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6. 根据下列条件，设未知数，列出方程.
(1)工人甲每天比工人乙多生产40个零件，若工人甲工作16天，工人乙工作24天，共生产8 640个零件，甲、乙两人每天各生产多少个零件？
(2)甲队有54人，乙队有66人.从甲队调给乙队多少人，能使乙队人数是甲队人数的3倍？
(1)工人甲每天比工人乙多生产40个零件，若工人甲工作16天，工人乙工作24天，共生产8 640个零件，甲、乙两人每天各生产多少个零件？
(2)甲队有54人，乙队有66人.从甲队调给乙队多少人，能使乙队人数是甲队人数的3倍？
答案
解 (1)设工人甲每天生产$x$个零件，则工人乙每天生产$(x-40)$个零件，
由题意，得$16x+24(x-40)=8640$。
(2)设甲队调给乙队$x$人，则调动后甲队有$(54-x)$人，乙队有$(66+x)$人，由题意，得$3(54-x)=66+x$。
由题意，得$16x+24(x-40)=8640$。
(2)设甲队调给乙队$x$人，则调动后甲队有$(54-x)$人，乙队有$(66+x)$人，由题意，得$3(54-x)=66+x$。
解析
【分析】
(1) 本题为工程类方程应用题，解题核心是找准总工作量的等量关系：甲16天生产的零件数+乙24天生产的零件数=总零件数8640个。已知甲每天比乙多生产40个，我们可以设甲每天生产的零件数为未知数x，那么乙每天生产的零件数可表示为(x-40)，将两人的工作总量代入等量关系即可列出方程。
(2) 本题为人员调配类方程应用题，解题核心是找准调配后两队人数的等量关系：调配后乙队人数=3×调配后甲队人数。设从甲队调给乙队的人数为x，那么调配后甲队剩余人数为(54-x)，乙队人数为原人数加上调入的x人即(66+x)，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
(1) 设工人甲每天生产$x$个零件，由于甲每天比乙多生产40个，因此工人乙每天生产$(x-40)$个零件。
甲16天的生产总量为$16x$，乙24天的生产总量为$24(x-40)$，根据两人共生产8640个零件，列方程得：
$16x+24(x-40)=8640$
(2) 设从甲队调给乙队$x$人，则调动后甲队剩余$(54-x)$人，乙队共有$(66+x)$人。
根据调动后乙队人数是甲队人数的3倍，列方程得：
$3(54-x)=66+x$
【答案】
(1) 设甲每天生产$x$个零件，方程为$\boldsymbol{16x+24(x-40)=8640}$；
(2) 设从甲队调给乙队$x$人，方程为$\boldsymbol{3(54-x)=66+x}$。
【知识点】
列一元一次方程、工程问题、调配问题
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，重点考查从实际问题中提取等量关系、设未知数并表示相关量的能力，熟练掌握不同场景下的常见等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 本题为工程类方程应用题，解题核心是找准总工作量的等量关系：甲16天生产的零件数+乙24天生产的零件数=总零件数8640个。已知甲每天比乙多生产40个，我们可以设甲每天生产的零件数为未知数x，那么乙每天生产的零件数可表示为(x-40)，将两人的工作总量代入等量关系即可列出方程。
(2) 本题为人员调配类方程应用题，解题核心是找准调配后两队人数的等量关系：调配后乙队人数=3×调配后甲队人数。设从甲队调给乙队的人数为x，那么调配后甲队剩余人数为(54-x)，乙队人数为原人数加上调入的x人即(66+x)，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
(1) 设工人甲每天生产$x$个零件，由于甲每天比乙多生产40个，因此工人乙每天生产$(x-40)$个零件。
甲16天的生产总量为$16x$，乙24天的生产总量为$24(x-40)$，根据两人共生产8640个零件，列方程得：
$16x+24(x-40)=8640$
(2) 设从甲队调给乙队$x$人，则调动后甲队剩余$(54-x)$人，乙队共有$(66+x)$人。
根据调动后乙队人数是甲队人数的3倍，列方程得：
$3(54-x)=66+x$
【答案】
(1) 设甲每天生产$x$个零件，方程为$\boldsymbol{16x+24(x-40)=8640}$；
(2) 设从甲队调给乙队$x$人，方程为$\boldsymbol{3(54-x)=66+x}$。
【知识点】
列一元一次方程、工程问题、调配问题
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，重点考查从实际问题中提取等量关系、设未知数并表示相关量的能力，熟练掌握不同场景下的常见等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7. 若方程$(a-3)x^2 - x^{|b|} + 2 = 7$是关于$x$的一元一次方程，$a$，$b$均为有理数，求$|b - a|$的值.
答案
解 因为方程$(a-3)x^2 - x^{|b|} + 2 = 7$是关于$x$的一元一次方程，所以$a-3=0$，$|b|=1$，所以$a=3$，$b=1$或$-1$。
当$b=-1$时，$|b-a|=|-1-3|=4$；
当$b=1$时，$|b-a|=|1-3|=2$。
当$b=-1$时，$|b-a|=|-1-3|=4$；
当$b=1$时，$|b-a|=|1-3|=2$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时含未知数的项的系数不为0。本题中方程含有$x^2$项，要满足一元一次的要求，首先二次项的系数必须为0，消去二次项；其次剩余的含$x$的项的次数必须等于1，由此可列出关于$a$、$b$的等式求出$a$、$b$的取值，最后分情况代入计算$|b-a|$即可。
【解析】
解：$\because$ 方程$(a-3)x^2 - x^{|b|} + 2 = 7$是关于$x$的一元一次方程
$\therefore$ 二次项系数为0，且$x$的最高次数为1，即：
$\begin{cases}a-3=0 \\ |b|=1\end{cases}$
解得：$a=3$，$b=1$或$b=-1$
①当$b=1$时，$|b-a|=|1-3|=2$
②当$b=-1$时，$|b-a|=|-1-3|=4$
【答案】
2或4
【知识点】
1. 一元一次方程的定义 2. 绝对值的运算
【点评】
本题重点考查一元一次方程的概念应用，解题时需注意既要保证未知数的最高次数为1，也要保证高于1次的项的系数为0，同时涉及绝对值求解时不要漏解，需分情况计算。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时含未知数的项的系数不为0。本题中方程含有$x^2$项，要满足一元一次的要求，首先二次项的系数必须为0，消去二次项；其次剩余的含$x$的项的次数必须等于1，由此可列出关于$a$、$b$的等式求出$a$、$b$的取值，最后分情况代入计算$|b-a|$即可。
【解析】
解：$\because$ 方程$(a-3)x^2 - x^{|b|} + 2 = 7$是关于$x$的一元一次方程
$\therefore$ 二次项系数为0，且$x$的最高次数为1，即：
$\begin{cases}a-3=0 \\ |b|=1\end{cases}$
解得：$a=3$，$b=1$或$b=-1$
①当$b=1$时，$|b-a|=|1-3|=2$
②当$b=-1$时，$|b-a|=|-1-3|=4$
【答案】
2或4
【知识点】
1. 一元一次方程的定义 2. 绝对值的运算
【点评】
本题重点考查一元一次方程的概念应用，解题时需注意既要保证未知数的最高次数为1，也要保证高于1次的项的系数为0，同时涉及绝对值求解时不要漏解，需分情况计算。
【难度系数】
0.7
8. 根据下列条件列出方程：
(1) $x$ 的3倍与7的差等于12；
(2) $a$ 的$\frac{2}{7}$比 $a$ 的相反数小 $1\frac{1}{5}$；
(3) $m$ 的平方的$\frac{1}{3}$减去$\frac{1}{2}$等于 $m$ 的3倍加1.
9. 根据下列问题，设未知数，列出方程，并指出是不是一元一次方程.
(1) 已知某商品现在的售价是34元，比原来的售价降低了15%，则原来的售价是多少？
(2) 一块长方形菜地，长比宽的2倍少5 m，面积是700 $m^2$. 这块菜地的宽是多少米？
(3) 一环形跑道的周长是400 m，沿跑道跑多少圈，可以跑5 000 m？
(4) 一个梯形的下底比上底长3 cm，高是5 cm，面积是40 $cm^2$，求上底长.
(1) $x$ 的3倍与7的差等于12；
(2) $a$ 的$\frac{2}{7}$比 $a$ 的相反数小 $1\frac{1}{5}$；
(3) $m$ 的平方的$\frac{1}{3}$减去$\frac{1}{2}$等于 $m$ 的3倍加1.
9. 根据下列问题，设未知数，列出方程，并指出是不是一元一次方程.
(1) 已知某商品现在的售价是34元，比原来的售价降低了15%，则原来的售价是多少？
(2) 一块长方形菜地，长比宽的2倍少5 m，面积是700 $m^2$. 这块菜地的宽是多少米？
(3) 一环形跑道的周长是400 m，沿跑道跑多少圈，可以跑5 000 m？
(4) 一个梯形的下底比上底长3 cm，高是5 cm，面积是40 $cm^2$，求上底长.
答案
8. 解 (1)由题意，得$3x-7=12$。
(2)由题意，得$-a-\frac{2}{7}a=1\frac{1}{5}$。
(3)由题意，得$\frac{1}{3}m^2-\frac{1}{2}=3m+1$。
9. 解 (1)设原来的售价为$x$元. 根据题意，得$(1-15\%)x=34$，是一元一次方程。
(2)设这块菜地的宽是$x$ m. 根据题意，得$(2x-5)x=700$，不是一元一次方程。
(3)设沿跑道跑$x$圈，根据题意，得$400x=5000$，是一元一次方程。
(4)设梯形的上底的长是$x$ cm，则下底是$(x+3)$ cm，根据题意，得$\frac{1}{2}(x+x+3)×5=40$，是一元一次方程。
(2)由题意，得$-a-\frac{2}{7}a=1\frac{1}{5}$。
(3)由题意，得$\frac{1}{3}m^2-\frac{1}{2}=3m+1$。
9. 解 (1)设原来的售价为$x$元. 根据题意，得$(1-15\%)x=34$，是一元一次方程。
(2)设这块菜地的宽是$x$ m. 根据题意，得$(2x-5)x=700$，不是一元一次方程。
(3)设沿跑道跑$x$圈，根据题意，得$400x=5000$，是一元一次方程。
(4)设梯形的上底的长是$x$ cm，则下底是$(x+3)$ cm，根据题意，得$\frac{1}{2}(x+x+3)×5=40$，是一元一次方程。
解析
【分析】
解题核心思路如下：①先将题干描述的各个量用含未知数的代数式准确表示，抓住“倍”“差”“比...大/小”“等于”等关键词明确运算关系；②根据找到的等量关系将代数式连接为方程；③第9题需先结合问题设合适的未知数，再结合售价、面积、路程等实际问题的常用公式列方程，最后根据“只含1个未知数、未知数次数为1、是整式方程”的一元一次方程判定标准判断方程类型。
【解析】
第8题
(1) “x的3倍”表示为$3x$，“与7的差”即$3x-7$，二者的差等于12，因此列方程：$3x-7=12$；
(2) “a的$\frac{2}{7}$”表示为$\frac{2}{7}a$，“a的相反数”表示为$-a$，$\frac{2}{7}a$比$-a$小$1\frac{1}{5}$，即$-a$减去$\frac{2}{7}a$等于$1\frac{1}{5}$，因此列方程：$-a-\frac{2}{7}a=1\frac{1}{5}$；
(3) “m的平方的$\frac{1}{3}$”表示为$\frac{1}{3}m^2$，“m的3倍加1”表示为$3m+1$，二者相等，因此列方程：$\frac{1}{3}m^2-\frac{1}{2}=3m+1$。
第9题
(1) 设原来的售价为$x$元，现售价比原售价降低15%，即现售价为原售价的$(1-15\%)$，对应现售价34元，列方程为$(1-15\%)x=34$。该方程仅含1个未知数$x$，未知数次数为1，属于整式方程，因此是一元一次方程。
(2) 设菜地的宽是$x$ m，则长为$(2x-5)$m，根据长方形面积=长×宽，对应面积700$m^2$，列方程为$(2x-5)x=700$。该方程中未知数最高次数为2，因此不是一元一次方程。
(3) 设沿跑道跑$x$圈，根据总路程=每圈周长×圈数，对应总路程5000m，列方程为$400x=5000$。该方程仅含1个未知数$x$，未知数次数为1，属于整式方程，因此是一元一次方程。
(4) 设梯形的上底长是$x$ cm，则下底长为$(x+3)$cm，根据梯形面积=$\frac{1}{2}×$(上底+下底)×高，对应面积40$cm^2$，列方程为$\frac{1}{2}(x+x+3)×5=40$。该方程仅含1个未知数$x$，未知数次数为1，属于整式方程，因此是一元一次方程。
【答案】
8. (1) $3x-7=12$
(2) $-a-\frac{2}{7}a=1\frac{1}{5}$
(3) $\frac{1}{3}m^2-\frac{1}{2}=3m+1$
9. (1) 设原来的售价为$x$元，$(1-15\%)x=34$，是一元一次方程
(2) 设这块菜地的宽是$x$ m，$(2x-5)x=700$，不是一元一次方程
(3) 设沿跑道跑$x$圈，$400x=5000$，是一元一次方程
(4) 设梯形的上底的长是$x$ cm，则下底是$(x+3)$ cm，$\frac{1}{2}(x+x+3)×5=40$，是一元一次方程
【知识点】
列方程、一元一次方程判定、实际问题等量关系
【点评】
本题是方程模块的基础题型，重点考察文字语言转化为数学表达式的能力，要求能准确把握题干中的运算逻辑，牢记一元一次方程的判定规则和常见实际问题的计算公式，是后续用方程解决实际问题的重要基础。
【难度系数】
0.7
解题核心思路如下：①先将题干描述的各个量用含未知数的代数式准确表示，抓住“倍”“差”“比...大/小”“等于”等关键词明确运算关系；②根据找到的等量关系将代数式连接为方程；③第9题需先结合问题设合适的未知数，再结合售价、面积、路程等实际问题的常用公式列方程，最后根据“只含1个未知数、未知数次数为1、是整式方程”的一元一次方程判定标准判断方程类型。
【解析】
第8题
(1) “x的3倍”表示为$3x$，“与7的差”即$3x-7$，二者的差等于12，因此列方程：$3x-7=12$；
(2) “a的$\frac{2}{7}$”表示为$\frac{2}{7}a$，“a的相反数”表示为$-a$，$\frac{2}{7}a$比$-a$小$1\frac{1}{5}$，即$-a$减去$\frac{2}{7}a$等于$1\frac{1}{5}$，因此列方程：$-a-\frac{2}{7}a=1\frac{1}{5}$；
(3) “m的平方的$\frac{1}{3}$”表示为$\frac{1}{3}m^2$，“m的3倍加1”表示为$3m+1$，二者相等，因此列方程：$\frac{1}{3}m^2-\frac{1}{2}=3m+1$。
第9题
(1) 设原来的售价为$x$元，现售价比原售价降低15%，即现售价为原售价的$(1-15\%)$，对应现售价34元，列方程为$(1-15\%)x=34$。该方程仅含1个未知数$x$，未知数次数为1，属于整式方程，因此是一元一次方程。
(2) 设菜地的宽是$x$ m，则长为$(2x-5)$m，根据长方形面积=长×宽，对应面积700$m^2$，列方程为$(2x-5)x=700$。该方程中未知数最高次数为2，因此不是一元一次方程。
(3) 设沿跑道跑$x$圈，根据总路程=每圈周长×圈数，对应总路程5000m，列方程为$400x=5000$。该方程仅含1个未知数$x$，未知数次数为1，属于整式方程，因此是一元一次方程。
(4) 设梯形的上底长是$x$ cm，则下底长为$(x+3)$cm，根据梯形面积=$\frac{1}{2}×$(上底+下底)×高，对应面积40$cm^2$，列方程为$\frac{1}{2}(x+x+3)×5=40$。该方程仅含1个未知数$x$，未知数次数为1，属于整式方程，因此是一元一次方程。
【答案】
8. (1) $3x-7=12$
(2) $-a-\frac{2}{7}a=1\frac{1}{5}$
(3) $\frac{1}{3}m^2-\frac{1}{2}=3m+1$
9. (1) 设原来的售价为$x$元，$(1-15\%)x=34$，是一元一次方程
(2) 设这块菜地的宽是$x$ m，$(2x-5)x=700$，不是一元一次方程
(3) 设沿跑道跑$x$圈，$400x=5000$，是一元一次方程
(4) 设梯形的上底的长是$x$ cm，则下底是$(x+3)$ cm，$\frac{1}{2}(x+x+3)×5=40$，是一元一次方程
【知识点】
列方程、一元一次方程判定、实际问题等量关系
【点评】
本题是方程模块的基础题型，重点考察文字语言转化为数学表达式的能力，要求能准确把握题干中的运算逻辑，牢记一元一次方程的判定规则和常见实际问题的计算公式，是后续用方程解决实际问题的重要基础。
【难度系数】
0.7
