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2.一个长跑训练队进行训练，训练时所有队员都以6 km/h的速度前进。突然，1号队员以8 km/h的速度独自前进，前进7 km后掉头，仍以8 km/h的速度往回跑，直到与其他队员会合。1号队员从离开队伍开始到与队员重新会合，经过了
1
h。答案
2.1
3.轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3 h。若静水时船速为26 km/h，水速为2 km/h，则A港与B港相距
504
km。答案
3.504
解析
【分析】
解题时首先要明确顺流、逆流行驶的速度计算方法：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度。题目的核心等量关系是“逆流行驶时间 - 顺流行驶时间 = 3h”，我们可以设A、B两港的距离为未知数，根据“时间=路程÷速度”分别表示出顺流和逆流的行驶时间，代入等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
第一步：计算顺流、逆流的行驶速度
顺流速度：$26 + 2 = 28 \, \mathrm{km/h}$
逆流速度：$26 - 2 = 24 \, \mathrm{km/h}$
第二步：设A港与B港相距$x$km，根据“时间=路程÷速度”可得：
顺流行驶时间为$\frac{x}{28}$h，逆流行驶时间为$\frac{x}{24}$h
第三步：根据“顺流比逆流少用3h”列方程：
$\frac{x}{24} - \frac{x}{28} = 3$
第四步：解方程，两边同时乘24和28的最小公倍数168消去分母：
$7x - 6x = 3 × 168$
解得$x = 504$
【答案】
504
【知识点】
1. 顺逆流速度计算
2. 一元一次方程的应用
3. 行程问题公式
【点评】
本题是行程类应用题的常见题型，解题关键是准确掌握顺流、逆流速度的计算方法，找到时间差对应的等量关系列方程求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确顺流、逆流行驶的速度计算方法：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度。题目的核心等量关系是“逆流行驶时间 - 顺流行驶时间 = 3h”，我们可以设A、B两港的距离为未知数，根据“时间=路程÷速度”分别表示出顺流和逆流的行驶时间，代入等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
第一步：计算顺流、逆流的行驶速度
顺流速度：$26 + 2 = 28 \, \mathrm{km/h}$
逆流速度：$26 - 2 = 24 \, \mathrm{km/h}$
第二步：设A港与B港相距$x$km，根据“时间=路程÷速度”可得：
顺流行驶时间为$\frac{x}{28}$h，逆流行驶时间为$\frac{x}{24}$h
第三步：根据“顺流比逆流少用3h”列方程：
$\frac{x}{24} - \frac{x}{28} = 3$
第四步：解方程，两边同时乘24和28的最小公倍数168消去分母：
$7x - 6x = 3 × 168$
解得$x = 504$
【答案】
504
【知识点】
1. 顺逆流速度计算
2. 一元一次方程的应用
3. 行程问题公式
【点评】
本题是行程类应用题的常见题型，解题关键是准确掌握顺流、逆流速度的计算方法，找到时间差对应的等量关系列方程求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
4.小亮从家骑自行车到学校，每小时骑15 km，可早到8 min，每小时骑12 km就会迟到4 min。求他家到学校的路程。
答案
4.12 km
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题的核心是找到题目中的不变量：小亮从家到学校的规定到校时间。首先需要统一单位，将时间单位分钟换算为小时，和速度单位保持一致。我们可以直接设他家到学校的路程为未知数，分别表示出两种骑行速度下对应的规定到校时间，根据规定时间相等列方程求解即可。
【解析】
解：设他家到学校的路程为$x$ km，先统一时间单位：
$8\mathrm{min}=\frac{8}{60}\mathrm{h}$，$4\mathrm{min}=\frac{4}{60}\mathrm{h}$
根据“两种骑行速度下，规定到校时间相等”列方程：
$\frac{x}{15} + \frac{8}{60} = \frac{x}{12} - \frac{4}{60}$
方程两边同时乘60消去分母：
$4x + 8 = 5x - 4$
移项计算得：
$x = 12$
经检验，$x=12$符合题意。
【答案】
12 km
【知识点】
一元一次方程的实际应用，行程问题，时间单位换算
【点评】
本题属于常规的方程应用题型，解题关键是挖掘出隐含的不变量（规定到校时间），计算前要注意统一单位，避免因单位不匹配出现计算错误，掌握等量关系的寻找方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题的核心是找到题目中的不变量：小亮从家到学校的规定到校时间。首先需要统一单位，将时间单位分钟换算为小时，和速度单位保持一致。我们可以直接设他家到学校的路程为未知数，分别表示出两种骑行速度下对应的规定到校时间，根据规定时间相等列方程求解即可。
【解析】
解：设他家到学校的路程为$x$ km，先统一时间单位：
$8\mathrm{min}=\frac{8}{60}\mathrm{h}$，$4\mathrm{min}=\frac{4}{60}\mathrm{h}$
根据“两种骑行速度下，规定到校时间相等”列方程：
$\frac{x}{15} + \frac{8}{60} = \frac{x}{12} - \frac{4}{60}$
方程两边同时乘60消去分母：
$4x + 8 = 5x - 4$
移项计算得：
$x = 12$
经检验，$x=12$符合题意。
【答案】
12 km
【知识点】
一元一次方程的实际应用，行程问题，时间单位换算
【点评】
本题属于常规的方程应用题型，解题关键是挖掘出隐含的不变量（规定到校时间），计算前要注意统一单位，避免因单位不匹配出现计算错误，掌握等量关系的寻找方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5.京张高铁是世界上第一条采用北斗卫星导航系统并实现自动驾驶等功能的智能高铁，堪称“最聪明的高铁”。从北京北站到张家口的某班普通动车组列车需要80 min，另一班高速动车组列车只需56 min。已知该高速动车组列车的平均速度比该班普通动车组列车的平均速度每小时快57 km，求该班普通动车组列车的平均速度。
答案
5.解:设该班普通动车组列车的平均速度为 x km/h,则该高速动车组列车的平均速度为(x+57)km/h。
根据题意得 $x×\frac{80}{60}=(x+57)×\frac{56}{60}$,解得 x=133。
答:该班普通动车组列车的平均速度为 133 km/h。
根据题意得 $x×\frac{80}{60}=(x+57)×\frac{56}{60}$,解得 x=133。
答:该班普通动车组列车的平均速度为 133 km/h。
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住“两列车行驶路程相等”的隐含等量关系。首先回忆行程问题基本公式：路程=速度×时间。需注意题目中时间单位是分钟，而速度单位是km/h，要先将分钟换算为小时（除以进率60）统一单位。我们可以设普通动车组列车的平均速度为x km/h，那么高速动车组的速度就是(x+57)km/h，分别用速度乘对应时间表示出两段相等的路程，即可列出方程求解。
【解析】
解：设该班普通动车组列车的平均速度为$ x $ km/h，则该班高速动车组列车的平均速度为$ (x+57) $ km/h。
将行驶时间统一为小时单位：普通列车行驶时间为$ \frac{80}{60} $ h，高速列车行驶时间为$ \frac{56}{60} $ h。
根据两列车行驶路程相等，列方程得：
$ x×\frac{80}{60}=(x+57)×\frac{56}{60} $
两边同时乘60消去分母：$ 80x=56(x+57) $
展开括号：$ 80x=56x+3192 $
移项合并同类项：$ 24x=3192 $
系数化为1：$ x=133 $
经检验，$ x=133 $符合实际题意。
答：该班普通动车组列车的平均速度为133 km/h。
【答案】
133 km/h
【知识点】
一元一次方程的应用、行程问题基本公式
【点评】
本题属于典型的行程类方程应用题，解题的关键是挖掘出路程不变的隐含等量关系，解题时需注意统一单位，避免因时间单位与速度单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住“两列车行驶路程相等”的隐含等量关系。首先回忆行程问题基本公式：路程=速度×时间。需注意题目中时间单位是分钟，而速度单位是km/h，要先将分钟换算为小时（除以进率60）统一单位。我们可以设普通动车组列车的平均速度为x km/h，那么高速动车组的速度就是(x+57)km/h，分别用速度乘对应时间表示出两段相等的路程，即可列出方程求解。
【解析】
解：设该班普通动车组列车的平均速度为$ x $ km/h，则该班高速动车组列车的平均速度为$ (x+57) $ km/h。
将行驶时间统一为小时单位：普通列车行驶时间为$ \frac{80}{60} $ h，高速列车行驶时间为$ \frac{56}{60} $ h。
根据两列车行驶路程相等，列方程得：
$ x×\frac{80}{60}=(x+57)×\frac{56}{60} $
两边同时乘60消去分母：$ 80x=56(x+57) $
展开括号：$ 80x=56x+3192 $
移项合并同类项：$ 24x=3192 $
系数化为1：$ x=133 $
经检验，$ x=133 $符合实际题意。
答：该班普通动车组列车的平均速度为133 km/h。
【答案】
133 km/h
【知识点】
一元一次方程的应用、行程问题基本公式
【点评】
本题属于典型的行程类方程应用题，解题的关键是挖掘出路程不变的隐含等量关系，解题时需注意统一单位，避免因时间单位与速度单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
6.《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭。所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇”）如果设经过x天能够相遇，根据题意列方程正确的是（
A.$7x + 9x = 1$
B.$9x - 7x = 1$
C.$\frac{x}{7} + \frac{x}{9} = 1$
D.$\frac{x}{7} - \frac{x}{9} = 1$
C
）。A.$7x + 9x = 1$
B.$9x - 7x = 1$
C.$\frac{x}{7} + \frac{x}{9} = 1$
D.$\frac{x}{7} - \frac{x}{9} = 1$
答案
6.C
解析
【分析】
这是行程中的相向相遇问题，解题核心是先明确等量关系：相遇时野鸭和大雁飞行的路程之和等于南海到北海的总路程。我们可以先把总路程看作单位“1”，分别推导野鸭和大雁的日飞行速度，再计算两者x天的飞行路程，最后根据路程和等于总路程列方程即可判断正确选项。
【解析】
解：将南海到北海的总路程看作单位“1”。
1. 野鸭7天飞完全程，因此它每天飞行全程的$\frac{1}{7}$，x天飞行的路程为$\frac{x}{7}$；
2. 大雁9天飞完全程，因此它每天飞行全程的$\frac{1}{9}$，x天飞行的路程为$\frac{x}{9}$；
3. 相遇时两者飞行路程之和等于总路程1，因此可列方程：$\frac{x}{7} + \frac{x}{9} = 1$。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
相遇问题，一元一次方程应用，单位“1”运用
【点评】
本题结合古代经典数学问题考察相遇类方程的列法，解题关键是合理将总路程设为单位“1”推导两者速度，牢记相向而行的相遇等量关系为路程和等于总路程，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
这是行程中的相向相遇问题，解题核心是先明确等量关系：相遇时野鸭和大雁飞行的路程之和等于南海到北海的总路程。我们可以先把总路程看作单位“1”，分别推导野鸭和大雁的日飞行速度，再计算两者x天的飞行路程，最后根据路程和等于总路程列方程即可判断正确选项。
【解析】
解：将南海到北海的总路程看作单位“1”。
1. 野鸭7天飞完全程，因此它每天飞行全程的$\frac{1}{7}$，x天飞行的路程为$\frac{x}{7}$；
2. 大雁9天飞完全程，因此它每天飞行全程的$\frac{1}{9}$，x天飞行的路程为$\frac{x}{9}$；
3. 相遇时两者飞行路程之和等于总路程1，因此可列方程：$\frac{x}{7} + \frac{x}{9} = 1$。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
相遇问题，一元一次方程应用，单位“1”运用
【点评】
本题结合古代经典数学问题考察相遇类方程的列法，解题关键是合理将总路程设为单位“1”推导两者速度，牢记相向而行的相遇等量关系为路程和等于总路程，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
7.如图,四边形ABCD是一个边长为10 m的正方形,甲、乙两辆玩具车分别从A,C两点同时出发,都沿正方形的边逆时针行驶,甲车每分钟行5 m,乙车每分钟行9 m。两辆玩具车第一次相遇时所处位置在正方形的哪条边上?
答案
7.解:四边形 ABCD 是一个边长为 10 m 的正方形,甲、乙两辆玩具车分别从 A,C 两点同时出发,都沿正方形的边逆时针行驶,设经过 x min 两车第一次相遇,
9x-5x=10×2,解得 x=5。
5×5÷40=$\frac{5}{8}$(圈),
即甲行驶了$\frac{5}{8}$圈。
故两玩具车第一次相遇时所处位置在正方形的边CD 上。
9x-5x=10×2,解得 x=5。
5×5÷40=$\frac{5}{8}$(圈),
即甲行驶了$\frac{5}{8}$圈。
故两玩具车第一次相遇时所处位置在正方形的边CD 上。
解析
【分析】
这是行程类的追及问题，解题思路可分为三步：第一步先确定两车初始路程差，甲、乙分别从正方形对角顶点A、C出发，逆时针行驶时乙落后甲2个边长，也就是20m；第二步根据追及问题的等量关系“速度差×追及时间=路程差”，设追及时间为x，列一元一次方程求解相遇时间；第三步计算相遇时甲车行驶的总路程，结合正方形的周长和各边的顺序，判断相遇点所在的边。
【解析】
解：设经过x min两辆玩具车第一次相遇。
初始时两车的路程差为2个正方形边长，即$10×2=20\ \mathrm{m}$，根据追及等量关系列方程：
$9x-5x=10×2$
解得$x=5$
此时甲车行驶的总路程为：$5×5=25\ \mathrm{m}$
正方形周长为$10×4=40\ \mathrm{m}$，甲车行驶路程占周长的$\frac{25}{40}=\frac{5}{8}$圈。
甲车从A点逆时针行驶：A到B路程10m，B到C路程10m，行驶20m时到达C点，再行驶$25-20=5\ \mathrm{m}$就进入CD边，因此相遇点在CD边上。
【答案】
两辆玩具车第一次相遇时所处位置在正方形的CD边上。
【知识点】
追及问题，一元一次方程的应用，正方形周长计算
【点评】
本题结合行程问题与正方形的性质，解题的核心是准确找到追及的路程差，通过列方程求出相遇时间后，结合行驶路程判断位置，能够考察学生分析实际问题、综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.7
这是行程类的追及问题，解题思路可分为三步：第一步先确定两车初始路程差，甲、乙分别从正方形对角顶点A、C出发，逆时针行驶时乙落后甲2个边长，也就是20m；第二步根据追及问题的等量关系“速度差×追及时间=路程差”，设追及时间为x，列一元一次方程求解相遇时间；第三步计算相遇时甲车行驶的总路程，结合正方形的周长和各边的顺序，判断相遇点所在的边。
【解析】
解：设经过x min两辆玩具车第一次相遇。
初始时两车的路程差为2个正方形边长，即$10×2=20\ \mathrm{m}$，根据追及等量关系列方程：
$9x-5x=10×2$
解得$x=5$
此时甲车行驶的总路程为：$5×5=25\ \mathrm{m}$
正方形周长为$10×4=40\ \mathrm{m}$，甲车行驶路程占周长的$\frac{25}{40}=\frac{5}{8}$圈。
甲车从A点逆时针行驶：A到B路程10m，B到C路程10m，行驶20m时到达C点，再行驶$25-20=5\ \mathrm{m}$就进入CD边，因此相遇点在CD边上。
【答案】
两辆玩具车第一次相遇时所处位置在正方形的CD边上。
【知识点】
追及问题，一元一次方程的应用，正方形周长计算
【点评】
本题结合行程问题与正方形的性质，解题的核心是准确找到追及的路程差，通过列方程求出相遇时间后，结合行驶路程判断位置，能够考察学生分析实际问题、综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.7
8.借助适当的图表,能直观、形象地呈现数量关系,使复杂的数量关系变得清晰明了,从而帮助我们更好地分析问题、解决问题。下面是某数学小组的学习报告:
|项目主题|借助示意图列一元一次方程解决行程问题|
|背 景|A,B两地相距10 km,甲从A地骑车出发,每小时行驶8 km,乙从B地骑车出发,每小时行驶12 k
|
|问题1|如果甲、乙同时出发,相向而行,经过多长时间相遇?|
|示意图||
续表
|等量关系|相遇时,甲走的路程+乙走的路程=10 km。|
|解决问题|设经过$x$ h两人相遇,根据题意得$8x+12x=10$,解得$x=0.5$。答:如果甲、乙同时出发,相向而行,经过0.5 h相遇。|
| |请结合表格中的“背
信息,解答下面的两个问题。|
|问题2|(1)如果甲、乙同时出发,相向而行,那么经几小时后,甲、乙相距2 km?|
|问题3|(2)如果甲、乙同时出发,且按照由B向A的方向同向而行,那么经过多长时间,甲、乙相距2 km?|
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
|项目主题|借助示意图列一元一次方程解决行程问题|
|背 景|A,B两地相距10 km,甲从A地骑车出发,每小时行驶8 km,乙从B地骑车出发,每小时行驶12 k
||问题1|如果甲、乙同时出发,相向而行,经过多长时间相遇?|
|示意图||
续表
|等量关系|相遇时,甲走的路程+乙走的路程=10 km。|
|解决问题|设经过$x$ h两人相遇,根据题意得$8x+12x=10$,解得$x=0.5$。答:如果甲、乙同时出发,相向而行,经过0.5 h相遇。|
| |请结合表格中的“背
信息,解答下面的两个问题。||问题2|(1)如果甲、乙同时出发,相向而行,那么经几小时后,甲、乙相距2 km?|
|问题3|(2)如果甲、乙同时出发,且按照由B向A的方向同向而行,那么经过多长时间,甲、乙相距2 km?|
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
8.解:(1)设经过 y h,甲、乙相距 2 km,
当相遇前相距 2 km 时,8y+12y=10-2,
解得 y=0.4;
当相遇后相距 2 km 时,8y+12y=10+2,
解得 y=0.6。
答:经过 0.4 h 或 0.6 h,甲、乙相距 2 km。
(2)设经过 b h,甲、乙相距 2 km,
当相遇前相距 2 km 时,8b+10=12b+2;
解得 b=2;
当相遇后相距 2 km 时,12b=8b+10+2,
解得 b=3。
答:经过 2 h 或 3 h,甲、乙相距 2 km。
当相遇前相距 2 km 时,8y+12y=10-2,
解得 y=0.4;
当相遇后相距 2 km 时,8y+12y=10+2,
解得 y=0.6。
答:经过 0.4 h 或 0.6 h,甲、乙相距 2 km。
(2)设经过 b h,甲、乙相距 2 km,
当相遇前相距 2 km 时,8b+10=12b+2;
解得 b=2;
当相遇后相距 2 km 时,12b=8b+10+2,
解得 b=3。
答:经过 2 h 或 3 h,甲、乙相距 2 km。
解析
【分析】
对于问题(1)，甲、乙相向而行相距2km时，存在两种场景：一是两人还未相遇，此时两人行驶的路程总和等于总路程减去2km；二是两人相遇后继续行驶错开，此时两人行驶的路程总和等于总路程加上2km，分别根据对应等量关系列方程求解即可。
对于问题(2)，甲、乙沿B向A的方向同向而行，乙的速度比甲快，初始两人相距10km，也存在两种场景：一是乙还未追上甲，此时两人相距2km，甲走的路程加初始总距离等于乙走的路程加2km；二是乙追上甲后又超过甲2km，此时乙走的路程等于甲走的路程加初始总距离再加2km，分别列方程求解即可。
【解析】
(1) 设经过$y$ h，甲、乙相距2 km，分两种情况讨论：
① 相遇前相距2 km时，根据路程和的等量关系列方程：
$8y+12y=10-2$
合并同类项得$20y=8$，解得$y=0.4$；
② 相遇后相距2 km时，根据路程和的等量关系列方程：
$8y+12y=10+2$
合并同类项得$20y=12$，解得$y=0.6$。
答：经过0.4 h或0.6 h，甲、乙相距2 km。
(2) 设经过$b$ h，甲、乙相距2 km，分两种情况讨论：
① 乙追上甲前相距2 km时，根据路程差的等量关系列方程：
$8b+10=12b+2$
移项、合并同类项得$4b=8$，解得$b=2$；
② 乙追上甲后相距2 km时，根据路程差的等量关系列方程：
$12b=8b+10+2$
移项、合并同类项得$4b=12$，解得$b=3$。
答：经过2 h或3 h，甲、乙相距2 km。
【答案】
(1) 经过0.4 h或0.6 h，甲、乙相距2 km；
(2) 经过2 h或3 h，甲、乙相距2 km。
【知识点】
一元一次方程的实际应用，相向相遇问题，同向追及问题
【点评】
本题是行程问题的经典题型，重点考查分类讨论思想，解题时要注意“相距2km”没有明确说明是相遇前还是相遇后，需要分情况分析避免漏解，同时要准确梳理不同行驶场景下的路程等量关系，正确列方程求解。
【难度系数】
0.6
对于问题(1)，甲、乙相向而行相距2km时，存在两种场景：一是两人还未相遇，此时两人行驶的路程总和等于总路程减去2km；二是两人相遇后继续行驶错开，此时两人行驶的路程总和等于总路程加上2km，分别根据对应等量关系列方程求解即可。
对于问题(2)，甲、乙沿B向A的方向同向而行，乙的速度比甲快，初始两人相距10km，也存在两种场景：一是乙还未追上甲，此时两人相距2km，甲走的路程加初始总距离等于乙走的路程加2km；二是乙追上甲后又超过甲2km，此时乙走的路程等于甲走的路程加初始总距离再加2km，分别列方程求解即可。
【解析】
(1) 设经过$y$ h，甲、乙相距2 km，分两种情况讨论：
① 相遇前相距2 km时，根据路程和的等量关系列方程：
$8y+12y=10-2$
合并同类项得$20y=8$，解得$y=0.4$；
② 相遇后相距2 km时，根据路程和的等量关系列方程：
$8y+12y=10+2$
合并同类项得$20y=12$，解得$y=0.6$。
答：经过0.4 h或0.6 h，甲、乙相距2 km。
(2) 设经过$b$ h，甲、乙相距2 km，分两种情况讨论：
① 乙追上甲前相距2 km时，根据路程差的等量关系列方程：
$8b+10=12b+2$
移项、合并同类项得$4b=8$，解得$b=2$；
② 乙追上甲后相距2 km时，根据路程差的等量关系列方程：
$12b=8b+10+2$
移项、合并同类项得$4b=12$，解得$b=3$。
答：经过2 h或3 h，甲、乙相距2 km。
【答案】
(1) 经过0.4 h或0.6 h，甲、乙相距2 km；
(2) 经过2 h或3 h，甲、乙相距2 km。
【知识点】
一元一次方程的实际应用，相向相遇问题，同向追及问题
【点评】
本题是行程问题的经典题型，重点考查分类讨论思想，解题时要注意“相距2km”没有明确说明是相遇前还是相遇后，需要分情况分析避免漏解，同时要准确梳理不同行驶场景下的路程等量关系，正确列方程求解。
【难度系数】
0.6
