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学习任务一 有理数乘方的意义
从旧知到新知
|情境创设|
已知下面两个式子：
(1)$2×2×2×2×2$；
(2)$(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})$。
问题1:请计算上面的两个式子的结果。
问题2:请你把上面的式子用简单的方法表示出来。
从旧知到新知
|情境创设|
已知下面两个式子：
(1)$2×2×2×2×2$；
(2)$(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})$。
问题1:请计算上面的两个式子的结果。
问题2:请你把上面的式子用简单的方法表示出来。
答案
问题1:(1)32. (2)$-\dfrac{1}{243}$.
问题2:(1)$2×2×2×2×2=2^5$.
(2)$(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})=(-\dfrac{1}{3})^5$.
问题2:(1)$2×2×2×2×2=2^5$.
(2)$(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})=(-\dfrac{1}{3})^5$.
解析
【分析】
解题时分为两个问题逐步思考：1. 计算乘法算式时，先按有理数乘法法则判断符号，再计算绝对值的乘积：多个非零有理数相乘，负因数个数为奇数时结果为负，负因数个数为偶数时结果为正，再把所有因数的绝对值相乘得到数值部分。2. 简化书写时，回忆乘方的定义：求n个相同因数a的乘积的运算叫做乘方，结果记为$a^n$，其中a是相同因数叫做底数，n是因数的个数叫做指数，注意如果相同因数是负数或者分数，需要给因数整体加括号再写指数。
【解析】
问题1解答：
(1) 计算$2×2×2×2×2$：
逐步计算得：$2×2=4$，$4×2=8$，$8×2=16$，$16×2=32$。
(2) 计算$(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})$：
首先判断符号：算式里共有5个负因数，个数为奇数，因此结果为负；
再计算绝对值的乘积：$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}$；
因此原式结果为$-\frac{1}{243}$。
问题2解答：
根据乘方的定义，n个相同因数a相乘记作$a^n$：
(1) 式子是5个相同因数2相乘，因此可简写为$2^5$，即$2×2×2×2×2=2^5$；
(2) 式子是5个相同因数$-\frac{1}{3}$相乘，因数为负数需加括号，因此可简写为$(-\frac{1}{3})^5$，即$(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^5$。
【答案】
问题1:(1)32. (2)$-\dfrac{1}{243}$.
问题2:(1)$2×2×2×2×2=2^5$.
(2)$(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})=(-\dfrac{1}{3})^5$.
【知识点】
有理数乘法运算；乘方的意义
【点评】
本题是乘方概念的基础考查题，既巩固了有理数乘法的符号判断和计算方法，又帮助理解乘方是相同因数乘法的简便书写形式，解题时要注意负数、分数作为底数时必须添加括号，避免书写错误，是后续学习有理数混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
解题时分为两个问题逐步思考：1. 计算乘法算式时，先按有理数乘法法则判断符号，再计算绝对值的乘积：多个非零有理数相乘，负因数个数为奇数时结果为负，负因数个数为偶数时结果为正，再把所有因数的绝对值相乘得到数值部分。2. 简化书写时，回忆乘方的定义：求n个相同因数a的乘积的运算叫做乘方，结果记为$a^n$，其中a是相同因数叫做底数，n是因数的个数叫做指数，注意如果相同因数是负数或者分数，需要给因数整体加括号再写指数。
【解析】
问题1解答：
(1) 计算$2×2×2×2×2$：
逐步计算得：$2×2=4$，$4×2=8$，$8×2=16$，$16×2=32$。
(2) 计算$(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})$：
首先判断符号：算式里共有5个负因数，个数为奇数，因此结果为负；
再计算绝对值的乘积：$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}$；
因此原式结果为$-\frac{1}{243}$。
问题2解答：
根据乘方的定义，n个相同因数a相乘记作$a^n$：
(1) 式子是5个相同因数2相乘，因此可简写为$2^5$，即$2×2×2×2×2=2^5$；
(2) 式子是5个相同因数$-\frac{1}{3}$相乘，因数为负数需加括号，因此可简写为$(-\frac{1}{3})^5$，即$(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^5$。
【答案】
问题1:(1)32. (2)$-\dfrac{1}{243}$.
问题2:(1)$2×2×2×2×2=2^5$.
(2)$(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})=(-\dfrac{1}{3})^5$.
【知识点】
有理数乘法运算；乘方的意义
【点评】
本题是乘方概念的基础考查题，既巩固了有理数乘法的符号判断和计算方法，又帮助理解乘方是相同因数乘法的简便书写形式，解题时要注意负数、分数作为底数时必须添加括号，避免书写错误，是后续学习有理数混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
知识梳理
1. 一般地，$n$个相同的乘数$a$相乘，即$\underbrace{a · a · \dots · a}_{n个}$，记作
2. 乘方的概念
求$n$个相同乘数的
1. 一般地，$n$个相同的乘数$a$相乘，即$\underbrace{a · a · \dots · a}_{n个}$，记作
$a^n$
，读作“$a$的$n$次方
”。2. 乘方的概念
求$n$个相同乘数的
积
的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂
。在$a^n$中，$a$叫作底数
，$n$叫作指数
，当$a^n$看作$a$的$n$次方的结果时，也可读作“$a$的$n$次幂
”。答案
1.$a^n$ $a$的$n$次方
2.积 幂 底数 指数 $a$的$n$次幂
2.积 幂 底数 指数 $a$的$n$次幂
解析
【分析】
本题考查有理数乘方的基础概念，属于识记类题目，解题时只需要回忆乘方的相关定义即可作答。第1题考查n个相同因数相乘的记法和读法，对应乘方的书写规定；第2题考查乘方的运算定义、结果名称、各部分称谓以及另一种读法，均为基础定义内容，牢记概念就能准确填写。
【解析】
1. 根据乘方的记法规定，n个相同的乘数a相乘，记作$a^n$，读作“a的n次方”；
2. 根据乘方的概念：求n个相同乘数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在$a^n$中，a叫作底数，n叫作指数，当$a^n$看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”。
【答案】
1.$a^n$ $a$的$n$次方
2.积 幂 底数 指数 $a$的$n$次幂
【知识点】
乘方的定义，乘方的记法与读法，乘方各部分名称
【点评】
本题是乘方相关的基础概念题，重点考查对乘方基础定义的识记掌握情况，是学习乘方运算的必备基础，需要熟练记忆相关概念。
【难度系数】
0.9
本题考查有理数乘方的基础概念，属于识记类题目，解题时只需要回忆乘方的相关定义即可作答。第1题考查n个相同因数相乘的记法和读法，对应乘方的书写规定；第2题考查乘方的运算定义、结果名称、各部分称谓以及另一种读法，均为基础定义内容，牢记概念就能准确填写。
【解析】
1. 根据乘方的记法规定，n个相同的乘数a相乘，记作$a^n$，读作“a的n次方”；
2. 根据乘方的概念：求n个相同乘数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在$a^n$中，a叫作底数，n叫作指数，当$a^n$看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”。
【答案】
1.$a^n$ $a$的$n$次方
2.积 幂 底数 指数 $a$的$n$次幂
【知识点】
乘方的定义，乘方的记法与读法，乘方各部分名称
【点评】
本题是乘方相关的基础概念题，重点考查对乘方基础定义的识记掌握情况，是学习乘方运算的必备基础，需要熟练记忆相关概念。
【难度系数】
0.9
学习任务二 有理数乘方运算的符号法则
1.负数的奇次幂是
2.正数的任何正整数次幂都是
1.负数的奇次幂是
负
数，负数的偶次幂是正
数.2.正数的任何正整数次幂都是
正
数，0的任何正整数次幂都是0
.答案
1.负 正 2.正 0
解析
【分析】
解题时可以结合乘方的本质（求几个相同因数的积的运算），联系有理数乘法的符号规律推导：1.判断负数乘方的符号时，看幂的指数是奇数还是偶数：奇数个负数相乘，积为负；偶数个负数相乘，积为正。2.正数相乘无论多少次结果都为正，0和任何数相乘都得0，所以多个0相乘的结果还是0。
【解析】
1. 对于负数的乘方：奇次幂对应奇数个负数相乘，根据有理数乘法符号规律，负因数个数为奇数时积为负数，所以负数的奇次幂是负数；偶次幂对应偶数个负数相乘，负因数个数为偶数时积为正数，所以负数的偶次幂是正数。
2. 对于正数的乘方：任意个正数相乘的结果都是正数，因此正数的任何正整数次幂都是正数；0的正整数次幂对应若干个0相乘，结果始终为0，因此0的任何正整数次幂都是0。
【答案】
1.负 正 2.正 0
【知识点】
1.有理数乘方的符号法则 2.有理数乘法运算规律
【点评】
本题是对有理数乘方基础性质的考查，内容偏识记，理解乘方和乘法的关联就能快速掌握该规律，是后续有理数混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
解题时可以结合乘方的本质（求几个相同因数的积的运算），联系有理数乘法的符号规律推导：1.判断负数乘方的符号时，看幂的指数是奇数还是偶数：奇数个负数相乘，积为负；偶数个负数相乘，积为正。2.正数相乘无论多少次结果都为正，0和任何数相乘都得0，所以多个0相乘的结果还是0。
【解析】
1. 对于负数的乘方：奇次幂对应奇数个负数相乘，根据有理数乘法符号规律，负因数个数为奇数时积为负数，所以负数的奇次幂是负数；偶次幂对应偶数个负数相乘，负因数个数为偶数时积为正数，所以负数的偶次幂是正数。
2. 对于正数的乘方：任意个正数相乘的结果都是正数，因此正数的任何正整数次幂都是正数；0的正整数次幂对应若干个0相乘，结果始终为0，因此0的任何正整数次幂都是0。
【答案】
1.负 正 2.正 0
【知识点】
1.有理数乘方的符号法则 2.有理数乘法运算规律
【点评】
本题是对有理数乘方基础性质的考查，内容偏识记，理解乘方和乘法的关联就能快速掌握该规律，是后续有理数混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
【例1】计算:(1)$(-5)^4$；(2)$(1\dfrac{1}{2})^3$；(3)$-(-\dfrac{2}{7})^3$；(4)$(-1\dfrac{4}{5})^3$。
解：
解：
答案
解:(1)625. (2)$\dfrac{27}{8}$. (3)$\dfrac{8}{343}$.
(4)$-\dfrac{729}{125}$.
(4)$-\dfrac{729}{125}$.
解析
【分析】
解决有理数乘方运算题，首先要明确乘方的意义：$a^n$表示n个a相乘；其次要牢记乘方的符号法则：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，正数的任何次幂都是正数；遇到带分数作底数时，要先把带分数化成假分数，再进行乘方运算；如果乘方外有符号，要先算乘方的结果，再处理外层符号。
具体到每个小题：(1)是负数的4次幂，4是偶数，结果为正，只需计算5的4次方；(2)先把带分数化为假分数，再将分子、分母分别乘方；(3)先计算内层$(-\dfrac{2}{7})$的3次幂，3是奇数，结果为负，再结合外层的负号得到最终符号；(4)先把带分数化为假分数，再根据奇次幂判断符号，最后计算分子分母的乘方结果。
【解析】
(1) 根据乘方的意义，$(-5)^4$表示4个-5相乘，结合负数偶次幂为正的法则：
$(-5)^4 = 5^4 = 5×5×5×5 = 625$
(2) 先把带分数$1\dfrac{1}{2}$化为假分数$\dfrac{3}{2}$，再计算乘方：
$(1\dfrac{1}{2})^3 = (\dfrac{3}{2})^3 = \dfrac{3^3}{2^3} = \dfrac{3×3×3}{2×2×2} = \dfrac{27}{8}$
(3) 先计算内层乘方，再处理外层负号：
首先计算$(-\dfrac{2}{7})^3 = \dfrac{(-2)^3}{7^3} = -\dfrac{8}{343}$，
则$-(-\dfrac{2}{7})^3 = -(-\dfrac{8}{343}) = \dfrac{8}{343}$
(4) 先把带分数$-1\dfrac{4}{5}$化为假分数$-\dfrac{9}{5}$，再计算奇次幂：
$(-1\dfrac{4}{5})^3 = (-\dfrac{9}{5})^3 = \dfrac{(-9)^3}{5^3} = -\dfrac{729}{125}$
【答案】
(1)$625$；(2)$\dfrac{27}{8}$；(3)$\dfrac{8}{343}$；(4)$-\dfrac{729}{125}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 带分数与假分数互化
3. 乘方符号判定
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，核心考查乘方的意义、符号判断规则，以及带分数的预处理要求，解题时要注意先将带分数转化为假分数，再判断乘方结果的符号，最后计算数值，避免出现符号错误、带分数直接乘方的常见失误。
【难度系数】
0.8
解决有理数乘方运算题，首先要明确乘方的意义：$a^n$表示n个a相乘；其次要牢记乘方的符号法则：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，正数的任何次幂都是正数；遇到带分数作底数时，要先把带分数化成假分数，再进行乘方运算；如果乘方外有符号，要先算乘方的结果，再处理外层符号。
具体到每个小题：(1)是负数的4次幂，4是偶数，结果为正，只需计算5的4次方；(2)先把带分数化为假分数，再将分子、分母分别乘方；(3)先计算内层$(-\dfrac{2}{7})$的3次幂，3是奇数，结果为负，再结合外层的负号得到最终符号；(4)先把带分数化为假分数，再根据奇次幂判断符号，最后计算分子分母的乘方结果。
【解析】
(1) 根据乘方的意义，$(-5)^4$表示4个-5相乘，结合负数偶次幂为正的法则：
$(-5)^4 = 5^4 = 5×5×5×5 = 625$
(2) 先把带分数$1\dfrac{1}{2}$化为假分数$\dfrac{3}{2}$，再计算乘方：
$(1\dfrac{1}{2})^3 = (\dfrac{3}{2})^3 = \dfrac{3^3}{2^3} = \dfrac{3×3×3}{2×2×2} = \dfrac{27}{8}$
(3) 先计算内层乘方，再处理外层负号：
首先计算$(-\dfrac{2}{7})^3 = \dfrac{(-2)^3}{7^3} = -\dfrac{8}{343}$，
则$-(-\dfrac{2}{7})^3 = -(-\dfrac{8}{343}) = \dfrac{8}{343}$
(4) 先把带分数$-1\dfrac{4}{5}$化为假分数$-\dfrac{9}{5}$，再计算奇次幂：
$(-1\dfrac{4}{5})^3 = (-\dfrac{9}{5})^3 = \dfrac{(-9)^3}{5^3} = -\dfrac{729}{125}$
【答案】
(1)$625$；(2)$\dfrac{27}{8}$；(3)$\dfrac{8}{343}$；(4)$-\dfrac{729}{125}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 带分数与假分数互化
3. 乘方符号判定
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，核心考查乘方的意义、符号判断规则，以及带分数的预处理要求，解题时要注意先将带分数转化为假分数，再判断乘方结果的符号，最后计算数值，避免出现符号错误、带分数直接乘方的常见失误。
【难度系数】
0.8
1.如果a的倒数是－1，那么$a^{2024}$等于
1
答案
1
解析
【分析】
解题时先根据倒数的定义求出a的取值，再结合有理数乘方的符号规律计算$a^{2024}$的值即可。思考路径：①回忆倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，据此列等式求出a；②判断指数2024的奇偶性，根据负数的偶次幂为正的规则计算最终结果。
【解析】
解：
∵a的倒数是-1，根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1，
∴$a×(-1)=1$，解得$a=-1$。
∴$a^{2024}=(-1)^{2024}$，
∵2024是偶数，负数的偶次幂是正数，
∴$(-1)^{2024}=1$。
【答案】
1
【知识点】
倒数的概念；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对核心概念的掌握情况，熟练掌握倒数定义和乘方的符号规则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时先根据倒数的定义求出a的取值，再结合有理数乘方的符号规律计算$a^{2024}$的值即可。思考路径：①回忆倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，据此列等式求出a；②判断指数2024的奇偶性，根据负数的偶次幂为正的规则计算最终结果。
【解析】
解：
∵a的倒数是-1，根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1，
∴$a×(-1)=1$，解得$a=-1$。
∴$a^{2024}=(-1)^{2024}$，
∵2024是偶数，负数的偶次幂是正数，
∴$(-1)^{2024}=1$。
【答案】
1
【知识点】
倒数的概念；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对核心概念的掌握情况，熟练掌握倒数定义和乘方的符号规则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
