8.如图,已知$AB=AC=CD=5$,$∠ B=∠ ADE=∠ C$.若$BD=3$,则$AE$的长度为（）

A.1.5
B.2
C.3
D.3.5

8. B

【分析】
解题时首先利用三角形外角的性质，结合已知∠B=∠ADE的条件，推导得出∠BAD=∠EDC；再结合已知∠B=∠C、AB=CD的条件，可通过“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）”证明△ABD≌△DCE；根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，最后用AC的长度减去CE的长度即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC = ∠B + ∠BAD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又
∵∠ADC = ∠ADE + ∠EDC，且已知∠B=∠ADE，
∴∠BAD = ∠EDC，
在△ABD和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠C \\AB = DC \\∠BAD = ∠CDE\end{array} $
∴△ABD ≌ △DCE（ASA），
∴CE = BD = 3（全等三角形对应边相等），
∵AC=5，
∴AE = AC - CE = 5 - 3 = 2。
【答案】B
【知识点】
三角形外角性质；ASA判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题核心是通过角的等量转换得到全等所需的等角条件，注重对基础几何性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

9. [与T6互为孪生题] 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BE ⊥ CE$于点$E$，$AD ⊥ CE$于点$D$. 请你添加一个条件：______，使$△ CDA ≌ △ BEC$.

9. $AD=CE$(答案不唯一)

【分析】
首先梳理已知条件：由∠ACB=90°可得∠BCE+∠ACD=90°，由BE⊥CE、AD⊥CE可得∠E=∠CDA=90°，再根据直角三角形两锐角互余，可推出∠CBE+∠BCE=90°，进而得到∠CBE=∠ACD，此时两个三角形已经有两组角对应相等，只需再添加一组对应边相等的条件，即可根据AAS或ASA判定两个三角形全等，比如添加AD=CE就可通过AAS证明全等。
【解析】
已知∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴ ∠E=∠ADC=∠ACB=90°，
∴ ∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴ ∠CBE=∠ACD（同角的余角相等）。
若添加条件$AD=CE$，
在$△ CDA$和$△ BEC$中：
$\begin{cases}∠ADC=∠E \\∠ACD=∠CBE \\AD=CE\end{cases}$
∴ $△ CDA ≌ △ BEC$（AAS）。
注：也可添加$CD=BE$、$AC=BC$等条件，均能证明两三角形全等。
【答案】
$AD=CE$(答案不唯一)
【知识点】
全等三角形的判定，同角的余角相等，垂直的性质
【点评】
本题是开放类题型，解题的关键是先根据已知条件推导得到两组对应角相等，再结合全等三角形的判定定理补充缺少的相等边即可，对全等判定的灵活运用有一定要求。
【难度系数】
0.7

10. 如图，$△ ABC$ 的面积为 $6\ \mathrm{cm}^2$，$BP$ 平分$∠ ABC$，$BP⊥ AP$，求$△ PBC$ 的面积.

10. 延长$AP$交$BC$于点$E$(图略).
$\because BP$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABP=∠ EBP.$
$\because AP⊥ BP,\therefore ∠ APB=∠ EPB=90°.$
易证$△ ABP≌△ EBP(\mathrm{ASA}),\therefore AP=EP,$
$\therefore S_{△ ABP}=S_{△ EBP},S_{△ ACP}=S_{△ ECP},$
$\therefore S_{△ PBC}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm}^2).$

【分析】
当题目中同时出现角平分线和垂直于角平分线的线段时，常用的解题思路是延长这条垂线段，使其与角的另一边相交，构造全等三角形。本题中BP平分∠ABC且AP⊥BP，因此可延长AP交BC于点E，先证△ABP和△EBP全等得到P是AE中点，再利用等底同高的三角形面积相等的性质，推导△PBC的面积与△ABC总面积的关系，进而求出结果。
【解析】
解：延长AP交BC于点E。
∵ BP平分∠ABC，
∴ $∠ ABP=∠ EBP$。
∵ $AP⊥ BP$，
∴ $∠ APB=∠ EPB=90°$。
在$△ ABP$和$△ EBP$中：
$\begin{cases}∠ ABP=∠ EBP \\BP=BP \\∠ APB=∠ EPB\end{cases}$
∴ $△ ABP≌△ EBP(\mathrm{ASA})$，
∴ $AP=EP$，即P为AE的中点。
根据等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ ABP}=S_{△ EBP}$，$S_{△ ACP}=S_{△ ECP}$。
∴ $S_{△ PBC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
代入$S_{△ ABC}=6\ \mathrm{cm}^2$得：
$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$3\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
角平分线定义，ASA判定全等，等积变换
【点评】
本题是角平分线相关几何模型的典型应用，解题关键是根据已知条件构造全等三角形，结合三角形面积的等量转化关系求解，能够有效锻炼几何辅助线构造思维和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.6

11. [新课标—情境题]如图，在河岸两侧的A，B两点处分别有一个电线塔.嘉淇想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点B所在河岸一侧的平地上取一点C，使点A，B，C在一条直线上.另取点D，使得$CD=BC=5$ m，然后测得$∠ DCB=100°$，$∠ ADC=65°$，并在CD的延长线上取一点E，使得$∠ BEC=15°$，量得$CE=32$ m.
(1)求$∠ CBE$的度数；
(2)请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离.

11. (1)$∠ CBE=65°.$
(2)由(1)可得$∠ CBE=∠ ADC=65°.$
在$△ DCA$ 和$△ BCE$ 中,$\because \begin{cases}∠ ACD=∠ ECB,\\CD=CB,\\∠ CDA=∠ CBE,\end{cases}$
$\therefore △ DCA≌△ BCE(\mathrm{ASA}),\therefore CA=CE=32,$
$\therefore AB=CA-BC=32-5=27(\mathrm{m}).$
答:这两个电线塔之间的距离是 27 m.

【分析】
(1) 求∠CBE的度数时，观察到∠CBE是△BCE的内角，已知△BCE中∠BCE=∠DCB=100°，∠BEC=15°，直接利用三角形内角和为180°即可计算出结果。
(2) 求A、B两点的距离，即求线段AB的长，已知A、B、C共线，故AB=AC-BC，其中BC=5m是已知量，因此只需算出AC的长即可；对比△DCA和△BCE，二者有公共角∠ACD=∠ECB，题目给出CD=CB，结合(1)的结论可得∠CDA=∠CBE，可通过ASA判定两三角形全等，再根据全等三角形对应边相等得到AC=CE，代入已知CE的长度即可求出AC，进而算出AB。
【解析】
(1) 在△BCE中，根据三角形内角和为180°：
$∠ CBE = 180° - ∠ BCE - ∠ BEC$
已知$∠ BCE=∠ DCB=100°$，$∠ BEC=15°$，代入得：
$∠ CBE = 180° - 100° - 15° = 65°$
(2) 由(1)得$∠ CBE=65°$，又已知$∠ ADC=65°$，故$∠ CDA=∠ CBE$。
在$△ DCA$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}∠ ACD=∠ ECB（公共角相等）\\CD=CB（已知）\\∠ CDA=∠ CBE（已证）\end{cases}$
$\therefore △ DCA≌△ BCE(\mathrm{ASA})$
根据全等三角形对应边相等，得$CA=CE=32\ \mathrm{m}$
∵点A、B、C在同一直线上，$BC=5\ \mathrm{m}$
$\therefore AB = CA - BC = 32 - 5 = 27(\mathrm{m})$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ CBE=65°}$；
(2) 两个电线塔之间的距离是$\boldsymbol{27\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
三角形内角和定理；ASA判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景，将几何知识和生活应用结合，解题的关键是找准全等三角形的判定条件，通过全等转化线段关系求解，注重对基础定理的理解和应用。
【难度系数】
0.7

12. 如图,线段 AE,BD 相交于点 C,AC=EC,BC=DC,AB=16 cm.点 P 从点 A 出发,在线段 AB 上沿 A→B→A 方向以 4 cm/s 的速度运动,点 Q 从点 D 出发,沿 D→E 方向以 2 cm/s 的速度运动.P,Q 两点同时出发,当点 Q 到达点 E 时,P,Q 两点同时停止运动.设点 Q 的运动时间为 t s.
(1)求线段 AB 与 DE 之间的位置关系,并说明理由;
(2)线段 AP 的长为 cm,线段 QE 的长为 cm;(用含 t 的代数式表示)
(3)连接 PQ,当线段 PQ 经过点 C 时,求 t 的值.

12. (1)$AB// DE$. 理由略.
(2)$4t$ 或$(32-4t)$;$(16-2t)$
(3)由(1)得$∠ A=∠ E,ED=AB=16\ \mathrm{cm}.$
在$△ ACP$ 和$△ ECQ$ 中,$\because \begin{cases}∠ A=∠ E,\\AC=EC,\\∠ ACP=∠ ECQ,\end{cases}$
$\therefore △ ACP≌△ ECQ(\mathrm{ASA}),\therefore AP=EQ.$
当$0≤ t≤4$时,$4t=16-2t$,解得$t=\dfrac{8}{3}$;
当$4＜ t≤8$时,$32-4t=16-2t$,解得$t=8.$
综上可知,当线段$PQ$ 经过点$C$时,$t$ 的值为$\dfrac{8}{3}$或$8$.

【分析】
(1) 要判断AB与DE的位置关系，先结合已知条件AC=EC、BC=DC，以及对顶角相等，可通过SAS证明△ABC和△EDC全等，得到内错角相等即可推出两直线平行。
(2) 点P为往返运动，需分两段讨论：0≤t≤4s时P从A向B运动，AP的长度直接用速度乘时间计算；4＜t≤8s时P从B向A返回，AP的长度等于AB长度的2倍减去P走过的总路程。点Q沿D→E单向运动，QE的长度等于DE总长度减去Q走过的路程即可。
(3) 当PQ经过点C时，结合平行线的性质和对顶角相等，可通过ASA证明△ACP≌△ECQ，得到AP=EQ的等量关系，再分P的两个运动阶段列方程求解t即可。
【解析】
(1) $AB// DE$，理由如下：
在$△ ABC$和$△ EDC$中：
$\begin{cases}AC=EC \\∠ ACB=∠ ECD（对顶角相等）\\BC=DC\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EDC(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ A=∠ E$
$\therefore AB// DE$（内错角相等，两直线平行）
(2) 点P从A到B的运动时间为$16÷4=4\ \mathrm{s}$，Q从D到E的运动时间为$16÷2=8\ \mathrm{s}$，符合题意停止条件：
①当$0≤ t≤4$时，$AP=4t\ \mathrm{cm}$；
②当$4＜ t≤8$时，P从B向A返回，$AP=16-(4t-16)=(32-4t)\ \mathrm{cm}$。
Q运动的路程$DQ=2t\ \mathrm{cm}$，$DE=AB=16\ \mathrm{cm}$，故$QE=16-2t\ \mathrm{cm}$。
(3) 当PQ经过点C时：
在$△ ACP$和$△ ECQ$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ E \\AC=EC \\∠ ACP=∠ ECQ（对顶角相等）\end{cases}$
$\therefore △ ACP≌△ ECQ(\mathrm{ASA})$
$\therefore AP=EQ$
分两种情况解方程：
①当$0≤ t≤4$时，$4t=16-2t$，解得$t=\dfrac{8}{3}$；
②当$4＜ t≤8$时，$32-4t=16-2t$，解得$t=8$。
【答案】
(1) $AB// DE$，理由见解析；
(2) $4t$或$(32-4t)$；$16-2t$；
(3) $t$的值为$\dfrac{8}{3}$或$8$。
【知识点】
全等三角形判定与性质、平行线的判定、动点分类讨论
【点评】
本题是几何与动点结合的综合题，核心考查全等三角形的应用，解题时需注意动点运动方向的变化，通过分情况讨论建立等量关系求解，能有效锻炼分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6