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一、选择题
1. $\frac{2}{5}×\frac{7}{8}+\frac{3}{5}×\frac{7}{8}=(\frac{2}{5}+\frac{3}{5})×\frac{7}{8}$运用了()。
A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法分配律
D.加法交换律
1. $\frac{2}{5}×\frac{7}{8}+\frac{3}{5}×\frac{7}{8}=(\frac{2}{5}+\frac{3}{5})×\frac{7}{8}$运用了()。
A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法分配律
D.加法交换律
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆各类运算律的基本形式，再对应题干中的算式特征逐一匹配判断。第一步先明确每个选项对应的运算律定义：乘法交换律是交换两个因数的位置积不变；乘法结合律是三个数相乘时，改变相乘的顺序积不变；乘法分配律是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，反过来，两个数分别乘同一个数再相加，也可以先把这两个数相加再乘这个数；加法交换律是交换两个加数的位置和不变。第二步观察题干算式：左右两边都有共同因数$\frac{7}{8}$，是把分别乘$\frac{7}{8}$的两个数先求和再乘$\frac{7}{8}$，对应乘法分配律的逆用形式，即可得出答案。
【解析】
我们先逐一分析各运算律的特征，再匹配算式：
1. 选项A（乘法交换律）：形式为$a×b=b×a$，仅交换因数位置，题干算式无因数交换，不符合，排除；
2. 选项B（乘法结合律）：形式为$(a×b)×c=a×(b×c)$，仅适用于连乘运算，题干中有加法，不符合，排除；
3. 选项C（乘法分配律）：逆用形式为$a×c + b×c=(a+b)×c$，题干中$\frac{2}{5}$和$\frac{3}{5}$分别乘$\frac{7}{8}$后求和，等于两数之和乘$\frac{7}{8}$，完全符合该形式，当选；
4. 选项D（加法交换律）：形式为$a+b=b+a$，仅交换加数位置，题干不符合，排除。
【答案】
C
【知识点】
乘法分配律；运算定律辨识
【点评】
本题考查对常用运算定律的掌握，核心是能根据算式的结构特征准确匹配对应的运算定律，注意区分乘法分配律和乘法结合律的适用场景，避免混淆。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆各类运算律的基本形式，再对应题干中的算式特征逐一匹配判断。第一步先明确每个选项对应的运算律定义：乘法交换律是交换两个因数的位置积不变；乘法结合律是三个数相乘时，改变相乘的顺序积不变；乘法分配律是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，反过来，两个数分别乘同一个数再相加，也可以先把这两个数相加再乘这个数；加法交换律是交换两个加数的位置和不变。第二步观察题干算式：左右两边都有共同因数$\frac{7}{8}$，是把分别乘$\frac{7}{8}$的两个数先求和再乘$\frac{7}{8}$，对应乘法分配律的逆用形式，即可得出答案。
【解析】
我们先逐一分析各运算律的特征，再匹配算式：
1. 选项A（乘法交换律）：形式为$a×b=b×a$，仅交换因数位置，题干算式无因数交换，不符合，排除；
2. 选项B（乘法结合律）：形式为$(a×b)×c=a×(b×c)$，仅适用于连乘运算，题干中有加法，不符合，排除；
3. 选项C（乘法分配律）：逆用形式为$a×c + b×c=(a+b)×c$，题干中$\frac{2}{5}$和$\frac{3}{5}$分别乘$\frac{7}{8}$后求和，等于两数之和乘$\frac{7}{8}$，完全符合该形式，当选；
4. 选项D（加法交换律）：形式为$a+b=b+a$，仅交换加数位置，题干不符合，排除。
【答案】
C
【知识点】
乘法分配律；运算定律辨识
【点评】
本题考查对常用运算定律的掌握，核心是能根据算式的结构特征准确匹配对应的运算定律，注意区分乘法分配律和乘法结合律的适用场景，避免混淆。
【难度系数】
0.9
2.有两根3 m长的铁丝，第一根用了全长的$\frac{1}{3}$，第二根用了$\frac{1}{3}$m，两根剩下的铁丝相比，()。
A.第一根剩下的更长
B.第二根剩下的更长
C.两根剩下的一样长
D.无法确定哪根剩下的更长
A.第一根剩下的更长
B.第二根剩下的更长
C.两根剩下的一样长
D.无法确定哪根剩下的更长
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确两个$\frac{1}{3}$的含义不同：第一个$\frac{1}{3}$是占铁丝全长的分率，没有单位；第二个$\frac{1}{3}$m是具体的用去的长度，带有单位。我们只需要分别计算出两根铁丝剩下的长度，再比较大小就能得出答案。
【解析】
1. 计算第一根铁丝剩下的长度：
第一根用去全长的$\frac{1}{3}$，剩下的部分占全长的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
已知铁丝全长3m，因此剩下的长度为：$3×\frac{2}{3}=2$（m）
2. 计算第二根铁丝剩下的长度：
第二根用去$\frac{1}{3}$m，因此剩下的长度为：$3-\frac{1}{3}=2\frac{2}{3}$（m）
3. 比较剩余长度：$2＜2\frac{2}{3}$，所以第二根剩下的铁丝更长。
【答案】
B
【知识点】
分率与具体量的区分、分数乘法应用、分数减法计算
【点评】
本题易错点是混淆带单位的具体长度和不带单位的分率，解题核心是准确区分两个$\frac{1}{3}$的含义，分别计算剩余长度即可得出正确结论。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个$\frac{1}{3}$的含义不同：第一个$\frac{1}{3}$是占铁丝全长的分率，没有单位；第二个$\frac{1}{3}$m是具体的用去的长度，带有单位。我们只需要分别计算出两根铁丝剩下的长度，再比较大小就能得出答案。
【解析】
1. 计算第一根铁丝剩下的长度：
第一根用去全长的$\frac{1}{3}$，剩下的部分占全长的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
已知铁丝全长3m，因此剩下的长度为：$3×\frac{2}{3}=2$（m）
2. 计算第二根铁丝剩下的长度：
第二根用去$\frac{1}{3}$m，因此剩下的长度为：$3-\frac{1}{3}=2\frac{2}{3}$（m）
3. 比较剩余长度：$2＜2\frac{2}{3}$，所以第二根剩下的铁丝更长。
【答案】
B
【知识点】
分率与具体量的区分、分数乘法应用、分数减法计算
【点评】
本题易错点是混淆带单位的具体长度和不带单位的分率，解题核心是准确区分两个$\frac{1}{3}$的含义，分别计算剩余长度即可得出正确结论。
【难度系数】
0.7
3.某校组织全体六年级学生开展远足活动。大家从学校大门出发，先向北偏东$30°$方向走了1.5 km，接着向南偏东$30°$方向走了1.5 km，现在他们的位置在学校大门的()。
A.东偏南$60°$方向1.5 km处
B.正东方向3 km处
C.正东方向1.5 km处
D.西偏南$60°$方向1.5 km处
A.东偏南$60°$方向1.5 km处
B.正东方向3 km处
C.正东方向1.5 km处
D.西偏南$60°$方向1.5 km处
答案
C
解析
【分析】
我们可以通过画方位图的方法梳理移动过程：第一步以学校大门为观测点，按照上北下南、左西右东建立方位坐标，先标记出向北偏东30°走1.5km后的位置；第二步以这个中间位置为新的观测点，标记出向南偏东30°走1.5km后的最终位置；第三步观察学校、中间位置、最终位置三点的关系，就能判断出最终位置相对于学校的方向和距离。
【解析】
1. 绘制方位坐标：以学校大门为原点，按上北下南、左西右东绘制坐标。
2. 标记第一段移动：从原点出发，向北偏东30°方向画长度为1.5单位（代表1.5km）的线段，终点记为点A。
3. 标记第二段移动：以点A为新的观测点，向南偏东30°方向画长度为1.5单位的线段，终点记为点B。
4. 分析位置关系：点A相对于学校向北的偏移距离，与点B相对于点A向南的偏移距离完全相等，因此南北方向没有偏移，点B在学校的正东方向；同时连接学校、点A、点B，可得OA=AB=1.5km，且∠OAB=60°，三角形OAB是等边三角形，因此学校到点B的距离OB=1.5km。
综上，现在的位置在学校大门正东方向1.5km处。
【答案】
C
【知识点】
1. 方向与位置判断
2. 等边三角形特征
【点评】
本题结合实际移动场景考查位置判断，通过画图就能直观梳理各点的位置关系，解题的核心是找准每次移动的观测点，分别分析南北、东西方向的偏移变化，避免因观测点混淆出错。
【难度系数】
0.7
我们可以通过画方位图的方法梳理移动过程：第一步以学校大门为观测点，按照上北下南、左西右东建立方位坐标，先标记出向北偏东30°走1.5km后的位置；第二步以这个中间位置为新的观测点，标记出向南偏东30°走1.5km后的最终位置；第三步观察学校、中间位置、最终位置三点的关系，就能判断出最终位置相对于学校的方向和距离。
【解析】
1. 绘制方位坐标：以学校大门为原点，按上北下南、左西右东绘制坐标。
2. 标记第一段移动：从原点出发，向北偏东30°方向画长度为1.5单位（代表1.5km）的线段，终点记为点A。
3. 标记第二段移动：以点A为新的观测点，向南偏东30°方向画长度为1.5单位的线段，终点记为点B。
4. 分析位置关系：点A相对于学校向北的偏移距离，与点B相对于点A向南的偏移距离完全相等，因此南北方向没有偏移，点B在学校的正东方向；同时连接学校、点A、点B，可得OA=AB=1.5km，且∠OAB=60°，三角形OAB是等边三角形，因此学校到点B的距离OB=1.5km。
综上，现在的位置在学校大门正东方向1.5km处。
【答案】
C
【知识点】
1. 方向与位置判断
2. 等边三角形特征
【点评】
本题结合实际移动场景考查位置判断，通过画图就能直观梳理各点的位置关系，解题的核心是找准每次移动的观测点，分别分析南北、东西方向的偏移变化，避免因观测点混淆出错。
【难度系数】
0.7
4.我国有着悠久的青铜器铸造历史，古籍《考工记》中记载着铸造青铜鼎的原料铜、锡的配比，在铸造青铜鼎时，锡的含量是铜的$\frac{1}{5}$。若铸造一个青铜鼎，其中铜、锡的总质量为480 g，则铜的含量是多少？如果用x表示铜的含量(单位：g)，那么下面等式正确的是()。
A.$x+\frac{1}{5}x=480$
B.$x-\frac{1}{5}x=480$
C.$5x+x=480$
D.$5x-x=480$
A.$x+\frac{1}{5}x=480$
B.$x-\frac{1}{5}x=480$
C.$5x+x=480$
D.$5x-x=480$
答案
A
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的等量关系：铜的质量+锡的质量=铜锡总质量。首先明确单位“1”是铜的含量，已知锡的含量是铜的$\frac{1}{5}$，若设铜的含量为x g，就可以用含x的式子表示出锡的质量，再代入总质量的等量关系就能列出对应的方程。
【解析】
设铜的含量为x g，因为锡的含量是铜的$\frac{1}{5}$，所以锡的质量为$\frac{1}{5}x$ g。已知铜和锡的总质量为480 g，根据“铜的质量+锡的质量=总质量”的等量关系，可列方程：$x+\frac{1}{5}x=480$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列方程解决实际问题，单位“1”的应用
【点评】
本题考查根据数量关系列方程的能力，解题核心是找准单位“1”，理清各数量的占比关系和总数量的等量关系。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题目中的等量关系：铜的质量+锡的质量=铜锡总质量。首先明确单位“1”是铜的含量，已知锡的含量是铜的$\frac{1}{5}$，若设铜的含量为x g，就可以用含x的式子表示出锡的质量，再代入总质量的等量关系就能列出对应的方程。
【解析】
设铜的含量为x g，因为锡的含量是铜的$\frac{1}{5}$，所以锡的质量为$\frac{1}{5}x$ g。已知铜和锡的总质量为480 g，根据“铜的质量+锡的质量=总质量”的等量关系，可列方程：$x+\frac{1}{5}x=480$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列方程解决实际问题，单位“1”的应用
【点评】
本题考查根据数量关系列方程的能力，解题核心是找准单位“1”，理清各数量的占比关系和总数量的等量关系。
【难度系数】
0.8
5.某校食堂运来 600 kg 面粉,4 天用了这些面粉的$\frac{1}{5}$。照这样计算,这些面粉还可以用多少天?下面是三名同学的解答过程,解答错误的有()人。
琪琪:$(1-\frac{1}{5})÷\frac{1}{5}×4$
安安:$600÷(600×\frac{1}{5}÷4)$
乐乐:$1÷(\frac{1}{5}÷4)-4$
A.0
B.1
C.2
D.3
琪琪:$(1-\frac{1}{5})÷\frac{1}{5}×4$
安安:$600÷(600×\frac{1}{5}÷4)$
乐乐:$1÷(\frac{1}{5}÷4)-4$
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
B
解析
【分析】
要判断三名同学的解答是否正确，可结合工作总量、工作效率、工作时间的关系分析，既可以把面粉总质量看作单位“1”计算，也可以用具体质量计算，注意题目要求的是“还可以用多少天”，即总使用天数减去已经用的4天。我们逐个分析三人的解题思路：
1. 琪琪：先算剩余面粉占总量的几分之几，再求剩余面粉是已用面粉的几倍，用倍数乘已用的4天，即可得到剩余可用天数，逻辑通顺。
2. 安安：先计算每天用的面粉质量，再用总质量除以每天用量，得到的是面粉总共能使用的天数，没有减去已经用的4天，不符合题意。
3. 乐乐：先计算每天用的面粉占总量的分率（即工作效率），用单位“1”除以效率得到总使用天数，减去已用的4天就是剩余可用天数，逻辑通顺。
综上只有1人解答错误。
【解析】
我们逐个验证三个式子的意义和计算结果：
1. 琪琪的计算：
$(1-\frac{1}{5})÷\frac{1}{5}×4$
$=\frac{4}{5}÷\frac{1}{5}×4$
$=4×4=16$（天），结果为剩余可用天数，解法正确。
2. 安安的计算：
$600÷(600×\frac{1}{5}÷4)$
$=600÷(120÷4)$
$=600÷30=20$（天），结果为面粉总可用天数，不是剩余可用天数，解法错误。
3. 乐乐的计算：
$1÷(\frac{1}{5}÷4)-4$
$=1÷\frac{1}{20}-4$
$=20-4=16$（天），结果为剩余可用天数，解法正确。
所以解答错误的只有1人。
【答案】
B
【知识点】
分数四则混合运算、工程问题
【点评】
本题考查分数应用题的多种解法，解题时要注意看清问题是求总时间还是剩余时间，避免漏减已用时间，用单位“1”解决这类问题比用具体量计算更简便。
【难度系数】
0.7
要判断三名同学的解答是否正确，可结合工作总量、工作效率、工作时间的关系分析，既可以把面粉总质量看作单位“1”计算，也可以用具体质量计算，注意题目要求的是“还可以用多少天”，即总使用天数减去已经用的4天。我们逐个分析三人的解题思路：
1. 琪琪：先算剩余面粉占总量的几分之几，再求剩余面粉是已用面粉的几倍，用倍数乘已用的4天，即可得到剩余可用天数，逻辑通顺。
2. 安安：先计算每天用的面粉质量，再用总质量除以每天用量，得到的是面粉总共能使用的天数，没有减去已经用的4天，不符合题意。
3. 乐乐：先计算每天用的面粉占总量的分率（即工作效率），用单位“1”除以效率得到总使用天数，减去已用的4天就是剩余可用天数，逻辑通顺。
综上只有1人解答错误。
【解析】
我们逐个验证三个式子的意义和计算结果：
1. 琪琪的计算：
$(1-\frac{1}{5})÷\frac{1}{5}×4$
$=\frac{4}{5}÷\frac{1}{5}×4$
$=4×4=16$（天），结果为剩余可用天数，解法正确。
2. 安安的计算：
$600÷(600×\frac{1}{5}÷4)$
$=600÷(120÷4)$
$=600÷30=20$（天），结果为面粉总可用天数，不是剩余可用天数，解法错误。
3. 乐乐的计算：
$1÷(\frac{1}{5}÷4)-4$
$=1÷\frac{1}{20}-4$
$=20-4=16$（天），结果为剩余可用天数，解法正确。
所以解答错误的只有1人。
【答案】
B
【知识点】
分数四则混合运算、工程问题
【点评】
本题考查分数应用题的多种解法，解题时要注意看清问题是求总时间还是剩余时间，避免漏减已用时间，用单位“1”解决这类问题比用具体量计算更简便。
【难度系数】
0.7
6.一台笔记本电脑原价6400元，现降价1280元，也就是打()出售。
A.二折
B.八折
C.八五折
D.九折
A.二折
B.八折
C.八五折
D.九折
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确折扣的定义：打几折就是指现价是原价的百分之几十。所以解题步骤分为三步：第一步先算出现价，用原价减去降价的金额即可；第二步用现价除以原价，求出现价是原价的百分之几；第三步将得到的百分比换算为折扣，对应选出正确选项即可。
【解析】
1. 计算笔记本的现价：
现价 = 原价 - 降价金额 = 6400 - 1280 = 5120（元）
2. 计算现价占原价的百分比：
$5120 ÷ 6400 = 0.8 = 80\%$
3. 换算折扣：按照折扣规则，80%对应八折，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
折扣的认识、百分数的应用
【点评】
这是折扣计算的基础题型，解题关键是牢记折扣的含义，注意不要误将降价的比例当成实际折扣，计算过程简单，仔细审题即可正确解答。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先要明确折扣的定义：打几折就是指现价是原价的百分之几十。所以解题步骤分为三步：第一步先算出现价，用原价减去降价的金额即可；第二步用现价除以原价，求出现价是原价的百分之几；第三步将得到的百分比换算为折扣，对应选出正确选项即可。
【解析】
1. 计算笔记本的现价：
现价 = 原价 - 降价金额 = 6400 - 1280 = 5120（元）
2. 计算现价占原价的百分比：
$5120 ÷ 6400 = 0.8 = 80\%$
3. 换算折扣：按照折扣规则，80%对应八折，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
折扣的认识、百分数的应用
【点评】
这是折扣计算的基础题型，解题关键是牢记折扣的含义，注意不要误将降价的比例当成实际折扣，计算过程简单，仔细审题即可正确解答。
【难度系数】
0.75
7.某地今年8月的铁路货物总发送量比去年8月减少了二成六，今年8月的铁路货物总发送量相当于去年8月的()。
A.74%
B.126%
C.26%
D.97.4%
A.74%
B.126%
C.26%
D.97.4%
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确成数的含义，“几成”就是百分之几十，“几成几”就是百分之几十几，所以“二成六”对应的是26%。其次要找准单位“1”，题目中“比去年8月减少”，说明单位“1”是去年8月的铁路货物总发送量。要求今年的量相当于去年的百分之几，用单位“1”减去减少的占比，就能得出结果。
【解析】
1. 换算成数为百分数：二成六 = 26%
2. 确定单位“1”：将去年8月的铁路货物总发送量看作单位“1”
3. 计算今年发送量占去年的百分比：$1 - 26\% = 74\%$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
成数与百分数换算；单位“1”判定；百分数计算
【点评】
这道题属于成数相关的基础应用题，解题核心是正确理解成数的含义、找准单位“1”，掌握相关基础知识点后可以快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确成数的含义，“几成”就是百分之几十，“几成几”就是百分之几十几，所以“二成六”对应的是26%。其次要找准单位“1”，题目中“比去年8月减少”，说明单位“1”是去年8月的铁路货物总发送量。要求今年的量相当于去年的百分之几，用单位“1”减去减少的占比，就能得出结果。
【解析】
1. 换算成数为百分数：二成六 = 26%
2. 确定单位“1”：将去年8月的铁路货物总发送量看作单位“1”
3. 计算今年发送量占去年的百分比：$1 - 26\% = 74\%$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
成数与百分数换算；单位“1”判定；百分数计算
【点评】
这道题属于成数相关的基础应用题，解题核心是正确理解成数的含义、找准单位“1”，掌握相关基础知识点后可以快速作答。
【难度系数】
0.85
8.我国古代名著《墨经》中记载：“圆，一中同长也。”这句话的意思是()。
A.圆心决定圆的位置
B.同一圆中，所有的半径都相等
C.圆是曲线图形
D.半径决定圆的大小
A.圆心决定圆的位置
B.同一圆中，所有的半径都相等
C.圆是曲线图形
D.半径决定圆的大小
答案
B
解析
【分析】首先我们拆解古文“圆，一中同长也”的字面意思：“一中”指圆有一个中心，也就是我们学过的圆心；“同长”就是长度相同的意思，结合圆的相关知识，从圆心到圆上任意一点的线段是半径，所以“同长”就是指同一个圆里所有半径的长度都相等，再逐个对应选项判断即可选出正确答案。
【解析】我们先理解古文含义：
1. “一中”：指圆有1个中心，也就是圆心；
2. “同长”：指从圆心到圆上任意一点的距离都相等，也就是同一圆内所有半径长度相等。
接下来分析选项：
A选项“圆心决定圆的位置”，和“同长”的描述无关，不符合题意；
B选项“同一圆中，所有的半径都相等”，完全符合“一中同长”的含义，符合题意；
C选项“圆是曲线图形”，古文里没有提到圆的形状相关描述，不符合题意；
D选项“半径决定圆的大小”，古文没有体现半径和圆大小的关系，不符合题意。
【答案】B
【知识点】圆的基本特征；圆的各部分名称
【点评】这道题结合我国古代数学记载考查圆的基础性质，既需要同学们掌握圆的相关知识，也需要具备简单的古文理解能力，同时能感受到我国古代的数学智慧。
【难度系数】0.8
【解析】我们先理解古文含义：
1. “一中”：指圆有1个中心，也就是圆心；
2. “同长”：指从圆心到圆上任意一点的距离都相等，也就是同一圆内所有半径长度相等。
接下来分析选项：
A选项“圆心决定圆的位置”，和“同长”的描述无关，不符合题意；
B选项“同一圆中，所有的半径都相等”，完全符合“一中同长”的含义，符合题意；
C选项“圆是曲线图形”，古文里没有提到圆的形状相关描述，不符合题意；
D选项“半径决定圆的大小”，古文没有体现半径和圆大小的关系，不符合题意。
【答案】B
【知识点】圆的基本特征；圆的各部分名称
【点评】这道题结合我国古代数学记载考查圆的基础性质，既需要同学们掌握圆的相关知识，也需要具备简单的古文理解能力，同时能感受到我国古代的数学智慧。
【难度系数】0.8
