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5. 已知多项式 $A=(x^2 +4x +4)-2(x-1)-(x^2 -x +3)$。
(1)化简多项式A；
(2)若 $x+1=0$，求A的值。
(1)化简多项式A；
(2)若 $x+1=0$，求A的值。
答案
(1)$A=x^2+4x+4-2x+2-x^2+x-3=3x+3$。 (2)当$x+1=0$时，$A=3(x+1)=3×0=0$。
解析
【分析】
(1)化简多项式的核心步骤是先去括号，再合并同类项。去括号时要注意：括号前带负系数时，乘入括号内每一项都要对应变号；合并同类项时，只需把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可。
(2)求A的值时，可先观察化简后A的结构，发现3x+3可以变形为3(x+1)，直接将已知条件x+1=0整体代入计算，比先求x的值再代入更简便。
【解析】
(1) 按照去括号、合并同类项的顺序计算：
$\begin{aligned}A&=(x^2 +4x +4)-2(x-1)-(x^2 -x +3)\\&=x^2 +4x +4 -2x +2 -x^2 +x -3\\&=(x^2 -x^2)+(4x -2x +x)+(4 +2 -3)\\&=3x +3\end{aligned}$
(2) 用整体代入法计算：
将化简后的A变形为$A=3(x+1)$，已知$x+1=0$，代入式子得：
$A=3×0=0$
【答案】
(1)$3x+3$；(2)$0$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、代数式求值
【点评】
本题是整式加减运算的基础题型，重点考查去括号、合并同类项的运算规则，第二问运用整体代入的思想可以简化计算步骤，提升解题效率，日常练习中要注意观察代数式的结构特征，灵活选择计算方法。
【难度系数】
0.8
(1)化简多项式的核心步骤是先去括号，再合并同类项。去括号时要注意：括号前带负系数时，乘入括号内每一项都要对应变号；合并同类项时，只需把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可。
(2)求A的值时，可先观察化简后A的结构，发现3x+3可以变形为3(x+1)，直接将已知条件x+1=0整体代入计算，比先求x的值再代入更简便。
【解析】
(1) 按照去括号、合并同类项的顺序计算：
$\begin{aligned}A&=(x^2 +4x +4)-2(x-1)-(x^2 -x +3)\\&=x^2 +4x +4 -2x +2 -x^2 +x -3\\&=(x^2 -x^2)+(4x -2x +x)+(4 +2 -3)\\&=3x +3\end{aligned}$
(2) 用整体代入法计算：
将化简后的A变形为$A=3(x+1)$，已知$x+1=0$，代入式子得：
$A=3×0=0$
【答案】
(1)$3x+3$；(2)$0$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、代数式求值
【点评】
本题是整式加减运算的基础题型，重点考查去括号、合并同类项的运算规则，第二问运用整体代入的思想可以简化计算步骤，提升解题效率，日常练习中要注意观察代数式的结构特征，灵活选择计算方法。
【难度系数】
0.8
6. 已知$A=2x^2 - 3xy + 2y^2$，$B=2x^2 + xy - 3y^2$，求$3B - A$的值，其中$x$，$y$满足$(x - 2)^2 + |y + 1| = 0$。
答案
$3B-A=3(2x^2+xy-3y^2)-(2x^2-3xy+2y^2)=4x^2+6xy-11y^2$。因为$(x-2)^2+|y+1|=0$，所以$x=2$，$y=-1$，所以原式$=4×2^2+6×2×(-1)-11×(-1)^2=-7$。
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题可分两步进行：第一步，先将A、B两个多项式代入3B-A，根据去括号法则去掉括号，再合并同类项，得到最简整式；第二步，根据平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0时，这两个非负数都为0，据此求出x、y的取值，最后将x、y的值代入化简后的整式计算出最终结果即可，先化简再求值可以降低计算量，避免出错。
【解析】
第一步：化简3B-A
将$A=2x^2 - 3xy + 2y^2$，$B=2x^2 + xy - 3y^2$代入式子得：
$\begin{aligned}3B - A&=3(2x^2 + xy - 3y^2) - (2x^2 - 3xy + 2y^2)\\&=6x^2 + 3xy - 9y^2 - 2x^2 + 3xy - 2y^2\\&=4x^2 + 6xy - 11y^2\end{aligned}$
第二步：求x、y的值
因为平方和绝对值都具有非负性，即$(x-2)^2≥0$，$|y+1|≥0$，且$(x - 2)^2 + |y + 1| = 0$，所以：
$x-2=0$，解得$x=2$；
$y+1=0$，解得$y=-1$。
第三步：代入求值
将$x=2$，$y=-1$代入$4x^2 + 6xy - 11y^2$得：
$\begin{aligned}原式&=4×2^2 + 6×2×(-1) - 11×(-1)^2\\&=16 - 12 - 11\\&=-7\end{aligned}$
【答案】
$-7$
【知识点】
整式的加减，非负数的性质，化简求值
【点评】
本题是整式运算与非负数性质的综合基础题，重点考察去括号、合并同类项的运算规则，以及偶次幂、绝对值的非负性应用，解题时注意去括号的符号变化，先化简再代入可有效提升计算正确率。
【难度系数】
0.8
本题属于整式化简求值类题目，解题可分两步进行：第一步，先将A、B两个多项式代入3B-A，根据去括号法则去掉括号，再合并同类项，得到最简整式；第二步，根据平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0时，这两个非负数都为0，据此求出x、y的取值，最后将x、y的值代入化简后的整式计算出最终结果即可，先化简再求值可以降低计算量，避免出错。
【解析】
第一步：化简3B-A
将$A=2x^2 - 3xy + 2y^2$，$B=2x^2 + xy - 3y^2$代入式子得：
$\begin{aligned}3B - A&=3(2x^2 + xy - 3y^2) - (2x^2 - 3xy + 2y^2)\\&=6x^2 + 3xy - 9y^2 - 2x^2 + 3xy - 2y^2\\&=4x^2 + 6xy - 11y^2\end{aligned}$
第二步：求x、y的值
因为平方和绝对值都具有非负性，即$(x-2)^2≥0$，$|y+1|≥0$，且$(x - 2)^2 + |y + 1| = 0$，所以：
$x-2=0$，解得$x=2$；
$y+1=0$，解得$y=-1$。
第三步：代入求值
将$x=2$，$y=-1$代入$4x^2 + 6xy - 11y^2$得：
$\begin{aligned}原式&=4×2^2 + 6×2×(-1) - 11×(-1)^2\\&=16 - 12 - 11\\&=-7\end{aligned}$
【答案】
$-7$
【知识点】
整式的加减，非负数的性质，化简求值
【点评】
本题是整式运算与非负数性质的综合基础题，重点考察去括号、合并同类项的运算规则，以及偶次幂、绝对值的非负性应用，解题时注意去括号的符号变化，先化简再代入可有效提升计算正确率。
【难度系数】
0.8
1. 若$(ax^2 - 2xy + y^2) - (-ax^2 + bxy + 2y^2) = 6x^2 - 9xy + cy^2$成立，则$a$，$b$，$c$的值分别是(
A.$3$，$-7$，$-1$
B.$-3$，$7$，$-1$
C.$3$，$7$，$-1$
D.$-3$，$-7$，$1$
C
).A.$3$，$-7$，$-1$
B.$-3$，$7$，$-1$
C.$3$，$7$，$-1$
D.$-3$，$-7$，$1$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先对等式左边的整式进行化简，再根据“两个多项式相等时，对应同类项的系数完全相等”的原理，分别列出关于a、b、c的方程，求解即可得到三个字母的值。具体步骤为：先去括号，再合并同类项，最后对应系数相等列方程求解。
【解析】
第一步：化简等式左边的式子
$\begin{aligned}&(ax^2 - 2xy + y^2) - (-ax^2 + bxy + 2y^2)\\=&ax^2 - 2xy + y^2 + ax^2 - bxy - 2y^2 \quad \mathrm{（去括号：括号前是负号，括号内各项变号）}\\=&(ax^2 + ax^2) + (-2xy - bxy) + (y^2 - 2y^2) \quad \mathrm{（合并同类项）}\\=&2ax^2 + (-2 - b)xy - y^2\end{aligned}$
第二步：对应系数相等列方程
因为化简后的式子和等式右边$6x^2 - 9xy + cy^2$相等，所以同类项的系数对应相等：
1. $x^2$项系数：$2a = 6$，解得$a=3$
2. $xy$项系数：$-2 - b = -9$，移项得$-b = -9 + 2 = -7$，解得$b=7$
3. $y^2$项系数：$-1 = c$，即$c=-1$
因此$a=3$，$b=7$，$c=-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
整式的加减；合并同类项；多项式相等的条件
【点评】
本题是整式加减运算的基础应用，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，理解两个多项式相等时对应同类项系数相等的规律，是整式加减章节的典型题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要先对等式左边的整式进行化简，再根据“两个多项式相等时，对应同类项的系数完全相等”的原理，分别列出关于a、b、c的方程，求解即可得到三个字母的值。具体步骤为：先去括号，再合并同类项，最后对应系数相等列方程求解。
【解析】
第一步：化简等式左边的式子
$\begin{aligned}&(ax^2 - 2xy + y^2) - (-ax^2 + bxy + 2y^2)\\=&ax^2 - 2xy + y^2 + ax^2 - bxy - 2y^2 \quad \mathrm{（去括号：括号前是负号，括号内各项变号）}\\=&(ax^2 + ax^2) + (-2xy - bxy) + (y^2 - 2y^2) \quad \mathrm{（合并同类项）}\\=&2ax^2 + (-2 - b)xy - y^2\end{aligned}$
第二步：对应系数相等列方程
因为化简后的式子和等式右边$6x^2 - 9xy + cy^2$相等，所以同类项的系数对应相等：
1. $x^2$项系数：$2a = 6$，解得$a=3$
2. $xy$项系数：$-2 - b = -9$，移项得$-b = -9 + 2 = -7$，解得$b=7$
3. $y^2$项系数：$-1 = c$，即$c=-1$
因此$a=3$，$b=7$，$c=-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
整式的加减；合并同类项；多项式相等的条件
【点评】
本题是整式加减运算的基础应用，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，理解两个多项式相等时对应同类项系数相等的规律，是整式加减章节的典型题型。
【难度系数】
0.8
2. 若$x+y=3$，$xy=-4$，则$(3x+2)-(4xy-3y)=$
27
。答案
2. 27
解析
【分析】
题目给出了$x+y$和$xy$的整体数值，不需要单独求解$x$、$y$的具体值，解题思路为：首先对所求的整式按照去括号法则去掉括号，再合并同类项，将代数式整理为含有$x+y$和$xy$的形式，最后整体代入已知数值计算即可。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&(3x+2)-(4xy-3y)\\=&3x+2-4xy+3y \quad \mathrm{（去括号：括号前为负号，括号内各项变号）}\\=&3x+3y-4xy+2 \quad \mathrm{（调整项的顺序方便分组）}\\=&3(x+y)-4xy+2 \quad \mathrm{（提取公因式，将$x+y$作为整体）}\end{aligned}$
将$x+y=3$，$xy=-4$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3×3 - 4×(-4) + 2\\&=9+16+2\\&=27\end{aligned}$
【答案】
27
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于基础的整式运算题，核心考查整式化简和整体代入思想的应用，解题时要注意去括号的符号变化，代入负数求值时也要注意符号处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
题目给出了$x+y$和$xy$的整体数值，不需要单独求解$x$、$y$的具体值，解题思路为：首先对所求的整式按照去括号法则去掉括号，再合并同类项，将代数式整理为含有$x+y$和$xy$的形式，最后整体代入已知数值计算即可。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&(3x+2)-(4xy-3y)\\=&3x+2-4xy+3y \quad \mathrm{（去括号：括号前为负号，括号内各项变号）}\\=&3x+3y-4xy+2 \quad \mathrm{（调整项的顺序方便分组）}\\=&3(x+y)-4xy+2 \quad \mathrm{（提取公因式，将$x+y$作为整体）}\end{aligned}$
将$x+y=3$，$xy=-4$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3×3 - 4×(-4) + 2\\&=9+16+2\\&=27\end{aligned}$
【答案】
27
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于基础的整式运算题，核心考查整式化简和整体代入思想的应用，解题时要注意去括号的符号变化，代入负数求值时也要注意符号处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 小亮做一道数学题“两个多项式A和B，B为$4x^2 -5x -7$，试求A+2B的值”，他误将A+2B看成A-2B，结果答案为$-2x^2 +10x +14$。
（1）试求A+2B的正确结果；
（2）求出当$x=-1$时，A+2B的值。
（1）试求A+2B的正确结果；
（2）求出当$x=-1$时，A+2B的值。
答案
(1)因为B为$4x^2-5x-7$，所以$A+2B=A-2B+4B=-2x^2+10x+14+4(4x^2-5x-7)=-2x^2+10x+14+16x^2-20x-28=14x^2-10x-14$。 (2)当$x=-1$时，$A+2B=14×(-1)^2-10×(-1)-14=10$。
解析
【分析】
（1）要求A+2B的正确结果，已知小亮误算得到的A-2B的结果，且B的表达式已知，我们可以利用整式的变形关系：A+2B = (A-2B) + 4B，直接将已知的A-2B和B代入计算即可，不需要单独求解A，简化运算；也可以先通过A = (A-2B) + 2B求出A的表达式，再代入A+2B计算。
（2）第二问是代数式求值，只需将x=-1代入第一问求出的A+2B的化简结果，按运算顺序计算即可，注意负数乘方的符号规则。
【解析】
（1）解：由题意得$A-2B=-2x^2 +10x +14$，$B=4x^2 -5x -7$。
对$A+2B$变形可得：
$A+2B = A - 2B + 4B$
代入已知条件计算：
$\begin{aligned}A+2B&=-2x^2 +10x +14 + 4×(4x^2 -5x -7)\\&=-2x^2 +10x +14 + 16x^2 -20x -28\\&=(-2x^2 +16x^2)+(10x-20x)+(14-28)\\&=14x^2 -10x -14\end{aligned}$
（2）解：当$x=-1$时，代入$14x^2 -10x -14$得：
$\begin{aligned}原式&=14×(-1)^2 -10×(-1) -14\\&=14×1 +10 -14\\&=10\end{aligned}$
【答案】
(1) $14x^2 -10x -14$；(2) $10$
【知识点】
整式的加减、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题主要考查整式加减的灵活应用，解题关键是利用错误的运算结果搭建已知和所求的关系，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是计算正确的前提，代入求值时要注意符号运算，属于整式运算的基础常考题型。
【难度系数】
0.75
（1）要求A+2B的正确结果，已知小亮误算得到的A-2B的结果，且B的表达式已知，我们可以利用整式的变形关系：A+2B = (A-2B) + 4B，直接将已知的A-2B和B代入计算即可，不需要单独求解A，简化运算；也可以先通过A = (A-2B) + 2B求出A的表达式，再代入A+2B计算。
（2）第二问是代数式求值，只需将x=-1代入第一问求出的A+2B的化简结果，按运算顺序计算即可，注意负数乘方的符号规则。
【解析】
（1）解：由题意得$A-2B=-2x^2 +10x +14$，$B=4x^2 -5x -7$。
对$A+2B$变形可得：
$A+2B = A - 2B + 4B$
代入已知条件计算：
$\begin{aligned}A+2B&=-2x^2 +10x +14 + 4×(4x^2 -5x -7)\\&=-2x^2 +10x +14 + 16x^2 -20x -28\\&=(-2x^2 +16x^2)+(10x-20x)+(14-28)\\&=14x^2 -10x -14\end{aligned}$
（2）解：当$x=-1$时，代入$14x^2 -10x -14$得：
$\begin{aligned}原式&=14×(-1)^2 -10×(-1) -14\\&=14×1 +10 -14\\&=10\end{aligned}$
【答案】
(1) $14x^2 -10x -14$；(2) $10$
【知识点】
整式的加减、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题主要考查整式加减的灵活应用，解题关键是利用错误的运算结果搭建已知和所求的关系，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是计算正确的前提，代入求值时要注意符号运算，属于整式运算的基础常考题型。
【难度系数】
0.75
