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例3 小莹和小亮计算 $15 ÷ 5 × (-\frac{1}{5}) - 6 × (\frac{2}{3} - \frac{3}{2})$ 的过程如下。
（1）小莹和小亮的解题过程都出现了错误，小莹是第
（2）请你写出正确的计算步骤。
思路导引
细观算式，弄清相关的运算顺序和可能用到的运算律，同时，注意去括号时的符号变化。
（1）小莹和小亮的解题过程都出现了错误，小莹是第
一
步开始出现错误，小亮是第二
步开始出现错误；（2）请你写出正确的计算步骤。
思路导引
细观算式，弄清相关的运算顺序和可能用到的运算律，同时，注意去括号时的符号变化。
答案
(1)一 二
(2)$15÷5×(-\dfrac{1}{5})-6×(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{2})$
$=3×(-\dfrac{1}{5})-4+9$
$=-\dfrac{3}{5}+5=\dfrac{22}{5}$。
(2)$15÷5×(-\dfrac{1}{5})-6×(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{2})$
$=3×(-\dfrac{1}{5})-4+9$
$=-\dfrac{3}{5}+5=\dfrac{22}{5}$。
解析
【分析】
第（1）问分析：有理数乘除是同级运算，需从左到右依次计算，小莹第一步先计算了$5×(-\frac{1}{5})$，违背了运算顺序，因此第一步就出错；小亮第一步按从左到右计算$15÷5=3$是正确的，第二步计算$-6×(\frac{2}{3}-\frac{3}{2})$时，根据乘法分配律，$-6×(-\frac{3}{2})$结果应为$+9$，小亮错写为$-9$，因此第二步开始出错。
第（2）问分析：正确计算时先按从左到右顺序计算乘除部分$15÷5×(-\frac{1}{5})$，再用乘法分配律计算$-6×(\frac{2}{3}-\frac{3}{2})$，注意去括号时的符号变化，最后合并计算结果即可。
【解析】
（1）小莹运算顺序错误，从第一步开始出错；小亮分配律应用时符号计算错误，从第二步开始出错。
（2）正确计算步骤：
$\begin{aligned}&15÷5×(-\dfrac{1}{5})-6×(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{2})\\=&3×(-\dfrac{1}{5}) - 6×\dfrac{2}{3} + 6×\dfrac{3}{2}\\=&-\dfrac{3}{5} - 4 + 9\\=&-\dfrac{3}{5} + 5\\=&\dfrac{22}{5}\end{aligned}$
【答案】
(1) 一；二
(2) 计算结果为$\dfrac{22}{5}$，步骤见解析。
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律；去括号法则
【点评】
本题核心考查有理数混合运算的规则，易错点为忽略同级运算从左到右的顺序，以及运用乘法分配律时符号计算错误，计算时要严格遵循运算规则，重点核对符号正误。
【难度系数】
0.7
第（1）问分析：有理数乘除是同级运算，需从左到右依次计算，小莹第一步先计算了$5×(-\frac{1}{5})$，违背了运算顺序，因此第一步就出错；小亮第一步按从左到右计算$15÷5=3$是正确的，第二步计算$-6×(\frac{2}{3}-\frac{3}{2})$时，根据乘法分配律，$-6×(-\frac{3}{2})$结果应为$+9$，小亮错写为$-9$，因此第二步开始出错。
第（2）问分析：正确计算时先按从左到右顺序计算乘除部分$15÷5×(-\frac{1}{5})$，再用乘法分配律计算$-6×(\frac{2}{3}-\frac{3}{2})$，注意去括号时的符号变化，最后合并计算结果即可。
【解析】
（1）小莹运算顺序错误，从第一步开始出错；小亮分配律应用时符号计算错误，从第二步开始出错。
（2）正确计算步骤：
$\begin{aligned}&15÷5×(-\dfrac{1}{5})-6×(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{2})\\=&3×(-\dfrac{1}{5}) - 6×\dfrac{2}{3} + 6×\dfrac{3}{2}\\=&-\dfrac{3}{5} - 4 + 9\\=&-\dfrac{3}{5} + 5\\=&\dfrac{22}{5}\end{aligned}$
【答案】
(1) 一；二
(2) 计算结果为$\dfrac{22}{5}$，步骤见解析。
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律；去括号法则
【点评】
本题核心考查有理数混合运算的规则，易错点为忽略同级运算从左到右的顺序，以及运用乘法分配律时符号计算错误，计算时要严格遵循运算规则，重点核对符号正误。
【难度系数】
0.7
1. 在计算$(+\dfrac{1}{2})+(-\dfrac{1}{3})$时，按照有理数加法法则，需转化成（
A.$+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})$
B.$+(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3})$
C.$-(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})$
D.$-(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3})$
A
）。A.$+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})$
B.$+(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3})$
C.$-(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})$
D.$-(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3})$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查异号有理数的加法运算，思路分为两步：第一步先判断两个加数的符号关系，确定属于异号两数相加的类型；第二步回忆异号两数相加的运算法则：先比较两个加数的绝对值大小，取绝对值更大的加数的符号作为结果的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值。本题中$+\frac{1}{2}$的绝对值大于$-\frac{1}{3}$的绝对值，所以结果取正号，再用$\frac{1}{2}$减$\frac{1}{3}$，即可得到对应的转化形式。
【解析】
根据有理数加法中异号两数相加的运算规则：
1. 先判断加数符号：$(+\frac{1}{2})$和$(-\frac{1}{3})$是异号两个数；
2. 比较绝对值大小：$\left|+\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$，$\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$，因为$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，所以运算结果取绝对值较大的数的符号，即正号；
3. 用较大的绝对值减去较小的绝对值：$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；
因此$(+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3})=+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数加法法则
【点评】
本题侧重考查异号有理数加法的运算规则应用，掌握“先定符号，再算绝对值差”的运算步骤即可快速解答，是有理数运算中的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确本题考查异号有理数的加法运算，思路分为两步：第一步先判断两个加数的符号关系，确定属于异号两数相加的类型；第二步回忆异号两数相加的运算法则：先比较两个加数的绝对值大小，取绝对值更大的加数的符号作为结果的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值。本题中$+\frac{1}{2}$的绝对值大于$-\frac{1}{3}$的绝对值，所以结果取正号，再用$\frac{1}{2}$减$\frac{1}{3}$，即可得到对应的转化形式。
【解析】
根据有理数加法中异号两数相加的运算规则：
1. 先判断加数符号：$(+\frac{1}{2})$和$(-\frac{1}{3})$是异号两个数；
2. 比较绝对值大小：$\left|+\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$，$\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$，因为$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，所以运算结果取绝对值较大的数的符号，即正号；
3. 用较大的绝对值减去较小的绝对值：$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；
因此$(+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3})=+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数加法法则
【点评】
本题侧重考查异号有理数加法的运算规则应用，掌握“先定符号，再算绝对值差”的运算步骤即可快速解答，是有理数运算中的基础题型。
【难度系数】
0.9
2.下列结论正确的是(
A.两个有理数相加，和的绝对值一定等于它们绝对值的和
B.两个负数相加，和的绝对值等于它们绝对值的差
C.正数加负数，和一定为正数
D.零减去一个负数一定得正数
D
)。A.两个有理数相加，和的绝对值一定等于它们绝对值的和
B.两个负数相加，和的绝对值等于它们绝对值的差
C.正数加负数，和一定为正数
D.零减去一个负数一定得正数
答案
D
解析
【分析】
这是一道考查有理数加减法和绝对值性质的选择题，解题时采用逐个选项验证的思路：结合有理数加减运算法则对每个选项进行判断，错误选项可通过举简单反例快速排除，正确选项要结合法则推导确认，确保判断准确。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：当两个有理数异号时，和的绝对值不等于绝对值的和，例如$3+(-2)=1$，$|1|=1$，而$|3|+|-2|=5$，二者不相等，因此A错误。
B选项：两个负数相加，和仍为负数，和的绝对值等于两个负数绝对值的和，例如$(-1)+(-2)=-3$，$|-3|=3$，而$|-2|-|-1|=1$，二者不相等，因此B错误。
C选项：正数加负数的和的符号由两个数的绝对值大小决定，和可能为正、负或0，例如$1+(-3)=-2$，和为负数，因此C错误。
D选项：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，负数的相反数是正数，0加正数的结果为正数，例如$0-(-2)=0+2=2$，结果为正数，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数加减法运算，绝对值的性质，正负数判断
【点评】
本题考查有理数加减运算的基础规则，解题时可通过举反例的方法快速排除错误选项，熟练掌握运算法则是解决这类基础题的核心。
【难度系数】
0.8
这是一道考查有理数加减法和绝对值性质的选择题，解题时采用逐个选项验证的思路：结合有理数加减运算法则对每个选项进行判断，错误选项可通过举简单反例快速排除，正确选项要结合法则推导确认，确保判断准确。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：当两个有理数异号时，和的绝对值不等于绝对值的和，例如$3+(-2)=1$，$|1|=1$，而$|3|+|-2|=5$，二者不相等，因此A错误。
B选项：两个负数相加，和仍为负数，和的绝对值等于两个负数绝对值的和，例如$(-1)+(-2)=-3$，$|-3|=3$，而$|-2|-|-1|=1$，二者不相等，因此B错误。
C选项：正数加负数的和的符号由两个数的绝对值大小决定，和可能为正、负或0，例如$1+(-3)=-2$，和为负数，因此C错误。
D选项：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，负数的相反数是正数，0加正数的结果为正数，例如$0-(-2)=0+2=2$，结果为正数，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数加减法运算，绝对值的性质，正负数判断
【点评】
本题考查有理数加减运算的基础规则，解题时可通过举反例的方法快速排除错误选项，熟练掌握运算法则是解决这类基础题的核心。
【难度系数】
0.8
3.苏步青是我国著名的数学家，国际上将一颗距地球218 000 000千米的小行星命名为“苏步青星”，将218 000 000用科学记数法表示为$a×10^{n}$，n的值为
8
。答案
8
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆科学记数法的定义：把大于10的数表示为$a×10^n$的形式时，规定$1≤ a＜10$，$n$为正整数。确定$n$有两种常用方法：一是数原数的整数位数，$n$等于原数的整数位数减1；二是看把原数转化为$a$时小数点向左移动的位数，移动几位$n$就等于几，用两种方法都能算出本题的$n$值。
【解析】
解：原数为218000000，
方法1：数原数的整数位数，218000000共有9位整数，根据科学记数法规则，$n=9-1=8$；
方法2：将218000000转化为符合$1≤ a＜10$要求的$a=2.18$，过程中小数点向左移动了8位，因此$n=8$。
【答案】
8
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于科学记数法的基础考查题，熟练掌握科学记数法中$n$的确定方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆科学记数法的定义：把大于10的数表示为$a×10^n$的形式时，规定$1≤ a＜10$，$n$为正整数。确定$n$有两种常用方法：一是数原数的整数位数，$n$等于原数的整数位数减1；二是看把原数转化为$a$时小数点向左移动的位数，移动几位$n$就等于几，用两种方法都能算出本题的$n$值。
【解析】
解：原数为218000000，
方法1：数原数的整数位数，218000000共有9位整数，根据科学记数法规则，$n=9-1=8$；
方法2：将218000000转化为符合$1≤ a＜10$要求的$a=2.18$，过程中小数点向左移动了8位，因此$n=8$。
【答案】
8
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于科学记数法的基础考查题，熟练掌握科学记数法中$n$的确定方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
4.若$|a + 2| + (b - 1)^2 = 0$，则$(a + b)^{2026} = $
1
。答案
1
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值和偶次乘方的性质：绝对值和任意数的平方都是非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0。据此我们可以先列出关于a、b的一元一次方程，求出a、b的值，再代入代数式计算乘方即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值具有非负性，任意数的平方也具有非负性，即$|a+2|≥0$，$(b-1)^2≥0$，且$|a + 2| + (b - 1)^2 = 0$
∴ 可得：$\begin{cases}a+2=0\\b-1=0\end{cases}$
解得：$a=-2$，$b=1$
将$a=-2$，$b=1$代入$(a+b)^{2026}$得：
$a+b=-2+1=-1$
∴ $(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质、绝对值的性质、有理数乘方运算
【点评】
本题是基础常考题，核心考点是非负数的性质应用，解题的关键是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”，再结合乘方的运算规则计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆绝对值和偶次乘方的性质：绝对值和任意数的平方都是非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0。据此我们可以先列出关于a、b的一元一次方程，求出a、b的值，再代入代数式计算乘方即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值具有非负性，任意数的平方也具有非负性，即$|a+2|≥0$，$(b-1)^2≥0$，且$|a + 2| + (b - 1)^2 = 0$
∴ 可得：$\begin{cases}a+2=0\\b-1=0\end{cases}$
解得：$a=-2$，$b=1$
将$a=-2$，$b=1$代入$(a+b)^{2026}$得：
$a+b=-2+1=-1$
∴ $(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质、绝对值的性质、有理数乘方运算
【点评】
本题是基础常考题，核心考点是非负数的性质应用，解题的关键是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”，再结合乘方的运算规则计算即可。
【难度系数】
0.8
5.设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则$a - b + c =$
2
。答案
2
解析
【分析】
解题时首先需要根据题干对a、b、c的定义，分别确定三个数的取值：首先正整数从1开始计数，因此最小的正整数为1；负整数从-1开始往更小的数排列，因此最大的负整数为-1；有理数的绝对值是非负数，最小的非负数为0，因此绝对值最小的有理数是0。再将三个数的取值代入代数式，按照有理数加减法的规则计算即可得到结果。
【解析】
步骤1：确定各字母的值
∵ 最小的正整数是1，
∴ a=1；
∵ 最大的负整数是-1，
∴ b=-1；
∵ 绝对值最小的有理数是0，
∴ c=0。
步骤2：代入代数式计算
将a=1、b=-1、c=0代入$a - b + c$得：
$a - b + c = 1 - (-1) + 0 = 1 + 1 + 0 = 2$
【答案】
2
【知识点】
有理数的分类；绝对值的性质；有理数加减运算
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查对特殊有理数的认识和有理数加减运算的掌握，解题的关键是牢记几类特殊有理数的取值，计算减去负数时注意要转化为加上该负数的相反数，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要根据题干对a、b、c的定义，分别确定三个数的取值：首先正整数从1开始计数，因此最小的正整数为1；负整数从-1开始往更小的数排列，因此最大的负整数为-1；有理数的绝对值是非负数，最小的非负数为0，因此绝对值最小的有理数是0。再将三个数的取值代入代数式，按照有理数加减法的规则计算即可得到结果。
【解析】
步骤1：确定各字母的值
∵ 最小的正整数是1，
∴ a=1；
∵ 最大的负整数是-1，
∴ b=-1；
∵ 绝对值最小的有理数是0，
∴ c=0。
步骤2：代入代数式计算
将a=1、b=-1、c=0代入$a - b + c$得：
$a - b + c = 1 - (-1) + 0 = 1 + 1 + 0 = 2$
【答案】
2
【知识点】
有理数的分类；绝对值的性质；有理数加减运算
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查对特殊有理数的认识和有理数加减运算的掌握，解题的关键是牢记几类特殊有理数的取值，计算减去负数时注意要转化为加上该负数的相反数，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
6.计算：
(1)$12 - (-5) - (-18) + (-5);$
(2)$-6.5 + \frac{17}{4} + 8.75 - \frac{7}{2};$
(3)$( \frac{5}{12} + \frac{2}{3} - \frac{3}{4} ) × (-12);$
(4)$3^2 - 50 ÷ 2^2 × ( -\frac{1}{10} ) - 1。$
(1)$12 - (-5) - (-18) + (-5);$
(2)$-6.5 + \frac{17}{4} + 8.75 - \frac{7}{2};$
(3)$( \frac{5}{12} + \frac{2}{3} - \frac{3}{4} ) × (-12);$
(4)$3^2 - 50 ÷ 2^2 × ( -\frac{1}{10} ) - 1。$
答案
(1)30 (2)3 (3)-4 (4)9.25
解析
【分析】
这四道题均为有理数混合运算基础题，解题思路可按以下方向梳理：1.去括号遵循“负负得正、正负得负”的规则，可先将所有减法统一为加法简化计算；2.运算顺序严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减，同级运算从左到右，有括号先算括号内”的要求；3.能使用加法交换律、结合律、乘法分配律的题目优先用运算律，可避免复杂通分或计算，降低出错率。具体各题：(1)先去括号再凑整计算；(2)统一数的形式（分数/小数）后用加法运算律凑整；(3)用乘法分配律展开计算，无需通分；(4)按运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，注意符号判断。
【解析】
(1) 先去括号，再分组合并计算：
原式$=12 + 5 + 18 - 5$
$=(12 + 18) + (5 - 5)$
$=30 + 0$
$=30$
(2) 先将分数化为小数，再用加法运算律分组计算：
$\frac{17}{4}=4.25$，$\frac{7}{2}=3.5$
原式$=-6.5 + 4.25 + 8.75 - 3.5$
$=(-6.5 - 3.5) + (4.25 + 8.75)$
$=-10 + 13$
$=3$
(3) 利用乘法分配律展开计算：
原式$=\frac{5}{12}×(-12) + \frac{2}{3}×(-12) - \frac{3}{4}×(-12)$
$=-5 - 8 + 9$
$=-4$
(4) 按运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减：
原式$=9 - 50 ÷ 4 × (-\frac{1}{10}) - 1$
$=9 - 12.5×(-\frac{1}{10}) - 1$
$=9 + 1.25 - 1$
$=9.25$
【答案】
(1)$30$；(2)$3$；(3)$-4$；(4)$9.25$
【知识点】
有理数混合运算，运算律的应用，去括号法则
【点评】
本组题目是有理数运算的常规基础题型，重点考查运算法则的掌握程度和运算律的灵活运用能力，解题时需格外注意符号判断，合理使用运算律可有效提升计算速度和正确率。
【难度系数】
0.7
这四道题均为有理数混合运算基础题，解题思路可按以下方向梳理：1.去括号遵循“负负得正、正负得负”的规则，可先将所有减法统一为加法简化计算；2.运算顺序严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减，同级运算从左到右，有括号先算括号内”的要求；3.能使用加法交换律、结合律、乘法分配律的题目优先用运算律，可避免复杂通分或计算，降低出错率。具体各题：(1)先去括号再凑整计算；(2)统一数的形式（分数/小数）后用加法运算律凑整；(3)用乘法分配律展开计算，无需通分；(4)按运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，注意符号判断。
【解析】
(1) 先去括号，再分组合并计算：
原式$=12 + 5 + 18 - 5$
$=(12 + 18) + (5 - 5)$
$=30 + 0$
$=30$
(2) 先将分数化为小数，再用加法运算律分组计算：
$\frac{17}{4}=4.25$，$\frac{7}{2}=3.5$
原式$=-6.5 + 4.25 + 8.75 - 3.5$
$=(-6.5 - 3.5) + (4.25 + 8.75)$
$=-10 + 13$
$=3$
(3) 利用乘法分配律展开计算：
原式$=\frac{5}{12}×(-12) + \frac{2}{3}×(-12) - \frac{3}{4}×(-12)$
$=-5 - 8 + 9$
$=-4$
(4) 按运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减：
原式$=9 - 50 ÷ 4 × (-\frac{1}{10}) - 1$
$=9 - 12.5×(-\frac{1}{10}) - 1$
$=9 + 1.25 - 1$
$=9.25$
【答案】
(1)$30$；(2)$3$；(3)$-4$；(4)$9.25$
【知识点】
有理数混合运算，运算律的应用，去括号法则
【点评】
本组题目是有理数运算的常规基础题型，重点考查运算法则的掌握程度和运算律的灵活运用能力，解题时需格外注意符号判断，合理使用运算律可有效提升计算速度和正确率。
【难度系数】
0.7
