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例1 如图,已知等边△ABC的边长是2,点D,E分别是AB,AC的中点,延长BC至点F,使$CF=\frac{1}{2}BC$,连接CD,EF。
(1)求证:$∠ EDC=∠ F$；
(2)求CD的长。
[点拨] 此题主要考查平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识,由三角形中位线定理得出$DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$是解题关键。
[解] (1)∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴$DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$。
又∵$CF=\frac{1}{2}BC$,
∴$DE=CF$。
∴四边形CDEF是平行四边形,
∴$∠ EDC=∠ F$。
(2)∵点D为AB的中点,等边△ABC的边长是2,
∴$AD=BD=1,CD⊥ AB,BC=2$,
∴$CD=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$。
(1)求证:$∠ EDC=∠ F$；
(2)求CD的长。
[点拨] 此题主要考查平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识,由三角形中位线定理得出$DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$是解题关键。
[解] (1)∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴$DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$。
又∵$CF=\frac{1}{2}BC$,
∴$DE=CF$。
∴四边形CDEF是平行四边形,
∴$∠ EDC=∠ F$。
(2)∵点D为AB的中点,等边△ABC的边长是2,
∴$AD=BD=1,CD⊥ AB,BC=2$,
∴$CD=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$。
答案
解：(1) 证明：
∵ 点D，E分别是AB，AC的中点，
∴ DE为△ABC的中位线，
∴ $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
又∵ $CF=\frac{1}{2}BC$，
∴ $DE=CF$，且$DE// CF$，
∴ 四边形CDEF是平行四边形，
∴ $∠ EDC=∠ F$。
(2) 解：
∵ 等边△ABC的边长是2，点D为AB的中点，
∴ $AD=BD=1$，$CD⊥ AB$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
∵ 点D，E分别是AB，AC的中点，
∴ DE为△ABC的中位线，
∴ $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
又∵ $CF=\frac{1}{2}BC$，
∴ $DE=CF$，且$DE// CF$，
∴ 四边形CDEF是平行四边形，
∴ $∠ EDC=∠ F$。
(2) 解：
∵ 等边△ABC的边长是2，点D为AB的中点，
∴ $AD=BD=1$，$CD⊥ AB$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 要证明∠EDC=∠F，可通过证明四边形CDEF是平行四边形，利用平行四边形对角相等的性质推导。首先根据D、E是AB、AC中点，可判断DE是△ABC的中位线，得到DE与BC的平行关系和数量关系，再结合CF=$\frac{1}{2}$BC的条件，可推出DE与CF平行且相等，即可判定四边形CDEF为平行四边形。
(2) 求CD的长度时，利用等边三角形三线合一的性质，D是AB中点，因此CD是AB边上的高，△BCD为直角三角形，已知BC和BD的长度，用勾股定理即可计算出CD的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 点D，E分别是AB，AC的中点，
∴ DE为△ABC的中位线，
∴ $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
又
∵ $CF=\frac{1}{2}BC$，
∴ $DE=CF$，且$DE// CF$，
∴ 四边形CDEF是平行四边形，
∴ $∠ EDC=∠ F$。
(2) 解：
∵ 等边△ABC的边长是2，点D为AB的中点，
∴ $AD=BD=1$，$CD⊥ AB$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) ∠EDC=∠F得证；
(2) $CD=\sqrt{3}$
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是先通过中位线得到边的关系，进而判定平行四边形解决角度相等的问题，第二问借助等边三角形的特殊性质转化为直角三角形边长计算，侧重对基础几何定理的理解和应用考查。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明∠EDC=∠F，可通过证明四边形CDEF是平行四边形，利用平行四边形对角相等的性质推导。首先根据D、E是AB、AC中点，可判断DE是△ABC的中位线，得到DE与BC的平行关系和数量关系，再结合CF=$\frac{1}{2}$BC的条件，可推出DE与CF平行且相等，即可判定四边形CDEF为平行四边形。
(2) 求CD的长度时，利用等边三角形三线合一的性质，D是AB中点，因此CD是AB边上的高，△BCD为直角三角形，已知BC和BD的长度，用勾股定理即可计算出CD的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 点D，E分别是AB，AC的中点，
∴ DE为△ABC的中位线，
∴ $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
又
∵ $CF=\frac{1}{2}BC$，
∴ $DE=CF$，且$DE// CF$，
∴ 四边形CDEF是平行四边形，
∴ $∠ EDC=∠ F$。
(2) 解：
∵ 等边△ABC的边长是2，点D为AB的中点，
∴ $AD=BD=1$，$CD⊥ AB$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) ∠EDC=∠F得证；
(2) $CD=\sqrt{3}$
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是先通过中位线得到边的关系，进而判定平行四边形解决角度相等的问题，第二问借助等边三角形的特殊性质转化为直角三角形边长计算，侧重对基础几何定理的理解和应用考查。
【难度系数】
0.8
变式训练1 | 如图,在$△ ABC$中,$AB=BC=12,BD\bot AC$于点$D$,点$F$在$BC$上,且$BF=4$,连接$AF$,$E$为$AF$的中点,连接$DE$,则$DE$的长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
【分析】
首先观察题干条件，△ABC是等腰三角形（AB=BC），且BD⊥AC，可先利用等腰三角形三线合一的性质得到D是AC的中点；再结合E是AF的中点，可联想到三角形中位线定理，DE为△AFC的中位线，因此只需要求出FC的长度，即可根据中位线的性质算出DE的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得D为AC的中点，
又
∵E为AF的中点，
∴DE是△AFC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得$DE=\frac{1}{2}FC$，
已知$BC=12$，$BF=4$，
∴$FC=BC-BF=12-4=8$，
∴$DE=\frac{1}{2}×8=4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何中常见的线段长度计算题，解题的核心是结合已知的等腰三角形垂线条件推出中点，再结合另一个中点判断出中位线，进而快速计算线段长度，解题时要注意对“中点”相关性质定理的灵活运用。
【难度系数】
0.7
首先观察题干条件，△ABC是等腰三角形（AB=BC），且BD⊥AC，可先利用等腰三角形三线合一的性质得到D是AC的中点；再结合E是AF的中点，可联想到三角形中位线定理，DE为△AFC的中位线，因此只需要求出FC的长度，即可根据中位线的性质算出DE的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得D为AC的中点，
又
∵E为AF的中点，
∴DE是△AFC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得$DE=\frac{1}{2}FC$，
已知$BC=12$，$BF=4$，
∴$FC=BC-BF=12-4=8$，
∴$DE=\frac{1}{2}×8=4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何中常见的线段长度计算题，解题的核心是结合已知的等腰三角形垂线条件推出中点，再结合另一个中点判断出中位线，进而快速计算线段长度，解题时要注意对“中点”相关性质定理的灵活运用。
【难度系数】
0.7
例2 如图，$△ ABC$中，$AD$是角平分线，$BE$是中线，$AD ⊥ BE$，垂足为$F$，$AD=BE=4$，求$△ ABC$三边的长。
[点拨] 本题考查三角形中位线定理、勾股定理、线段垂直平分线的性质、三角形的中线的定义以及等腰三角形三线合一的性质，熟记定理与性质并作辅助线构造出含中位线的三角形是解题的关键。
[解] 如图，取$CD$的中点$G$，连接$EG$。
$\because BE$是$△ ABC$的中线，
$\therefore AE=CE$，
$\therefore EG$是$△ ACD$的中位线，
$\therefore EG // AD$，$EG=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2} × 4=2$。
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，$AD ⊥ BE$，
$\therefore BF=EF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2} × 4=2$，
$\therefore DF$是$△ BEG$的中位线，
$\therefore DF=\frac{1}{2}EG=\frac{1}{2} × 2=1$。
$\because AD=4$，$\therefore AF=AD-DF=4-1=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，
$AB=\sqrt{AF^2 + BF^2}=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{13}$。
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，$AD ⊥ BE$，
$\therefore AD$垂直平分$BE$，
$\therefore AE=AB=\sqrt{13}$。
$\because BE$是$△ ABC$的中线，
$\therefore AC=2AE=2\sqrt{13}$。
在$\mathrm{Rt}△ BFD$中，
$BD=\sqrt{BF^2 + DF^2}=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$。
$\because DF$是$△ BEG$的中位线，$EG$是$△ ADC$的中位线，
$\therefore BD=DG=CG=\sqrt{5}$，
$\therefore BC=3\sqrt{5}$。
$\therefore △ ABC$三边的长分别为$\sqrt{13}$，$3\sqrt{5}$，$2\sqrt{13}$。
[点拨] 本题考查三角形中位线定理、勾股定理、线段垂直平分线的性质、三角形的中线的定义以及等腰三角形三线合一的性质，熟记定理与性质并作辅助线构造出含中位线的三角形是解题的关键。
[解] 如图，取$CD$的中点$G$，连接$EG$。
$\because BE$是$△ ABC$的中线，
$\therefore AE=CE$，
$\therefore EG$是$△ ACD$的中位线，
$\therefore EG // AD$，$EG=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2} × 4=2$。
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，$AD ⊥ BE$，
$\therefore BF=EF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2} × 4=2$，
$\therefore DF$是$△ BEG$的中位线，
$\therefore DF=\frac{1}{2}EG=\frac{1}{2} × 2=1$。
$\because AD=4$，$\therefore AF=AD-DF=4-1=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，
$AB=\sqrt{AF^2 + BF^2}=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{13}$。
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，$AD ⊥ BE$，
$\therefore AD$垂直平分$BE$，
$\therefore AE=AB=\sqrt{13}$。
$\because BE$是$△ ABC$的中线，
$\therefore AC=2AE=2\sqrt{13}$。
在$\mathrm{Rt}△ BFD$中，
$BD=\sqrt{BF^2 + DF^2}=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$。
$\because DF$是$△ BEG$的中位线，$EG$是$△ ADC$的中位线，
$\therefore BD=DG=CG=\sqrt{5}$，
$\therefore BC=3\sqrt{5}$。
$\therefore △ ABC$三边的长分别为$\sqrt{13}$，$3\sqrt{5}$，$2\sqrt{13}$。
答案
解：取CD的中点G，连接EG。
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，
∴EG是△ACD的中位线，
∴$EG// AD$，$EG=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2$。
∵AD是∠BAC的平分线，$AD⊥ BE$，
∴$BF=EF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×4=2$，
∴DF是△BEG的中位线，
∴$DF=\frac{1}{2}EG=\frac{1}{2}×2=1$。
∵AD=4，
∴$AF=AD-DF=4-1=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，
$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
∵AD是∠BAC的平分线，$AD⊥ BE$，
∴AD垂直平分BE，
∴$AE=AB=\sqrt{13}$。
∵BE是△ABC的中线，
∴$AC=2AE=2\sqrt{13}$。
在$\mathrm{Rt}△ BFD$中，
$BD=\sqrt{BF^2+DF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
∵DF是△BEG的中位线，EG是△ADC的中位线，
∴$BD=DG=CG=\sqrt{5}$，
∴$BC=3\sqrt{5}$。
答：$△ ABC$三边的长分别为$\sqrt{13}$，$3\sqrt{5}$，$2\sqrt{13}$。
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，
∴EG是△ACD的中位线，
∴$EG// AD$，$EG=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2$。
∵AD是∠BAC的平分线，$AD⊥ BE$，
∴$BF=EF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×4=2$，
∴DF是△BEG的中位线，
∴$DF=\frac{1}{2}EG=\frac{1}{2}×2=1$。
∵AD=4，
∴$AF=AD-DF=4-1=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，
$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
∵AD是∠BAC的平分线，$AD⊥ BE$，
∴AD垂直平分BE，
∴$AE=AB=\sqrt{13}$。
∵BE是△ABC的中线，
∴$AC=2AE=2\sqrt{13}$。
在$\mathrm{Rt}△ BFD$中，
$BD=\sqrt{BF^2+DF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
∵DF是△BEG的中位线，EG是△ADC的中位线，
∴$BD=DG=CG=\sqrt{5}$，
∴$BC=3\sqrt{5}$。
答：$△ ABC$三边的长分别为$\sqrt{13}$，$3\sqrt{5}$，$2\sqrt{13}$。
解析
【分析】
本题要求三角形三边长，已知角平分线、中线及两条线段垂直的条件，可按以下思路推导：①遇到中线可构造中位线，转化线段的平行与倍分关系，因此取CD中点G连接EG，先得到△ACD的中位线EG；②利用角平分线+AD⊥BE的条件，由等腰三角形三线合一可知△ABE是等腰三角形，F为BE中点，进而得到DF是△BEG的中位线，可算出DF、AF的长度；③在直角三角形中用勾股定理算出AB、BD的长度，再结合中位线得到的线段等分关系求BC，结合中线性质求AC即可。
【解析】
取CD的中点G，连接EG。
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，
∴EG是△ACD的中位线，
∴$EG// AD$，$EG=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2$。
∵AD是∠BAC的平分线，$AD⊥ BE$，
∴$BF=EF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×4=2$，
∴DF是△BEG的中位线，
∴$DF=\frac{1}{2}EG=\frac{1}{2}×2=1$。
∵AD=4，
∴$AF=AD-DF=4-1=3$。
在$\mathrm{Rt}△ABF$中，
$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
∵AD是∠BAC的平分线，$AD⊥ BE$，
∴AD垂直平分BE，
∴$AE=AB=\sqrt{13}$。
∵BE是△ABC的中线，
∴$AC=2AE=2\sqrt{13}$。
在$\mathrm{Rt}△BFD$中，
$BD=\sqrt{BF^2+DF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
∵DF是△BEG的中位线，EG是△ADC的中位线，
∴$BD=DG=CG=\sqrt{5}$，
∴$BC=3\sqrt{5}$。
【答案】
△ABC三边的长分别为$\sqrt{13}$，$2\sqrt{13}$，$3\sqrt{5}$。
【知识点】
三角形中位线定理；勾股定理；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是三角形综合基础题，解题的关键是根据已知的中线条件构造中位线，将线段的数量关系和位置关系进行转化，同时结合角平分线、垂直的性质推导等腰三角形，再利用勾股定理计算边长，对辅助线的构造意识有一定的考查。
【难度系数】
0.6
本题要求三角形三边长，已知角平分线、中线及两条线段垂直的条件，可按以下思路推导：①遇到中线可构造中位线，转化线段的平行与倍分关系，因此取CD中点G连接EG，先得到△ACD的中位线EG；②利用角平分线+AD⊥BE的条件，由等腰三角形三线合一可知△ABE是等腰三角形，F为BE中点，进而得到DF是△BEG的中位线，可算出DF、AF的长度；③在直角三角形中用勾股定理算出AB、BD的长度，再结合中位线得到的线段等分关系求BC，结合中线性质求AC即可。
【解析】
取CD的中点G，连接EG。
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，
∴EG是△ACD的中位线，
∴$EG// AD$，$EG=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2$。
∵AD是∠BAC的平分线，$AD⊥ BE$，
∴$BF=EF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×4=2$，
∴DF是△BEG的中位线，
∴$DF=\frac{1}{2}EG=\frac{1}{2}×2=1$。
∵AD=4，
∴$AF=AD-DF=4-1=3$。
在$\mathrm{Rt}△ABF$中，
$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
∵AD是∠BAC的平分线，$AD⊥ BE$，
∴AD垂直平分BE，
∴$AE=AB=\sqrt{13}$。
∵BE是△ABC的中线，
∴$AC=2AE=2\sqrt{13}$。
在$\mathrm{Rt}△BFD$中，
$BD=\sqrt{BF^2+DF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
∵DF是△BEG的中位线，EG是△ADC的中位线，
∴$BD=DG=CG=\sqrt{5}$，
∴$BC=3\sqrt{5}$。
【答案】
△ABC三边的长分别为$\sqrt{13}$，$2\sqrt{13}$，$3\sqrt{5}$。
【知识点】
三角形中位线定理；勾股定理；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是三角形综合基础题，解题的关键是根据已知的中线条件构造中位线，将线段的数量关系和位置关系进行转化，同时结合角平分线、垂直的性质推导等腰三角形，再利用勾股定理计算边长，对辅助线的构造意识有一定的考查。
【难度系数】
0.6
