7.定义:若a是不为1的有理数,则$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数。例如,2的差倒数为$\frac{1}{1-2}=-1,-1$的差倒数为$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$。现有若干个数:第一个数记为$a_1,a_2$是$a_1$的差倒数,$a_3$是$a_2$的差倒数……以此类推,若$a_1=-\frac{1}{3}$,则$a_{100}$的值是()。

A.$-\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.4

A

【分析】
这是一道新定义运算结合规律探究的题目，解题思路如下：首先要准确理解“差倒数”的定义规则，再从已知的$a_1$出发依次计算前几项的数值，观察数列的循环规律找到周期，最后用所求项的序号除以周期，根据余数确定对应项的数值即可。
【解析】
已知$a_1=-\frac{1}{3}$，根据差倒数的定义$\frac{1}{1-a}$依次计算：
1. 计算$a_2$：$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$
2. 计算$a_3$：$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$
3. 计算$a_4$：$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-4}=-\frac{1}{3}$
由此可发现$a_4=a_1$，说明数列每3个数为一个循环周期，循环顺序为$-\frac{1}{3},\frac{3}{4},4$。
计算100除以周期3的余数：$100÷3=33······1$，余数为1，因此$a_{100}$和周期内第1个数相等，即$a_{100}=a_1=-\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，数字规律探究
【点评】
解题核心是先掌握新定义的运算规则，通过计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期推导所求项的数值，计算时注意分数运算的准确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

8. 阅读理解：
计算$\frac{1}{30} ÷ ( \frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5} )$。
小莹是这样计算的：
解：$( \frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5} ) ÷ \frac{1}{30}$
$= ( \frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5} ) × 30$
$= \frac{2}{3} × 30 - \frac{1}{10} × 30 + \frac{1}{6} × 30 - \frac{2}{5} × 30$
$= 20 - 3 + 5 - 12 = 10$，
所以$\frac{1}{30} ÷ ( \frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5} ) = \frac{1}{10}$。
根据小莹的方法，请完成下面的计算：
$( -\frac{1}{42} ) ÷ ( \frac{1}{6} - \frac{3}{14} + \frac{2}{3} - \frac{2}{7} )$。

解:原式的倒数是$-14$,故原式$=-\dfrac{1}{14}$。

【分析】
直接计算原式时，括号内的分数加减需要通分，计算量较大。我们可以参考题中给出的解法，利用“若a、b均不为0，则a÷b与b÷a互为倒数”的性质，先计算原式的倒数：将被除数和除数互换位置，把除法转化为乘法后，运用乘法分配律简化计算，最后求所得结果的倒数，即可得到原式的答案，计算过程中注意符号不要出错。
【解析】
解：先计算原式的倒数：
$\begin{aligned}&(\frac{1}{6} - \frac{3}{14} + \frac{2}{3} - \frac{2}{7}) ÷ (-\frac{1}{42}) \\=&(\frac{1}{6} - \frac{3}{14} + \frac{2}{3} - \frac{2}{7}) × (-42) \\=&\frac{1}{6}×(-42) - \frac{3}{14}×(-42) + \frac{2}{3}×(-42) - \frac{2}{7}×(-42) \\=&-7 + 9 - 28 + 12 \\=&-14\end{aligned}$
因为原式的倒数是-14，所以$(-\frac{1}{42}) ÷ (\frac{1}{6} - \frac{3}{14} + \frac{2}{3} - \frac{2}{7}) = \frac{1}{-14} = -\frac{1}{14}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{14}$
【知识点】
有理数除法运算；乘法分配律；倒数的应用
【点评】
本题采用倒数法求解有理数混合运算，巧妙借助乘法分配律避免了复杂的通分步骤，大幅简化了计算过程，解题时要格外注意负数运算的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7

9. (1)分别求$(-1)^2, (-1)^3, (-1)^4, \dots, (-1)^{19}, (-1)^{20}$的值。
(2)根据(1)中计算结果，你能猜想到什么结论？

解:(1)$(-1)^2=1,(-1)^3=-1,(-1)^4=1,\dots,(-1)^{19}=-1,(-1)^{20}=1$。
(2)由(1)中的运算结果可以猜想得到:当$n$为偶数时,$(-1)^n=1$;当$n$为奇数时,$(-1)^n=-1$。

【分析】
对于第(1)问，可依据乘方的定义（求n个相同因数乘积的运算）计算：几个-1相乘时，若指数（即相乘的-1的个数）是偶数，负号两两抵消，结果为1；若指数是奇数，最后剩余1个负号，结果为-1，只需判断每个式子的指数奇偶性即可写出结果。对于第(2)问，观察第(1)问的计算结果，对应指数的奇偶性分类总结，就能归纳出通用规律。
【解析】
(1) 根据乘方运算法则计算：
$(-1)^2$是2个-1相乘，得$(-1)×(-1)=1$；
$(-1)^3$是3个-1相乘，得$(-1)×(-1)×(-1)=-1$；
$(-1)^4$是4个-1相乘，结果为1；
以此类推，指数为奇数时结果为-1，指数为偶数时结果为1，因此$(-1)^{19}$指数19是奇数，结果为-1，$(-1)^{20}$指数20是偶数，结果为1。
即$(-1)^2=1,(-1)^3=-1,(-1)^4=1,\dots,(-1)^{19}=-1,(-1)^{20}=1$。
(2) 观察上述运算结果可归纳规律：指数$n$为偶数时，$(-1)^n=1$；指数$n$为奇数时，$(-1)^n=-1$。
【答案】
(1)$(-1)^2=1,(-1)^3=-1,(-1)^4=1,\dots,(-1)^{19}=-1,(-1)^{20}=1$。
(2)当$n$为偶数时,$(-1)^n=1$;当$n$为奇数时,$(-1)^n=-1$。
【知识点】
有理数乘方运算，规律归纳探究
【点评】
本题属于乘方运算的基础题型，通过计算-1的各次幂总结通用规律，该规律是后续幂运算、符号化简的常用结论，实用性较强，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

10.观察下面三行数：
-2,4,-8,16,-32,64,…；①
0,6,-6,18,-30,66,…；②
-1,2,-4,8,-16,32,…。③
(1)第①行中的数可以看成按什么规律排列？
(2)第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？
(3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和。

解:(1)第①行中的数可以看成按如下规律排列：
$-2,(-2)^2,(-2)^3,(-2)^4,\dots$。
(2)对比第①②两行中位置对应的数,可以发现:第②行中的数是第①行中相应的数加2,即:
$-2+2,(-2)^2+2,(-2)^3+2,(-2)^4+2,\dots$;
对比第①③两行中位置对应的数,可以发现:第③行中的数是第①行中相应数的$\dfrac{1}{2}$,即:
$(-2)×\dfrac{1}{2},(-2)^2×\dfrac{1}{2},(-2)^3×\dfrac{1}{2},(-2)^4×\dfrac{1}{2},\dots$。
(3)每行中第10个数的和是：
$(-2)^{10}+[(-2)^{10}+2]+(-2)^{10}×\dfrac{1}{2}$
$=1\ 024+[1\ 024+2]+1\ 024×\dfrac{1}{2}$
$=1\ 024+1\ 026+512=2\ 562$。

【分析】
1. 解决第(1)问：先观察第①行数字的符号和绝对值特征，符号为负、正交替，绝对值依次是2¹、2²、2³……，结合符号规律可得第n个数可表示为$(-2)^n$，即可总结排列规律。
2. 解决第(2)问：将第②、③行的数和第①行相同位置的数逐一对比，通过做差、做乘除运算，就能找到两行数和第①行的对应关系。
3. 解决第(3)问：先根据前面得到的规律，分别求出三行的第10个数，再将三个数相加，按照有理数混合运算的规则计算即可。
【解析】
(1) 观察第①行的数：$-2,4,-8,16,-32,64,\dots$，符号交替变化，绝对值是2的正整数次幂，因此排列规律为：$-2,(-2)^2,(-2)^3,(-2)^4,\dots$，即第n个数字为$(-2)^n$（n为正整数）。
(2) 对比第①②两行同位置的数：$0=-2+2$，$6=(-2)^2+2$，$-6=(-2)^3+2$，……，可得第②行中的数是第①行中相应的数加2；
对比第①③两行同位置的数：$-1=(-2)×\dfrac{1}{2}$，$2=(-2)^2×\dfrac{1}{2}$，$-4=(-2)^3×\dfrac{1}{2}$，……，可得第③行中的数是第①行中相应数的$\dfrac{1}{2}$。
(3) 每行第10个数的和为：
$\begin{aligned}&(-2)^{10}+[(-2)^{10}+2]+(-2)^{10}×\dfrac{1}{2}\\=&1024+(1024+2)+1024×\dfrac{1}{2}\\=&1024+1026+512\\=&2562\end{aligned}$
【答案】
(1) 第①行的数按$-2,(-2)^2,(-2)^3,(-2)^4,\dots$（或第n个数为$(-2)^n$，n为正整数）的规律排列；
(2) 第②行的数是第①行对应数加2，第③行的数是第①行对应数的$\dfrac{1}{2}$；
(3) 三个数的和为$\boldsymbol{2562}$。
【知识点】
乘方的意义，数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，解题的关键是先观察单个数列的符号、数值变化特征找到规律，再通过对比不同数列同位置的数值找到关联，最后代入计算即可，对观察归纳能力和运算细心程度有一定要求。
【难度系数】
0.7