5.如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成平行四边形的个数是个。

5.4

【分析】
本题可利用平行四边形“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理解题。由于所有点都分布在交于O点的线段AB、CD上，且AB、CD都被四等分，各点到O的距离有1等份、2等份两类，只要在AB上选到O距离相等的两点，在CD上选到O距离相等的两点，这四个点就能构成平行四边形，分类计数即可得到结果。
【解析】
设四等分每段长度为1个单位，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，分类计数：
1. 选AB上到O距离为1的两个分点、CD上到O距离为1的两个分点，可构成1个平行四边形；
2. 选AB上到O距离为1的两个分点、CD上到O距离为2的两个端点（C、D），可构成1个平行四边形；
3. 选AB上到O距离为2的两个端点（A、B）、CD上到O距离为1的两个分点，可构成1个平行四边形；
4. 选AB上到O距离为2的两个端点、CD上到O距离为2的两个端点，可构成1个平行四边形。
总个数为1+1+1+1=4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的判定、分类计数、线段等分点
【点评】
本题考查平行四边形判定和分类计数思想，选择合适的判定定理可简化计数过程，计数时要注意不重复不遗漏。
【难度系数】
0.6

6. 如图，$AO=OC$，$BD=12$，则当$OB=$时，四边形$ABCD$是平行四边形。

6.6

【分析】
要判断四边形ABCD是平行四边形，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理思考。已知条件已经给出AO=OC，说明对角线AC已经被点O平分，因此只需要满足对角线BD也被点O平分，即OB=OD，就可以判定四边形是平行四边形，结合BD的总长度即可求出OB的长度。
【解析】
根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知AO=OC，即对角线AC已被点O平分，若要四边形ABCD为平行四边形，则需对角线BD也被点O平分，即OB=OD。
∵ BD=OB+OD=12，且OB=OD
∴ OB = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}×12 = 6$
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的判定；线段和差计算
【点评】
本题是基础类题目，主要考查平行四边形的判定定理的应用，熟练掌握平行四边形的判定条件是解题的关键。
【难度系数】
0.9

7.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AC,BD相交于点O,且O是BD的中点。求证:四边形ABCD是平行四边形。

7.证明:
∵AB//CD，
∴∠ABO=∠CDO。
∵OB=OD,∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴AB=CD。
又
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形。

【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，已知AB//CD，根据平行四边形的判定规则，只需再证明AB=CD即可。我们可以通过证明△AOB和△COD全等来得到AB=CD：首先由AB//CD可得内错角∠ABO=∠CDO，O是BD中点可推出OB=OD，再加上对顶角∠AOB=∠COD，即可用ASA判定两个三角形全等，进而得到AB=CD，最后结合AB//CD的已知条件，就可以判定四边形是平行四边形。
【解析】
证明:
∵AB//CD，
∴∠ABO=∠CDO。
∵OB=OD,∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴AB=CD。
又
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
证明:
∵AB//CD，
∴∠ABO=∠CDO。
∵OB=OD,∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴AB=CD。
又
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是结合已知条件通过全等三角形得到平行且相等的对边，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的前提。
【难度系数】
0.8

8.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,并且AE＝CF,求证:四边形BFDE是平行四边形。

8.证明:
∵ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，
∴AO=CO,BO=DO。
∵AE=CF，
∴AF=EC,则FO=EO，
∴四边形BFDE是平行四边形。

【分析】
要证明四边形BFDE是平行四边形，结合题目中与对角线相关的已知条件，优先选用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法解题：首先利用平行四边形的性质，得到原平行四边形对角线互相平分，即AO=CO、BO=DO；再结合已知AE=CF，通过线段的和差关系推导得出FO=EO；此时四边形BFDE的两条对角线互相平分，即可判定它是平行四边形。
【解析】
证明：
∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得AO=CO，BO=DO。
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=EC，进一步可得AF-AO=EC-CO，即FO=EO。
∵四边形BFDE的对角线BD和EF互相平分，
∴四边形BFDE是平行四边形。
【答案】
证明:
∵平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，
∴AO=CO,BO=DO。
∵AE=CF，
∴AF=EC,则FO=EO，
∴四边形BFDE是平行四边形。
【知识点】
1.平行四边形的性质
2.平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的基础应用类题目，解题的核心是结合已知条件选择合适的判定定理，通过对角线的等量关系推导即可得出结论，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.85

9.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,直线EF过点O分别交BC,AD于点E,F,G,H分别为OB,OD的中点,求证:四边形GEHF是平行四边形。

9.证明:
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO,AD=BC且AD//BC。
∴∠ADO=∠CBO。
在△FOD和△EOB中，
$\begin{cases}∠FDO=∠EBO,\\DO=BO,\\∠FOD=∠EOB,\end{cases}$
∴△FOD≌△EOB(ASA)。
∴FO=EO。
又
∵G,H分别为OB,OD的中点，
∴GO=HO。
∴四边形GEHF是平行四边形。

【分析】
要证明四边形GEHF是平行四边形，可优先考虑“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理来推导：第一步先利用平行四边形ABCD的性质，得到对角线互相平分、对边平行的结论，进而得到一组内错角相等；第二步通过角边角判定证明△FOD和△EOB全等，得到FO=EO；第三步结合G、H是OB、OD中点的条件，推出GO=HO，即可得四边形GEHF的两条对角线互相平分，完成证明。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，AD=BC且AD//BC，
∴∠ADO=∠CBO。
在△FOD和△EOB中，
$\begin{cases}∠FDO=∠EBO,\\DO=BO,\\∠FOD=∠EOB,\end{cases}$
∴△FOD≌△EOB(ASA)，
∴FO=EO。
又
∵G、H分别为OB、OD的中点，
∴GO=HO。
∴四边形GEHF是平行四边形。
【答案】
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，AD=BC且AD//BC。
∴∠ADO=∠CBO。
在△FOD和△EOB中，
$\begin{cases}∠FDO=∠EBO,\\DO=BO,\\∠FOD=∠EOB,\end{cases}$
∴△FOD≌△EOB(ASA)。
∴FO=EO。
又
∵G,H分别为OB,OD的中点，
∴GO=HO。
∴四边形GEHF是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形相关证明的基础题型，解题关键是结合已知条件选择合适的平行四边形判定方法，通过平行四边形的性质和全等三角形的推导得到待证四边形对角线互相平分的结论，解题逻辑清晰，是几何部分的常规考查题型。
【难度系数】
0.7