登录
10.如图，点O为$□ ABCD$对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F。求证：$DE=BF$。
答案
10.证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO,∠OEA=∠OFC。
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO=CO。
在△AOE和△COF中，
$\begin{cases}∠EAO=∠FCO,\\∠OEA=∠OFC,\\AO=CO,\end{cases}$
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
∴DE=BF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO,∠OEA=∠OFC。
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO=CO。
在△AOE和△COF中，
$\begin{cases}∠EAO=∠FCO,\\∠OEA=∠OFC,\\AO=CO,\end{cases}$
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
∴DE=BF。
解析
【分析】
要证明DE=BF，首先根据平行四边形的性质可得AD=BC，因此只需证明AE=CF即可。观察图形可知AE、CF分别在△AOE和△COF中：已知O是AC中点，故AO=CO；再由平行四边形对边平行的性质可得到两组相等的内错角，满足AAS全等判定的条件，可证△AOE≌△COF，进而得到AE=CF，最后通过线段的和差关系即可推出DE=BF。
【解析】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC。
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO=CO。
在△AOE和△COF中，
$\begin{cases}∠EAO=∠FCO,\\∠OEA=∠OFC,\\AO=CO,\end{cases}$
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
∴DE=BF。
【答案】
DE=BF，证明过程如上。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，将平行四边形的性质和全等三角形的判定、性质结合考查，解题时可从结论出发逆向推导所需条件，再结合已知条件正向推进证明，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明DE=BF，首先根据平行四边形的性质可得AD=BC，因此只需证明AE=CF即可。观察图形可知AE、CF分别在△AOE和△COF中：已知O是AC中点，故AO=CO；再由平行四边形对边平行的性质可得到两组相等的内错角，满足AAS全等判定的条件，可证△AOE≌△COF，进而得到AE=CF，最后通过线段的和差关系即可推出DE=BF。
【解析】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC。
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO=CO。
在△AOE和△COF中，
$\begin{cases}∠EAO=∠FCO,\\∠OEA=∠OFC,\\AO=CO,\end{cases}$
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
∴DE=BF。
【答案】
DE=BF，证明过程如上。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，将平行四边形的性质和全等三角形的判定、性质结合考查，解题时可从结论出发逆向推导所需条件，再结合已知条件正向推进证明，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
11.如图，在$△ ABC$中，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE延长线上的点，且$EF＝DE$。
(1)求证：四边形BCFD是平行四边形；
(2)若$△ AEF$的面积是7，求四边形BCFD的面积。
(1)求证：四边形BCFD是平行四边形；
(2)若$△ AEF$的面积是7，求四边形BCFD的面积。
答案
11.(1)证明:
∵点E是AC中点，
∴AE=CE。
又
∵DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形。
∴AD=CF,AD//CF。
∵点D是AB中点，
∴AD=BD，
∴BD//CF,BD=CF，
∴四边形BCFD是平行四边形。
(2)解:由(1)知四边形BCFD是平行四边形,四边形ADCF是平行四边形，
∴$S_{△CEF}=S_{△CED}=S_{△AEF}=7$，
∴$S_{△BCD}=S_{△CFD}=S_{△CED}+S_{△CEF}=7+7=14$。
∴若△AEF的面积是7,则平行四边形BCFD的面积是28。
∵点E是AC中点，
∴AE=CE。
又
∵DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形。
∴AD=CF,AD//CF。
∵点D是AB中点，
∴AD=BD，
∴BD//CF,BD=CF，
∴四边形BCFD是平行四边形。
(2)解:由(1)知四边形BCFD是平行四边形,四边形ADCF是平行四边形，
∴$S_{△CEF}=S_{△CED}=S_{△AEF}=7$，
∴$S_{△BCD}=S_{△CFD}=S_{△CED}+S_{△CEF}=7+7=14$。
∴若△AEF的面积是7,则平行四边形BCFD的面积是28。
解析
【分析】
(1) 要证明四边形BCFD是平行四边形，可通过证明一组对边平行且相等推导。首先利用E是AC中点、DE=EF的条件，先判定四边形ADCF是平行四边形，得到AD与CF平行且相等的关系；再结合D是AB中点的条件，推出BD和CF平行且相等，即可完成证明。
(2) 求平行四边形BCFD的面积，需利用平行四边形的面积性质：平行四边形的对角线将其分为两个面积相等的三角形，且等底同高的三角形面积相等。先根据△AEF的面积推导各小三角形的面积，再求和得到平行四边形的总面积。
【解析】
(1) 证明：
∵点E是AC中点，
∴$AE=CE$。
又
∵$DE=EF$，
∴四边形ADCF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴$AD=CF$，$AD// CF$。
∵点D是AB中点，
∴$AD=BD$，
∴$BD=CF$，$BD// CF$，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：由(1)可知四边形ADCF、BCFD均为平行四边形，
根据平行四边形的性质和等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△CEF}=S_{△CED}=S_{△AEF}=7$，
则$S_{△CFD}=S_{△CED}+S_{△CEF}=7+7=14$，
∵CD是平行四边形BCFD的对角线，
∴$S_{平行四边形BCFD}=2S_{△CFD}=2×14=28$。
【答案】
(1) 证明成立，四边形BCFD是平行四边形；
(2) $\boxed{28}$
【知识点】
平行四边形的判定、平行四边形的性质、等积变换
【点评】
本题是平行四边形章节的典型基础题，解题核心是灵活运用平行四边形的判定定理推导边的位置和数量关系，再结合平行四边形的面积性质、等积变换求解总面积，对巩固平行四边形的核心知识点有很大帮助。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形BCFD是平行四边形，可通过证明一组对边平行且相等推导。首先利用E是AC中点、DE=EF的条件，先判定四边形ADCF是平行四边形，得到AD与CF平行且相等的关系；再结合D是AB中点的条件，推出BD和CF平行且相等，即可完成证明。
(2) 求平行四边形BCFD的面积，需利用平行四边形的面积性质：平行四边形的对角线将其分为两个面积相等的三角形，且等底同高的三角形面积相等。先根据△AEF的面积推导各小三角形的面积，再求和得到平行四边形的总面积。
【解析】
(1) 证明：
∵点E是AC中点，
∴$AE=CE$。
又
∵$DE=EF$，
∴四边形ADCF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴$AD=CF$，$AD// CF$。
∵点D是AB中点，
∴$AD=BD$，
∴$BD=CF$，$BD// CF$，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：由(1)可知四边形ADCF、BCFD均为平行四边形，
根据平行四边形的性质和等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△CEF}=S_{△CED}=S_{△AEF}=7$，
则$S_{△CFD}=S_{△CED}+S_{△CEF}=7+7=14$，
∵CD是平行四边形BCFD的对角线，
∴$S_{平行四边形BCFD}=2S_{△CFD}=2×14=28$。
【答案】
(1) 证明成立，四边形BCFD是平行四边形；
(2) $\boxed{28}$
【知识点】
平行四边形的判定、平行四边形的性质、等积变换
【点评】
本题是平行四边形章节的典型基础题，解题核心是灵活运用平行四边形的判定定理推导边的位置和数量关系，再结合平行四边形的面积性质、等积变换求解总面积，对巩固平行四边形的核心知识点有很大帮助。
【难度系数】
0.7
知识点一 三角形的中位线
三角形的中位线是连接三角形两边
三角形的中位线是连接三角形两边
中点
的线段。答案
中点
解析
【分析】
本题考查三角形中位线的基础定义，解题时直接回忆三角形中位线的相关概念即可，注意区分三角形中位线和中线的差异：中位线是连接三角形两边中点的线段，中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，避免两个概念混淆。
【解析】
根据三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，因此空缺处填写“中点”。
【答案】
中点
【知识点】
三角形中位线的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考察对基础几何概念的掌握情况，牢记相关定义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形中位线的基础定义，解题时直接回忆三角形中位线的相关概念即可，注意区分三角形中位线和中线的差异：中位线是连接三角形两边中点的线段，中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，避免两个概念混淆。
【解析】
根据三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，因此空缺处填写“中点”。
【答案】
中点
【知识点】
三角形中位线的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考察对基础几何概念的掌握情况，牢记相关定义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
知识点二 三角形中位线定理
三角形的中位线
三角形的中位线
平行
于第三边，且等于第三边的一半
。答案
平行 第三边的一半
解析
【分析】
本题考查三角形中位线定理的内容识记，解题时只需回忆三角形中位线的两类核心性质：一是与第三边的位置关系，二是与第三边的数量关系，对应定理原文就能完成填空。
【解析】
本题是对三角形中位线定理内容的直接考查，根据定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，直接对应填入内容即可。
【答案】
平行 第三边的一半
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对教材基础定理内容的准确记忆，牢记定理原文即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形中位线定理的内容识记，解题时只需回忆三角形中位线的两类核心性质：一是与第三边的位置关系，二是与第三边的数量关系，对应定理原文就能完成填空。
【解析】
本题是对三角形中位线定理内容的直接考查，根据定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，直接对应填入内容即可。
【答案】
平行 第三边的一半
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对教材基础定理内容的准确记忆，牢记定理原文即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
