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2.计算:(1)$(-10)^4$；(2)$(-8)^3$；(3)$(-\dfrac{1}{2})^5$.
答案
解:(1)10 000. (2)$-512$. (3)$-\dfrac{1}{32}$.
解析
【分析】
解决有理数乘方计算问题，首先要明确乘方的含义：$a^n$表示n个a相乘，其次牢记负数乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。解题时可以分两步走：第一步先根据指数的奇偶性确定最终结果的符号，第二步再计算底数绝对值的乘方，就能得到正确结果。
【解析】
(1) $(-10)^4$表示4个$-10$相乘，指数4是偶数，负数的偶次幂为正，因此：
$(-10)^4 = 10^4 = 10×10×10×10 = 10000$
(2) $(-8)^3$表示3个$-8$相乘，指数3是奇数，负数的奇次幂为负，因此：
$(-8)^3 = -8^3 = -(8×8×8) = -512$
(3) $(-\dfrac{1}{2})^5$表示5个$-\dfrac{1}{2}$相乘，指数5是奇数，负数的奇次幂为负，因此：
$(-\dfrac{1}{2})^5 = -(\dfrac{1}{2})^5 = -(\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}) = -\dfrac{1}{32}$
【答案】
(1)10000；(2)$-512$；(3)$-\dfrac{1}{32}$
【知识点】
1. 乘方的定义 2. 乘方的符号规律
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，解题的关键是先判断结果的符号，再计算绝对值的乘方，要注意避免因忽略符号或者运算顺序错误导致失分。
【难度系数】
0.9
解决有理数乘方计算问题，首先要明确乘方的含义：$a^n$表示n个a相乘，其次牢记负数乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。解题时可以分两步走：第一步先根据指数的奇偶性确定最终结果的符号，第二步再计算底数绝对值的乘方，就能得到正确结果。
【解析】
(1) $(-10)^4$表示4个$-10$相乘，指数4是偶数，负数的偶次幂为正，因此：
$(-10)^4 = 10^4 = 10×10×10×10 = 10000$
(2) $(-8)^3$表示3个$-8$相乘，指数3是奇数，负数的奇次幂为负，因此：
$(-8)^3 = -8^3 = -(8×8×8) = -512$
(3) $(-\dfrac{1}{2})^5$表示5个$-\dfrac{1}{2}$相乘，指数5是奇数，负数的奇次幂为负，因此：
$(-\dfrac{1}{2})^5 = -(\dfrac{1}{2})^5 = -(\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}) = -\dfrac{1}{32}$
【答案】
(1)10000；(2)$-512$；(3)$-\dfrac{1}{32}$
【知识点】
1. 乘方的定义 2. 乘方的符号规律
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，解题的关键是先判断结果的符号，再计算绝对值的乘方，要注意避免因忽略符号或者运算顺序错误导致失分。
【难度系数】
0.9
【例2】有一张厚度是0.2 mm的纸，理论上如果将它连续对折10次，那么对折后的纸的厚度为多少？
解：
【规律方法】
乘方在倍增问题中的应用
(1)从特殊到一般，发现规律，确定数学关系，以幂的形式表示出来.
(2)结合问题进行有关运算，当指数过大时，结果写成幂的形式.
解：
【规律方法】
乘方在倍增问题中的应用
(1)从特殊到一般，发现规律，确定数学关系，以幂的形式表示出来.
(2)结合问题进行有关运算，当指数过大时，结果写成幂的形式.
答案
解:对折后的纸的厚度为 204.8 mm.
解析
【分析】
解决本题首先要找到对折次数与纸张厚度的变化规律：每对折1次，纸张的厚度就变为原来的2倍，因此对折n次后，纸张的厚度是原来厚度的2ⁿ倍。我们先确定对折10次对应的倍数是2¹⁰，再用原厚度乘这个倍数就能得到最终厚度。
【解析】
已知纸张原厚度为0.2mm，每对折1次厚度翻倍，因此对折10次后，厚度是原厚度的2¹⁰倍。
第一步计算乘方：2¹⁰=1024
第二步计算总厚度：0.2×1024=204.8（mm）
【答案】
对折后的纸的厚度为 204.8 mm.
【知识点】
1. 有理数的乘方运算
2. 乘方的实际应用
【点评】
本题是乘方在倍增类问题中的典型应用，解题核心是先总结出对折n次后厚度和原厚度的幂次倍数关系，再结合乘法运算求解，掌握“每次翻倍对应2的幂次增长”的规律是解题关键。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要找到对折次数与纸张厚度的变化规律：每对折1次，纸张的厚度就变为原来的2倍，因此对折n次后，纸张的厚度是原来厚度的2ⁿ倍。我们先确定对折10次对应的倍数是2¹⁰，再用原厚度乘这个倍数就能得到最终厚度。
【解析】
已知纸张原厚度为0.2mm，每对折1次厚度翻倍，因此对折10次后，厚度是原厚度的2¹⁰倍。
第一步计算乘方：2¹⁰=1024
第二步计算总厚度：0.2×1024=204.8（mm）
【答案】
对折后的纸的厚度为 204.8 mm.
【知识点】
1. 有理数的乘方运算
2. 乘方的实际应用
【点评】
本题是乘方在倍增类问题中的典型应用，解题核心是先总结出对折n次后厚度和原厚度的幂次倍数关系，再结合乘法运算求解，掌握“每次翻倍对应2的幂次增长”的规律是解题关键。
【难度系数】
0.8
3.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细的面条.如图所示.
这样捏合到第七次后可拉出
这样捏合到第七次后可拉出
128
根面条.答案
128
解析
【分析】
解题时先从次数较少的情况入手梳理规律：捏合1次后面条数量是原来的2倍，捏合2次后是原来的2×2倍，每次捏合拉伸后面条数都会变为之前的2倍，因此第n次捏合后的面条数是2的n次方，将n=7代入计算即可得到结果。
【解析】
先列举前几次捏合后面条的数量，推导规律：
第1次捏合后，面条根数：$2 = 2^1$
第2次捏合后，面条根数：$2×2 = 2^2 = 4$
第3次捏合后，面条根数：$2×2×2 = 2^3 = 8$
……
可得规律：捏合n次后，面条的根数为$2^n$
当n=7时，面条根数为：$2^7 = 2×2×2×2×2×2×2 = 128$
【答案】
128
【知识点】
有理数的乘方；规律探究
【点评】
本题结合生活场景考查乘方的实际应用，解题核心是通过简单特例归纳出一般规律，再利用乘方运算求解，计算时需注意乘方的含义，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
解题时先从次数较少的情况入手梳理规律：捏合1次后面条数量是原来的2倍，捏合2次后是原来的2×2倍，每次捏合拉伸后面条数都会变为之前的2倍，因此第n次捏合后的面条数是2的n次方，将n=7代入计算即可得到结果。
【解析】
先列举前几次捏合后面条的数量，推导规律：
第1次捏合后，面条根数：$2 = 2^1$
第2次捏合后，面条根数：$2×2 = 2^2 = 4$
第3次捏合后，面条根数：$2×2×2 = 2^3 = 8$
……
可得规律：捏合n次后，面条的根数为$2^n$
当n=7时，面条根数为：$2^7 = 2×2×2×2×2×2×2 = 128$
【答案】
128
【知识点】
有理数的乘方；规律探究
【点评】
本题结合生活场景考查乘方的实际应用，解题核心是通过简单特例归纳出一般规律，再利用乘方运算求解，计算时需注意乘方的含义，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
1. $(-2)^3$的相反数是(
A.$-6$
B.$8$
C.$-\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{1}{8}$
B
)A.$-6$
B.$8$
C.$-\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{1}{8}$
答案
B
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，先根据有理数乘方的定义计算出$(-2)^3$的结果；第二步，再根据相反数的定义求出该结果的相反数，最后对应选项选出答案即可。要注意负数的奇数次幂的符号为负，避免计算时符号出错。
【解析】
首先计算$(-2)^3$的值：
根据乘方的意义，$(-2)^3$表示3个$-2$相乘，即：
$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$
再求$-8$的相反数：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此$-8$的相反数是$8$。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的乘方运算；相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查乘方的基本运算和相反数的识别，计算时要注意区分负数乘方的符号规律，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
解题时可分两步思考：第一步，先根据有理数乘方的定义计算出$(-2)^3$的结果；第二步，再根据相反数的定义求出该结果的相反数，最后对应选项选出答案即可。要注意负数的奇数次幂的符号为负，避免计算时符号出错。
【解析】
首先计算$(-2)^3$的值：
根据乘方的意义，$(-2)^3$表示3个$-2$相乘，即：
$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$
再求$-8$的相反数：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此$-8$的相反数是$8$。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的乘方运算；相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查乘方的基本运算和相反数的识别，计算时要注意区分负数乘方的符号规律，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
2. 下列算式中，运算结果为负数的是 (
A.$-(-3)$
B.$|-3|$
C.$-3^2$
D.$(-3)^2$
C
)A.$-(-3)$
B.$|-3|$
C.$-3^2$
D.$(-3)^2$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个算式的运算结果为负数，我们需要依次计算每个选项的结果，结合相反数、绝对值、有理数乘方的运算法则逐一判断即可。计算时要特别注意乘方运算中，负号在括号内和括号外的运算顺序区别：没有括号时，乘方运算优先级高于负号，先算乘方再添负号；有括号时，先算括号内的数的乘方。
【解析】
我们逐个计算各选项的结果：
A. $-(-3)$表示求$-3$的相反数，结果为$3$，是正数，不符合要求；
B. $|-3|$表示$-3$的绝对值，绝对值是非负数，结果为$3$，是正数，不符合要求；
C. $-3^2$先计算乘方$3^2=9$，再添加负号，结果为$-9$，是负数，符合要求；
D. $(-3)^2$表示2个$-3$相乘，即$(-3)×(-3)=9$，是正数，不符合要求。
综上，运算结果为负数的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值的性质，相反数的化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点是混淆$-3^2$和$(-3)^2$的运算顺序，做题时要明确乘方的运算优先级，区分负号是否在括号内，避免因运算顺序错误丢分。
【难度系数】
0.8
要判断哪个算式的运算结果为负数，我们需要依次计算每个选项的结果，结合相反数、绝对值、有理数乘方的运算法则逐一判断即可。计算时要特别注意乘方运算中，负号在括号内和括号外的运算顺序区别：没有括号时，乘方运算优先级高于负号，先算乘方再添负号；有括号时，先算括号内的数的乘方。
【解析】
我们逐个计算各选项的结果：
A. $-(-3)$表示求$-3$的相反数，结果为$3$，是正数，不符合要求；
B. $|-3|$表示$-3$的绝对值，绝对值是非负数，结果为$3$，是正数，不符合要求；
C. $-3^2$先计算乘方$3^2=9$，再添加负号，结果为$-9$，是负数，符合要求；
D. $(-3)^2$表示2个$-3$相乘，即$(-3)×(-3)=9$，是正数，不符合要求。
综上，运算结果为负数的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值的性质，相反数的化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点是混淆$-3^2$和$(-3)^2$的运算顺序，做题时要明确乘方的运算优先级，区分负号是否在括号内，避免因运算顺序错误丢分。
【难度系数】
0.8
3. 下列每对对数中,不相等的一对是 (
A.$(-2)^3$ 和 $-2^3$
B.$(-2)^2$ 和 $2^2$
C.$(-2)^4$ 和 $-2^4$
D.$|-2|^3$ 和 $|2|^3$
C
)A.$(-2)^3$ 和 $-2^3$
B.$(-2)^2$ 和 $2^2$
C.$(-2)^4$ 和 $-2^4$
D.$|-2|^3$ 和 $|2|^3$
答案
C
解析
【分析】
本题考查有理数乘方及绝对值的运算，解题思路是：首先明确乘方的定义，尤其要区分负数乘方带括号与不带括号的底数差异：带括号时底数是负数，不带括号时底数是正数，负号是乘方结果的符号；其次对每个选项的两个式子分别计算结果，再对比是否相等，最终选出不相等的选项即可。
【解析】
我们逐个计算每个选项的两个值：
A选项：$(-2)^3$表示3个$-2$相乘，即$(-2)×(-2)×(-2)=-8$；$-2^3$表示$2^3$的相反数，即$-(2×2×2)=-8$，二者相等，不符合题意。
B选项：$(-2)^2$表示2个$-2$相乘，即$(-2)×(-2)=4$；$2^2=2×2=4$，二者相等，不符合题意。
C选项：$(-2)^4$表示4个$-2$相乘，即$(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16$；$-2^4$表示$2^4$的相反数，即$-(2×2×2×2)=-16$，$16≠-16$，二者不相等，符合题意。
D选项：$|-2|^3=2^3=8$，$|2|^3=2^3=8$，二者相等，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值的性质，乘方符号判定
【点评】
本题属于乘方的基础题型，核心易错点是混淆带括号的负数乘方与不带括号的负号加正整数乘方的底数，做题时要先确定底数，再按照乘方法则计算，就能有效避免符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数乘方及绝对值的运算，解题思路是：首先明确乘方的定义，尤其要区分负数乘方带括号与不带括号的底数差异：带括号时底数是负数，不带括号时底数是正数，负号是乘方结果的符号；其次对每个选项的两个式子分别计算结果，再对比是否相等，最终选出不相等的选项即可。
【解析】
我们逐个计算每个选项的两个值：
A选项：$(-2)^3$表示3个$-2$相乘，即$(-2)×(-2)×(-2)=-8$；$-2^3$表示$2^3$的相反数，即$-(2×2×2)=-8$，二者相等，不符合题意。
B选项：$(-2)^2$表示2个$-2$相乘，即$(-2)×(-2)=4$；$2^2=2×2=4$，二者相等，不符合题意。
C选项：$(-2)^4$表示4个$-2$相乘，即$(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16$；$-2^4$表示$2^4$的相反数，即$-(2×2×2×2)=-16$，$16≠-16$，二者不相等，符合题意。
D选项：$|-2|^3=2^3=8$，$|2|^3=2^3=8$，二者相等，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值的性质，乘方符号判定
【点评】
本题属于乘方的基础题型，核心易错点是混淆带括号的负数乘方与不带括号的负号加正整数乘方的底数，做题时要先确定底数，再按照乘方法则计算，就能有效避免符号错误。
【难度系数】
0.8
4.已知$|x+1|+(y-2)^2=0$，则$(x+y)^{2024}=$
1
答案
1
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值和平方数的性质：二者都是非负数，即结果都大于或等于0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能成立，据此我们可以分别求出x和y的值，再代入待求式计算乘方即可。
【解析】
根据绝对值的性质可知$|x+1|≥0$，根据平方的性质可知$(y-2)^2≥0$。
已知$|x+1|+(y-2)^2=0$，因此可得：
$\begin{cases}x+1=0 \\y-2=0\end{cases}$
解得：$x=-1$，$y=2$。
将$x=-1$，$y=2$代入$(x+y)^{2024}$得：
$x+y=-1+2=1$，
所以$(x+y)^{2024}=1^{2024}=1$。
【答案】
1
【知识点】
绝对值的非负性；偶次幂的非负性；有理数的乘方
【点评】
本题是基础常考题，解题核心是掌握非负数的性质，即多个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，熟练掌握有理数的基本运算即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆绝对值和平方数的性质：二者都是非负数，即结果都大于或等于0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能成立，据此我们可以分别求出x和y的值，再代入待求式计算乘方即可。
【解析】
根据绝对值的性质可知$|x+1|≥0$，根据平方的性质可知$(y-2)^2≥0$。
已知$|x+1|+(y-2)^2=0$，因此可得：
$\begin{cases}x+1=0 \\y-2=0\end{cases}$
解得：$x=-1$，$y=2$。
将$x=-1$，$y=2$代入$(x+y)^{2024}$得：
$x+y=-1+2=1$，
所以$(x+y)^{2024}=1^{2024}=1$。
【答案】
1
【知识点】
绝对值的非负性；偶次幂的非负性；有理数的乘方
【点评】
本题是基础常考题，解题核心是掌握非负数的性质，即多个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，熟练掌握有理数的基本运算即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5.计算：
(1)$3^3$； (2)$(-2)^6$； (3)$(\frac{1}{6})^3$；
(4)$1.5^2$； (5)$(-0.2)^3$； (6)$(-1\frac{1}{2})^4$.
(1)$3^3$； (2)$(-2)^6$； (3)$(\frac{1}{6})^3$；
(4)$1.5^2$； (5)$(-0.2)^3$； (6)$(-1\frac{1}{2})^4$.
答案
解:(1)27. (2)64. (3)$\dfrac{1}{216}$. (4)2.25.
(5)$-0.008$. (6)$\dfrac{81}{16}$.
(5)$-0.008$. (6)$\dfrac{81}{16}$.
解析
【分析】
本题考查有理数的乘方运算，解题思路为：首先明确乘方的定义，$a^n$表示n个a相乘；再根据乘方符号法则判断结果符号：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，正数的任何次幂都是正数；遇到分数乘方时分子分母分别乘方，遇到带分数先化为假分数再计算，小数可直接相乘计算。
【解析】
(1) 根据乘方定义，$3^3$是3个3相乘：
$3^3=3×3×3=27$
(2) $(-2)^6$是6个-2相乘，6为偶数，结果为正：
$(-2)^6=2×2×2×2×2×2=64$
(3) 分数乘方分子分母分别乘方：
$(\frac{1}{6})^3=\frac{1^3}{6^3}=\frac{1}{216}$
(4) $1.5^2$是2个1.5相乘：
$1.5^2=1.5×1.5=2.25$
(5) $(-0.2)^3$是3个-0.2相乘，3为奇数，结果为负：
$(-0.2)^3=-(0.2×0.2×0.2)=-0.008$
(6) 先将带分数化为假分数，4为偶数，结果为正：
$-1\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$，$(-1\frac{1}{2})^4=(-\frac{3}{2})^4=\frac{3^4}{2^4}=\frac{81}{16}$
【答案】
(1)27；(2)64；(3)$\dfrac{1}{216}$；(4)2.25；(5)$-0.008$；(6)$\dfrac{81}{16}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 乘方符号法则
3. 带分数乘方计算
【点评】
本题是乘方的基础运算题，解题核心是先判断负数乘方的符号，带分数要先转化为假分数再计算，运算时注意仔细计算避免低级错误。
【难度系数】
0.85
本题考查有理数的乘方运算，解题思路为：首先明确乘方的定义，$a^n$表示n个a相乘；再根据乘方符号法则判断结果符号：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，正数的任何次幂都是正数；遇到分数乘方时分子分母分别乘方，遇到带分数先化为假分数再计算，小数可直接相乘计算。
【解析】
(1) 根据乘方定义，$3^3$是3个3相乘：
$3^3=3×3×3=27$
(2) $(-2)^6$是6个-2相乘，6为偶数，结果为正：
$(-2)^6=2×2×2×2×2×2=64$
(3) 分数乘方分子分母分别乘方：
$(\frac{1}{6})^3=\frac{1^3}{6^3}=\frac{1}{216}$
(4) $1.5^2$是2个1.5相乘：
$1.5^2=1.5×1.5=2.25$
(5) $(-0.2)^3$是3个-0.2相乘，3为奇数，结果为负：
$(-0.2)^3=-(0.2×0.2×0.2)=-0.008$
(6) 先将带分数化为假分数，4为偶数，结果为正：
$-1\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$，$(-1\frac{1}{2})^4=(-\frac{3}{2})^4=\frac{3^4}{2^4}=\frac{81}{16}$
【答案】
(1)27；(2)64；(3)$\dfrac{1}{216}$；(4)2.25；(5)$-0.008$；(6)$\dfrac{81}{16}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 乘方符号法则
3. 带分数乘方计算
【点评】
本题是乘方的基础运算题，解题核心是先判断负数乘方的符号，带分数要先转化为假分数再计算，运算时注意仔细计算避免低级错误。
【难度系数】
0.85
