.6(x-2.5)元，再根据“起步价+超出部分费用=总付费”的等量关系即可列出方程。
【解析】
∵ 支付车费19元 ＞ 起步价10元，
∴ 乘坐路程x ＞ 2.5km
总费用 = 起步价 + 超过2.5km部分的费用
其中超过2.5km的路程为(x-2.5)km，对应费用为2.6(x-2.5)元
代入等量关系得：10 + 2.6(x - 2.5) = 19
【答案】
10+2.6(x-2.5)=19
【知识点】
一元一次方程的实际应用，分段计费问题
【点评】
本题是分段计费类的基础应用题，解题核心是先判断路程所属的计费区间，再准确拆分费用构成，找准等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.8

4. 学校准备订购一批排球和跳绳，经过市场调查后发现排球120元/个，跳绳20元/根. 某体育用品商店提供A，B两种优惠方案(顾客只能选择其中一种方案)：
A方案：买1个排球送1根跳绳；
B方案：排球和跳绳都按定价的90％付款.
已知要购买排球50个，跳绳x根(x＞50).
(1)若按A方案购买，一共需付款元；若按B方案购买，一共需付元. (用含x的式子表示)
(2)购买多少根跳绳时，A，B两种方案所需要的钱数一样多？

4. (1) 5 000+20x，5 400+18x
(2) 由(1)可知，当A，B两种方案所需钱数一样多时，5 000+20x=5 400+18x，解得x=200. 所以购买200根跳绳时，A，B两种方案所需要的钱数一样多.

【分析】
(1) 计算A方案费用时，先明确买50个排球会赠送50根跳绳，仅需对超出赠送数量的跳绳付费，总费用为50个排球的总价加超出50根部分的跳绳总价，整理为含x的代数式即可；计算B方案费用时，先算出排球和跳绳的原价总和，再乘以折扣90%，整理为含x的代数式即可。
(2) 要求两种方案费用相同的情况，只需令(1)中得到的两个代数式相等，建立一元一次方程，求解方程就能得到对应的跳绳数量。
【解析】
(1) 按A方案购买：
50个排球的费用为$50 × 120 = 6000$元，
因买1个排球送1根跳绳，赠送50根跳绳，还需额外购买$(x-50)$根跳绳，这部分费用为$20(x-50)$元，
总费用为$6000 + 20(x-50) = 5000 + 20x$元。
按B方案购买：
50个排球和x根跳绳的原价总和为$50 × 120 + 20x = 6000 + 20x$元，
都按定价的90%付款，总费用为$(6000 + 20x) × 0.9 = 5400 + 18x$元。
(2) 当A、B两种方案所需钱数一样多时，列方程：
$5000 + 20x = 5400 + 18x$
移项得$20x - 18x = 5400 - 5000$
合并同类项得$2x = 400$
系数化为1得$x = 200$
【答案】
(1) $5000+20x$，$5400+18x$
(2) 购买200根跳绳时，A，B两种方案所需要的钱数一样多。
【知识点】
列代数式；解一元一次方程；方案选择应用
【点评】
本题结合生活中的优惠购物场景出题，解题核心是准确理解不同优惠方案的计费规则，再根据等量关系列方程求解，贴近生活实际，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7