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|变式训练2| 如图,在$△ ABC$中,D是AB的中点,CE平分$∠ ACB$,$AE⊥ CE$,垂足为E,连接DE。若$AC=14$,$BC=20$,则DE的长是（
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
A
解析
【分析】
遇到角平分线与边上的高同时出现的几何题，可通过延长高构造全等三角形转化线段关系。本题先延长AE交BC于点F，先利用角平分线性质、垂直条件证明△CEA与△CEF全等，得到AC=CF、E为AF中点，再结合D是AB中点，可知DE是△ABF的中位线，最后用中位线性质计算DE长度即可。
【解析】
延长AE交BC于点F。
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠FCE。
∵AE⊥CE，
∴∠CEA=∠CEF=90°。
在△CEA和△CEF中：
$\{\begin{array}{l}∠ACE=∠FCE \\CE=CE \\∠CEA=∠CEF\end{array} $
∴△CEA≌△CEF（ASA），
∴AC=CF=14，AE=EF，即E是AF的中点。
又
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BF$。
∵$BF=BC-CF=20-14=6$，
∴$DE=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何典型题型，解题关键是熟练掌握“角平分线+垂线”的辅助线构造方法，通过全等转换线段后结合中位线性质求解，需要同学们熟练掌握这类辅助线的使用场景。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线与边上的高同时出现的几何题，可通过延长高构造全等三角形转化线段关系。本题先延长AE交BC于点F，先利用角平分线性质、垂直条件证明△CEA与△CEF全等，得到AC=CF、E为AF中点，再结合D是AB中点，可知DE是△ABF的中位线，最后用中位线性质计算DE长度即可。
【解析】
延长AE交BC于点F。
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠FCE。
∵AE⊥CE，
∴∠CEA=∠CEF=90°。
在△CEA和△CEF中：
$\{\begin{array}{l}∠ACE=∠FCE \\CE=CE \\∠CEA=∠CEF\end{array} $
∴△CEA≌△CEF（ASA），
∴AC=CF=14，AE=EF，即E是AF的中点。
又
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BF$。
∵$BF=BC-CF=20-14=6$，
∴$DE=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何典型题型，解题关键是熟练掌握“角平分线+垂线”的辅助线构造方法，通过全等转换线段后结合中位线性质求解，需要同学们熟练掌握这类辅助线的使用场景。
【难度系数】
0.6
1.将直尺和$△ ABC$按如图所示的方式放置，边$AC$，$BC$与直尺的交点$M$，$N$对应的刻度分别为1 cm和6 cm。若点$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，则边$AB$的长度是
（
A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
（
C
）A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察图形，先根据M、N在直尺上对应的刻度计算出线段MN的长度；再结合“M，N分别是AC，BC的中点”这一条件，判断出MN是△ABC的中位线；最后利用三角形中位线定理即可求出AB的长度。
【解析】
第一步：计算MN的长度
已知M对应的刻度为1 cm，N对应的刻度为6 cm，因此$\boldsymbol{MN = 6\ \mathrm{cm} - 1\ \mathrm{cm} = 5\ \mathrm{cm}}$。
第二步：判断MN为△ABC的中位线
∵点M是AC的中点，点N是BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线。
第三步：根据三角形中位线定理求AB
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可得$\boldsymbol{AB = 2MN = 2×5\ \mathrm{cm} = 10\ \mathrm{cm}}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，线段长度计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确识别中位线，结合刻度尺读数得到中位线长度，再利用中位线性质求解，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，先根据M、N在直尺上对应的刻度计算出线段MN的长度；再结合“M，N分别是AC，BC的中点”这一条件，判断出MN是△ABC的中位线；最后利用三角形中位线定理即可求出AB的长度。
【解析】
第一步：计算MN的长度
已知M对应的刻度为1 cm，N对应的刻度为6 cm，因此$\boldsymbol{MN = 6\ \mathrm{cm} - 1\ \mathrm{cm} = 5\ \mathrm{cm}}$。
第二步：判断MN为△ABC的中位线
∵点M是AC的中点，点N是BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线。
第三步：根据三角形中位线定理求AB
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可得$\boldsymbol{AB = 2MN = 2×5\ \mathrm{cm} = 10\ \mathrm{cm}}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，线段长度计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确识别中位线，结合刻度尺读数得到中位线长度，再利用中位线性质求解，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
2.如图，点D，E，F分别为$△ ABC$三边的中点，若$△ DEF$的周长为5，则$△ ABC$的周长为（
A.12
B.10
C.5
D.2.5
B
）A.12
B.10
C.5
D.2.5
答案
B
解析
【分析】
看到题目给出三角形三边中点的条件，首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。接下来我们可以先推导△DEF的三条边与△ABC三条边的对应数量关系，再结合周长的定义，得到两个三角形周长的比例关系，最后代入已知的△DEF的周长，即可求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵点D、E、F分别为△ABC三边AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF、DF均为△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}BC$，
∴△DEF的周长$=DE+EF+DF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}×△ABC的周长$，
已知△DEF的周长为5，代入得：$\frac{1}{2}×△ABC的周长=5$，
解得△ABC的周长$=5×2=10$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练掌握三角形中位线的性质，通过中位线和第三边的数量关系推导得到两个三角形周长的比例，计算过程简单，不容易出错。
【难度系数】
0.8
看到题目给出三角形三边中点的条件，首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。接下来我们可以先推导△DEF的三条边与△ABC三条边的对应数量关系，再结合周长的定义，得到两个三角形周长的比例关系，最后代入已知的△DEF的周长，即可求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵点D、E、F分别为△ABC三边AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF、DF均为△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}BC$，
∴△DEF的周长$=DE+EF+DF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}×△ABC的周长$，
已知△DEF的周长为5，代入得：$\frac{1}{2}×△ABC的周长=5$，
解得△ABC的周长$=5×2=10$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练掌握三角形中位线的性质，通过中位线和第三边的数量关系推导得到两个三角形周长的比例，计算过程简单，不容易出错。
【难度系数】
0.8
3.如图，$△ ABC$中D，E分别是AB，AC的中点，F是DE上一点，$AF ⊥ CF$，若$BC=14$，$DF=1$，则边AC的长是 （
A.14
B.13
C.12
D.11
C
）A.14
B.13
C.12
D.11
答案
C
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：D、E是AB、AC的中点，首先联想到三角形中位线定理，可先求出中位线DE的长度；再结合DF=1计算出EF的长度；最后根据AF⊥CF得到△AFC是直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC，
∵BC=14，
∴DE = $\frac{1}{2}×14=7$，
∵DF=1，
∴EF = DE - DF = 7 - 1 = 6，
∵AF⊥CF，
∴∠AFC=90°，即△AFC是直角三角形，
又
∵E是AC的中点，
∴EF是Rt△AFC斜边AC的中线，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得EF = $\frac{1}{2}$AC，
∴AC = 2EF = 2×6 = 12。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将三角形中位线和直角三角形的性质结合考查，解题的突破口是先求出EF的长度，再建立EF和AC的数量关系，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：D、E是AB、AC的中点，首先联想到三角形中位线定理，可先求出中位线DE的长度；再结合DF=1计算出EF的长度；最后根据AF⊥CF得到△AFC是直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC，
∵BC=14，
∴DE = $\frac{1}{2}×14=7$，
∵DF=1，
∴EF = DE - DF = 7 - 1 = 6，
∵AF⊥CF，
∴∠AFC=90°，即△AFC是直角三角形，
又
∵E是AC的中点，
∴EF是Rt△AFC斜边AC的中线，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得EF = $\frac{1}{2}$AC，
∴AC = 2EF = 2×6 = 12。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将三角形中位线和直角三角形的性质结合考查，解题的突破口是先求出EF的长度，再建立EF和AC的数量关系，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
4.如图,已知四边形ABCD中,R,P分别为BC,CD上的点,E,F分别为AP,RP的中点。当点P在CD上从点C向点D移动,同时点R在BC上从点B向点C移动,点P和点R同时到达终点,那么下列结论成立的是 (
A.线段EF的长先变大再变小
B.线段EF的长先变小再变大
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长与点P的位置有关
B
)A.线段EF的长先变大再变小
B.线段EF的长先变小再变大
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长与点P的位置有关
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察到E、F分别是AP、RP的中点，可联想到三角形中位线定理。我们可以先连接AR，将EF的长度和AR的长度建立联系：三角形的中位线等于第三边的一半，因此EF=½AR，此时只需判断AR的长度变化规律即可。点A是定点，R在BC边上从B向C移动，根据点到直线的线段中垂线段最短的性质，可判断AR的长度变化，进而得到EF的长度变化规律。
【解析】
1. 连接AR，
∵E为AP的中点，F为RP的中点，
∴EF是△ARP的中位线，根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{EF=\frac{1}{2}AR}$，即EF的长度由AR的长度决定。
2. 点A为定点，点R在BC上从B向C移动，根据“点到直线的所有线段中，垂线段最短”可知：
当R向A到BC的垂足位置移动时，AR的长度逐渐变小；当R经过垂足后继续向C移动时，AR的长度逐渐变大，即AR的长先变小再变大。
3. 结合$EF=\frac{1}{2}AR$，可知线段EF的长也随AR的变化先变小再变大。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短
【点评】
本题是动点结合几何性质的基础题型，解题核心是利用中位线性质将动态线段EF的长度转化为定点到动线段上动点的距离AR的长度，再用垂线段最短的性质判断变化规律，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到E、F分别是AP、RP的中点，可联想到三角形中位线定理。我们可以先连接AR，将EF的长度和AR的长度建立联系：三角形的中位线等于第三边的一半，因此EF=½AR，此时只需判断AR的长度变化规律即可。点A是定点，R在BC边上从B向C移动，根据点到直线的线段中垂线段最短的性质，可判断AR的长度变化，进而得到EF的长度变化规律。
【解析】
1. 连接AR，
∵E为AP的中点，F为RP的中点，
∴EF是△ARP的中位线，根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{EF=\frac{1}{2}AR}$，即EF的长度由AR的长度决定。
2. 点A为定点，点R在BC上从B向C移动，根据“点到直线的所有线段中，垂线段最短”可知：
当R向A到BC的垂足位置移动时，AR的长度逐渐变小；当R经过垂足后继续向C移动时，AR的长度逐渐变大，即AR的长先变小再变大。
3. 结合$EF=\frac{1}{2}AR$，可知线段EF的长也随AR的变化先变小再变大。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短
【点评】
本题是动点结合几何性质的基础题型，解题核心是利用中位线性质将动态线段EF的长度转化为定点到动线段上动点的距离AR的长度，再用垂线段最短的性质判断变化规律，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7
