2. 某学校围棋社团组织成员进行比赛，规则如下：每两位选手都要进行比赛，决出胜负(没有平局)，胜者得1分，负者得0分. 在所有选手中，男选手有12人，女选手有9人. 比赛结束后，经统计，女选手的总得分比男选手的总得分多70分.
(1)共进行了多少场比赛？
(2)男选手的总得分是多少分？

(1)总共12+9=21名选手，则共比赛$\frac{21×20}{2}=210$(场)。(2)由(1)可知，共进行了210场比赛，即所有选手共得210分。设男选手的总得分是x分，则女选手的总得分是(x+70)分，依题意得x+(x+70)=210，解得x=70。所以男选手的总得分是70分。

【分析】
(1) 求比赛总场数时，首先明确比赛为单循环赛制：每两位选手都要赛1场。先算出参赛总人数为12+9=21名，每名选手需要和其余20名选手各赛1场，若直接累加所有选手的比赛次数会得到21×20场，但每场比赛会被对阵的2名选手各计算1次，因此实际总场次需要除以2，代入计算即可得到结果。
(2) 求男选手总得分时，先明确积分规则：每场比赛无平局，胜者得1分、负者得0分，因此每场比赛会产生1个总积分，所有选手的总得分等于总比赛场次。已知女选手总得分比男选手多70分，设男选手总得分为x分，即可表示出女选手的总得分，再根据“男选手总得分+女选手总得分=所有选手总得分”的等量关系列一元一次方程，求解即可。
【解析】
(1) 参赛总人数：$12 + 9 = 21$（名）
每两位选手赛一场，总比赛场次为：
$\frac{21 × (21 - 1)}{2} = \frac{21 × 20}{2} = 210$（场）
(2) 每场比赛产生1个总积分，因此所有选手总得分等于总比赛场次，即总得分为210分。
设男选手的总得分是$x$分，则女选手的总得分是$(x + 70)$分，依题意列方程：
$x + (x + 70) = 210$
解得：
$2x = 140$
$x = 70$
【答案】
(1) 共进行了210场比赛；(2) 男选手的总得分是70分。
【知识点】
单循环场次计算，一元一次方程应用，比赛积分问题
【点评】
本题属于基础的比赛积分类应用题，解题核心是理清单循环比赛场次的计算逻辑，抓住“每场比赛总积分为1分”的隐藏条件，再结合题干给出的得分差建立等量关系求解即可，整体计算难度低，逻辑关系清晰。
【难度系数】
0.8

3. 下表是某赛季职业篮球联赛部分球队的积分表：

备注：积分＝胜场积分＋负场积分.
(1)求胜一场的积分和负一场的积分.
(2)某队说他们的总积分为45分. 你认为可能吗？为什么？
(3)若某队的负场总积分是胜场总积分的正整数倍，胜一场奖励每名球员5 000元，负一场奖励每名球员1 000元. 请问这支球队的每名球员所获奖金可能是多少元？

(1)设胜一场积x分，则负一场积$(\frac{36−10x}{6})$分。依题意得9x+7×$\frac{36−10x}{6}$=34，解得x=3，则$\frac{36−10x}{6}$=1。所以胜一场积3分，负一场积1分。(2)不可能。理由如下：设胜a场，则负(16−a)场。依题意得3a+16−a=45，解得$a=\frac{29}{2}$。因为a为非负整数，所以不符合题意。所以总积分不可能为45分。(3)设胜y场，负(16−y)场，负场总积分是胜场总积分的m倍。依题意得3my=16−y，所以$y=\frac{16}{3m+1}$。因为y，m均为正整数，所以当m=1时，y=4，此时球员的奖金为32 000元；当m=5时，y=1，此时球员的奖金为20 000元。

【分析】
(1) 要求胜、负一场的积分，可先设胜一场积x分，借助前进队的胜场、负场和总积分，用含x的式子表示出负一场的积分，再代入光明队的积分数据列一元一次方程求解即可。
(2) 判断总积分能否为45分，可设该队胜a场，负场数为总场次减去胜场数，根据总积分公式列方程，若解出的胜场数为非负整数则可能，否则不可能。
(3) 设胜y场，负场总积分是胜场总积分的m倍（m为正整数），根据倍数关系列方程，整理后结合y、m均为正整数的条件筛选出所有符合要求的解，再分别计算对应奖金即可。
【解析】
(1) 设胜一场积$x$分，根据前进队10胜6负积36分，可得负一场积$\frac{36-10x}{6}$分。
代入光明队9胜7负积34分的条件列方程：
$9x + 7×\frac{36-10x}{6} = 34$
去分母得：$54x + 7(36-10x) = 204$
展开合并得：$-16x = -48$
解得：$x=3$
则负一场积分：$\frac{36-10×3}{6}=1$
(2) 不可能，理由如下：
设该队胜$a$场，则负$(16-a)$场。
根据总积分45分列方程：
$3a + (16-a) =45$
化简得：$2a =29$
解得：$a=\frac{29}{2}$
由于比赛场次$a$必须为非负整数，$\frac{29}{2}$不符合实际意义，因此总积分不可能为45分。
(3) 设该队胜$y$场，则负$(16-y)$场，负场总积分是胜场总积分的$m$倍（$m$为正整数）。
根据题意列方程：$16-y = 3my$
整理得：$y=\frac{16}{3m+1}$
因为$y$、$m$均为正整数，所以$3m+1$是16的大于1的正因数：
① 当$3m+1=4$时，$m=1$，$y=4$，负场数为$16-4=12$场
奖金：$4×5000 + 12×1000 = 32000$元
② 当$3m+1=16$时，$m=5$，$y=1$，负场数为$16-1=15$场
奖金：$1×5000 +15×1000 =20000$元
其余因数均不满足$m$为正整数的要求。
【答案】
(1) 胜一场积3分，负一场积1分；
(2) 不可能，理由见解析；
(3) 每名球员所获奖金可能是20000元或32000元。
【知识点】
一元一次方程应用；比赛积分问题；正整数解应用
【点评】
本题是典型的比赛积分类实际应用题，解题核心是先通过已知数据求出单场胜、负的积分，再结合不同问题的条件列方程求解，需要注意方程的解要符合比赛场次为非负整数的实际要求，第三问需要结合正整数的性质筛选符合条件的解，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65