1.已知线段$a$,$b$,$c$(如图),用尺规作$△ ABC$,使$BC=a$,$CA=b$,$AB=c$.(保留作图痕迹,不写作法)

解：
如图，△ABC即为所求作的三角形，完整保留尺规作图痕迹：线段BC长度等于a，分别以点B为圆心、线段c的长为半径画弧，以点C为圆心、线段b的长为半径画弧，两弧交于点A，连接AB、AC，标注顶点A、B、C，满足BC=a，CA=b，AB=c。

【分析】
要作出满足三边分别为a、b、c的△ABC，可先固定两个顶点的位置：首先作长度等于a的线段BC，即可确定B、C两点；再找第三个顶点A，根据圆的性质，到定点距离等于定长的点在以定点为圆心、定长为半径的圆弧上，因此A需同时满足到B的距离为c、到C的距离为b，即A是“以B为圆心、c为半径的弧”和“以C为圆心、b为半径的弧”的交点，找到交点后连接AB、AC即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作线段BC，使BC的长度等于已知线段a；
2. 以点B为圆心，已知线段c的长度为半径画弧；
3. 以点C为圆心，已知线段b的长度为半径画弧，两弧交于点A；
4. 依次连接AB、AC，保留所有作图痕迹，得到的△ABC即为所求。
【答案】
如图，△ABC即为所求作的三角形，完整保留尺规作图痕迹：线段BC长度等于a，分别以点B为圆心、线段c的长为半径画弧，以点C为圆心、线段b的长为半径画弧，两弧交于点A，连接AB、AC，标注顶点A、B、C，满足BC=a，CA=b，AB=c。
【知识点】
尺规作图；已知三边作三角形；圆的基本性质
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，考查学生对已知三边作三角形方法的掌握，是后续学习三角形全等判定、复杂几何作图的基础，作图时需注意完整保留所有辅助痕迹。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在△ABC中,AB=AC,BE=CE,则直接由“SSS”可判定（）


A.△ABD≌△ACD
B.△BDE≌△CDE
C.△ABE≌△ACE
D.以上都不对

C

【分析】
要解决这道题，首先回忆“SSS”判定三角形全等的条件：两个三角形的三组对应边分别相等，即可判定全等。接下来结合已知条件逐一分析选项：已知AB=AC、BE=CE，先观察是否有三角形刚好包含这两组边，再加一组公共边就能满足SSS条件。首先看△ABE和△ACE，二者共享边AE，刚好凑齐三组相等的边，可直接用SSS判定。其余选项中的△ABD≌△ACD、△BDE≌△CDE均需要先得到BD=CD的结论，这一结论无法直接从题干已知条件得到，因此不能直接用SSS判定。
【解析】
首先明确“SSS”判定定理：三边对应相等的两个三角形全等。
对各选项逐一分析：
1. 选项C：在$△ ABE$和$△ ACE$中
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\BE=CE(\mathrm{已知})\\AE=AE(\mathrm{公共边})\end{array} $
满足三组对应边相等，因此$△ ABE ≌ △ ACE(\mathrm{SSS})$，符合题意。
2. 选项A：$△ ABD$和$△ ACD$中，仅已知AB=AC、AD为公共边，BD=CD无直接已知条件，无法直接通过SSS判定全等。
3. 选项B：$△ BDE$和$△ CDE$中，仅已知BE=CE、DE为公共边，BD=CD无直接已知条件，无法直接通过SSS判定全等。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
SSS判定全等，公共边的应用
【点评】
本题考查全等三角形的SSS判定，解题关键是抓住“直接由SSS判定”的要求，区分题干给出的直接条件和需要推导的间接条件，避免误选需要二次推导的选项。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在$△ ACE$ 和$△ BDF$ 中,已知 $AE = BF,CE = DF$. 要依据“SSS”判定 $△ ACE ≌ △ BDF$,需要增加的一个条件可以是 ()

A.$AB=BD$
B.$DC=AC$
C.$AB=CD$
D.$AC=BC$

C

【分析】
要依据“SSS”判定两个三角形全等，需要两个三角形的三组对应边分别相等。本题中已经给出两组边对应相等（$AE=BF$，$CE=DF$），因此只需找到能推出第三组对应边$AC=BD$的条件即可。观察线段的位置，$AC$和$BD$有公共部分$BC$，所以只要$AB=CD$，利用线段和差的性质就能得到$AC=BD$，再对应选项选出答案即可。
【解析】
“SSS”判定三角形全等的条件是：两个三角形的三组对应边分别相等。
已知在$△ ACE$和$△ BDF$中，$AE=BF$，$CE=DF$，因此还需要满足第三组对应边相等，即$AC=BD$。
由图可知，点$A$、$C$、$B$、$D$在同一条直线上，根据线段的和差关系可得：$AC=AB+BC$，$BD=BC+CD$。
若$AB=CD$，根据等式的基本性质，等式两边同时加$BC$，可得$AB+BC=CD+BC$，即$AC=BD$。
此时$△ ACE$和$△ BDF$的三组对应边均相等，可依据“SSS”判定$△ ACE ≌ △ BDF$。
对各选项逐一分析：
A. $AB=BD$，无法推出$AC=BD$，不符合要求；
B. $DC=AC$，不能得到$AC=BD$，不符合要求；
C. $AB=CD$，可推出$AC=BD$，符合要求；
D. $AC=BC$，无法推出$AC=BD$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形SSS判定，线段和差计算，等式的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题的关键是明确SSS判定的条件，结合线段公共部分进行和差转化，找到能推出缺省对应边相等的条件即可。
【难度系数】
0.7

4. [教材P102练习第2题改编]如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$BE = CD$，$AD = AE$. 若$∠ BAD=30°$，$∠ DAE=50°$，则$∠ BAC$的度数为.

110°

【分析】
要求∠BAC的度数，观察图形可知∠BAC由∠BAD、∠DAE、∠CAE三部分组成，其中已知∠BAD=30°，∠DAE=50°，因此只需算出∠CAE的度数即可。结合已知的边相等的条件，先通过线段和差得到BD=CE，再利用SSS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应角相等即可得到∠CAE=∠BAD，最后代入角的和差公式计算即可。
【解析】
解：
∵ $BE = CD$，
∴ $BE - DE = CD - DE$，即$BD = CE$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\AD = AE \\BD = CE\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ ACE$（SSS），
∴ $∠ CAE = ∠ BAD = 30°$，
∴ $∠ BAC = ∠ BAD + ∠ DAE + ∠ CAE = 30° + 50° + 30° = 110°$。
【答案】
$110°$
【知识点】
SSS判定全等；全等三角形性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是利用线段的和差关系得到相等的边，结合已知条件证明三角形全等，得到对应角相等后即可通过角的和差运算求出结果，注重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

5. [与T11互为孪生题]如图，点B，E，C，F在同一条直线上，$AB = DF$，$AC = DE$，$BE = FC$.求证：
(1)$△ ABC≌△ DFE$；
(2)$AB// DF$.

证明：
(1) ∵ $BE = FC$，
∴ $BE + EC = FC + EC$，
即 $BC = FE$。
在$△ ABC$和$△ DFE$中，
$\{\begin{array}{l}AB = DF, \\AC = DE, \\BC = FE,\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ DFE(\mathrm{SSS})$。
(2) ∵ $△ ABC ≌ △ DFE$，
∴ $∠ B = ∠ F$，
∴ $AB // DF$（内错角相等，两直线平行）。

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△DFE，已知AB=DF、AC=DE两组对应边相等，根据SSS全等判定定理，只需再证明第三组对应边BC=FE即可。已知BE=FC，观察图形可得EC是BC和FE的公共线段，根据等式性质，在BE和FC两端同时加EC，就能得到BC=FE，满足SSS判定条件，即可证得全等。
(2) 要证明AB//DF，根据平行线判定规则，只需证明AB、DF被直线BF所截形成的内错角∠B和∠F相等。由(1)已证得两个三角形全等，根据全等三角形对应角相等的性质，可直接得到∠B=∠F，进而推出两直线平行。
【解析】
(1)
∵ $BE = FC$，
∴ $BE + EC = FC + EC$，
即 $BC = FE$。
在$△ ABC$和$△ DFE$中，
$\{\begin{array}{l}AB = DF, \\AC = DE, \\BC = FE,\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ DFE(\mathrm{SSS})$。
(2)
∵ $△ ABC ≌ △ DFE$，
∴ $∠ B = ∠ F$，
∴ $AB // DF$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明过程见解析。
【知识点】
1. SSS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题是三角形全等与平行线判定的基础综合题，解题核心是先通过线段和差关系得到全等所需的对应边相等，再借助全等的性质得到等角，最终证明平行，整体紧扣基础定理，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8

6. 下列图形中，具有稳定性的是（）

B

【分析】
要判断哪个图形具有稳定性，核心依据是“只有三角形具有稳定性，四边形、六边形等其他多边形均不具有稳定性”。解题时逐一分析每个选项的图形结构：若图形全部由三角形结构组成，则具有稳定性；若含有四边形、六边形等非三角形的多边形结构，就不具有稳定性。
【解析】
根据三角形具有稳定性，四边形、六边形等多边形不具有稳定性的性质分析各选项：
选项A：图形为平行四边形，属于四边形，不具有稳定性；
选项B：正方形被对角线分割为两个三角形，整体由三角形结构构成，具有稳定性；
选项C：图形下方是长方形（四边形），不具有稳定性，因此整个图形不具有稳定性；
选项D：图形主体为六边形，属于多边形，不具有稳定性。
综上，具有稳定性的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是牢记只有三角形具备稳定性，判断图形是否存在非三角形的多边形结构即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9

7. 空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是。

三角形具有稳定性

【分析】解题时首先观察固定空调外机的支架为三角形结构，固定外机的核心需求是支架稳固、不易变形，此时回忆三角形的特有性质：三角形和四边形等多边形不同，具备不易形变的特性，也就是稳定性，由此即可对应到本题考查的几何原理。
【解析】固定空调外机的支架为三角形结构，三角形具有独特的稳定性：当三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小就完全固定，不会发生形变，因此用三角形支架能够保证空调外机安装得更加牢固，该固定方法应用的就是三角形的这一性质。
【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【点评】本题结合生活中的常见场景考查几何性质的应用，能够引导学生关注生活中的数学知识，属于基础概念类考题。
【难度系数】0.9

8.放风筝是中国民间的传统游戏之一.小华制作了一个风筝,其示意图如图所示,已知AB=AC,BD=CD,他发现AD不仅平分∠BAC,还平分∠BDC,你觉得他的发现正确吗?请说明理由.

解：他的发现正确，理由如下：
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\BD=CD \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA
∴AD平分∠BAC，同时AD平分∠BDC。

【分析】
要判断小华的发现是否正确，本质是验证AD是否同时平分∠BAC和∠BDC，即需证明∠BAD=∠CAD、∠BDA=∠CDA。观察图形可知这两组角分别是△ABD和△ACD的对应内角，因此可先证明两个三角形全等。已知AB=AC、BD=CD，且AD是两个三角形的公共边，刚好满足“三边分别相等的两个三角形全等”的判定条件，证明全等后利用全等三角形对应角相等的性质，即可得到两组角相等，从而验证结论。
【解析】
解：他的发现正确，理由如下：
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC \quad (\mathrm{已知}) \\BD=CD \quad (\mathrm{已知}) \\AD=AD \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ ACD \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore∠ BAD=∠ CAD$，$∠ BDA=∠ CDA$（全等三角形的对应角相等）
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，同时$AD$平分$∠ BDC$。
【答案】
他的发现正确，理由如下：在△ABD和△ACD中，$\{\begin{array}{l}AB=AC \\BD=CD \\AD=AD\end{array} $，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，
∴AD平分∠BAC，同时AD平分∠BDC。
【知识点】
SSS证全等；全等三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用类题目，解题的关键是挖掘图形中的公共边条件，结合已知的边相等关系证明三角形全等，再通过对应角相等验证角平分线的结论，属于典型的基础证明题。
【难度系数】
0.8