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1. 尺规作图:已知$∠α,∠β$和线段$a$(如图).
求作:$△ ABC$,使得$∠ A = ∠α,∠ B = ∠β$, $AB=a$.(不要求写作法,保留作图痕迹即可)
求作:$△ ABC$,使得$∠ A = ∠α,∠ B = ∠β$, $AB=a$.(不要求写作法,保留作图痕迹即可)
答案
解：
1. 作线段$AB = a$；
2. 在线段$AB$的同旁，以点$A$为顶点，$AB$为一边，作$∠ BAD = ∠ α$；
3. 以点$B$为顶点，$BA$为一边，作$∠ ABE = ∠ β$，射线$AD$与射线$BE$交于点$C$。
所得$△ ABC$即为所求作的三角形，保留所有尺规作等角、截取线段对应的圆弧作图痕迹即可。
1. 作线段$AB = a$；
2. 在线段$AB$的同旁，以点$A$为顶点，$AB$为一边，作$∠ BAD = ∠ α$；
3. 以点$B$为顶点，$BA$为一边，作$∠ ABE = ∠ β$，射线$AD$与射线$BE$交于点$C$。
所得$△ ABC$即为所求作的三角形，保留所有尺规作等角、截取线段对应的圆弧作图痕迹即可。
解析
【分析】
要作出满足条件的△ABC，我们可以按照“定边→作角→找交点”的思路思考：首先题目给出了两角的夹边AB长度为a，因此第一步先作出长度等于a的线段AB，确定两个顶点A、B；接下来分别以A、B为顶点，在AB的同侧作出等于∠α、∠β的角，两个角的非公共边的交点就是第三个顶点C，顺次连接三点即可得到符合要求的三角形。
【解析】
1. 作线段$AB = a$；
2. 在线段$AB$的同旁，以点$A$为顶点，$AB$为一边，作$∠ BAD = ∠ α$；
3. 以点$B$为顶点，$BA$为一边，作$∠ ABE = ∠ β$，射线$AD$与射线$BE$交于点$C$。
所得$△ ABC$即为所求作的三角形，作图时保留所有尺规截取等长线段、作等角对应的圆弧痕迹即可。
【答案】
1. 作线段$AB = a$；
2. 在线段$AB$的同旁，以点$A$为顶点，$AB$为一边，作$∠ BAD = ∠ α$；
3. 以点$B$为顶点，$BA$为一边，作$∠ ABE = ∠ β$，射线$AD$与射线$BE$交于点$C$。
所得$△ ABC$即为所求作的三角形，保留所有尺规作等角、截取线段对应的圆弧作图痕迹即可。
【知识点】
作线段等于已知线段，作角等于已知角，尺规作三角形
【点评】
本题是基础尺规作图题，考查根据两角及夹边作三角形的能力，解题核心是熟练掌握作等长线段、作相等角的基本作图技能，注意两个角需要作在已知边的同侧才能得到正确的交点。
【难度系数】
0.8
要作出满足条件的△ABC，我们可以按照“定边→作角→找交点”的思路思考：首先题目给出了两角的夹边AB长度为a，因此第一步先作出长度等于a的线段AB，确定两个顶点A、B；接下来分别以A、B为顶点，在AB的同侧作出等于∠α、∠β的角，两个角的非公共边的交点就是第三个顶点C，顺次连接三点即可得到符合要求的三角形。
【解析】
1. 作线段$AB = a$；
2. 在线段$AB$的同旁，以点$A$为顶点，$AB$为一边，作$∠ BAD = ∠ α$；
3. 以点$B$为顶点，$BA$为一边，作$∠ ABE = ∠ β$，射线$AD$与射线$BE$交于点$C$。
所得$△ ABC$即为所求作的三角形，作图时保留所有尺规截取等长线段、作等角对应的圆弧痕迹即可。
【答案】
1. 作线段$AB = a$；
2. 在线段$AB$的同旁，以点$A$为顶点，$AB$为一边，作$∠ BAD = ∠ α$；
3. 以点$B$为顶点，$BA$为一边，作$∠ ABE = ∠ β$，射线$AD$与射线$BE$交于点$C$。
所得$△ ABC$即为所求作的三角形，保留所有尺规作等角、截取线段对应的圆弧作图痕迹即可。
【知识点】
作线段等于已知线段，作角等于已知角，尺规作三角形
【点评】
本题是基础尺规作图题，考查根据两角及夹边作三角形的能力，解题核心是熟练掌握作等长线段、作相等角的基本作图技能，注意两个角需要作在已知边的同侧才能得到正确的交点。
【难度系数】
0.8
2. 下列条件中，能判定$△ ABC ≌ △ DEF$ 的是（
A.$AB=DE,BC=EF,∠ A=∠ E$
B.$AB=DE,BC=EF,∠ C=∠ F$
C.$∠ A=∠ E,AB=EF,∠ B=∠ D$
D.$∠ A=∠ D,AB=DE,∠ B=∠ E$
D
）A.$AB=DE,BC=EF,∠ A=∠ E$
B.$AB=DE,BC=EF,∠ C=∠ F$
C.$∠ A=∠ E,AB=EF,∠ B=∠ D$
D.$∠ A=∠ D,AB=DE,∠ B=∠ E$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的常用判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等），注意SSA、AAA不能判定三角形全等。接下来逐个核对每个选项的边、角对应关系和位置是否符合判定定理，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 条件$AB=DE,BC=EF,∠A=∠E$属于两边及其中一边的对角（SSA），不符合全等三角形判定规则，无法判定$△ ABC ≌ △ DEF$，故A错误；
B. 条件$AB=DE,BC=EF,∠C=∠F$同样属于两边及其中一边的对角（SSA），无法判定全等，故B错误；
C. 条件$∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D$中，$△ ABC$的夹边$AB$对应的应该是$△ DEF$中$∠D$和$∠E$的夹边$DE$，而非$EF$，边不对应，无法判定全等，故C错误；
D. 条件$∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E$符合“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）”的判定定理，可以判定$△ ABC ≌ △ DEF$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定、ASA判定定理、对应边对应角识别
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题关键是准确把握各判定定理中边和角的对应关系、位置要求，要特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆条件出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆全等三角形的常用判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等），注意SSA、AAA不能判定三角形全等。接下来逐个核对每个选项的边、角对应关系和位置是否符合判定定理，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 条件$AB=DE,BC=EF,∠A=∠E$属于两边及其中一边的对角（SSA），不符合全等三角形判定规则，无法判定$△ ABC ≌ △ DEF$，故A错误；
B. 条件$AB=DE,BC=EF,∠C=∠F$同样属于两边及其中一边的对角（SSA），无法判定全等，故B错误；
C. 条件$∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D$中，$△ ABC$的夹边$AB$对应的应该是$△ DEF$中$∠D$和$∠E$的夹边$DE$，而非$EF$，边不对应，无法判定全等，故C错误；
D. 条件$∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E$符合“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）”的判定定理，可以判定$△ ABC ≌ △ DEF$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定、ASA判定定理、对应边对应角识别
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题关键是准确把握各判定定理中边和角的对应关系、位置要求，要特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆条件出错。
【难度系数】
0.8
3. [教材P98例3改编]如图，已知$∠1=∠2$，则添加下列一个条件后，不一定能使$△ ABC≌△ ABD$的是（
A.$AC=AD$
B.$BC=BD$
C.$∠ C=∠ D$
D.$∠3=∠4$
B
）A.$AC=AD$
B.$BC=BD$
C.$∠ C=∠ D$
D.$∠3=∠4$
答案
3. B
解析
【分析】
首先明确已知的相等条件：△ABC和△ABD有公共边AB，因此AB=AB，同时题目给出∠1=∠2。要判断添加哪个条件无法保证两个三角形全等，只需将各选项条件与已知条件结合，对照全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，其中SSA不能作为全等判定依据）逐一验证即可。
【解析】
已知△ABC和△ABD中，AB=AB（公共边），∠1=∠2，逐个分析选项：
A. 若添加AC=AD，此时满足$\{\begin{array}{l}AC=AD\\ ∠ 1=∠ 2\\ AB=AB\end{array} $，符合SAS全等判定定理，可证△ABC≌△ABD，不符合题意；
B. 若添加BC=BD，此时条件为AB=AB、∠1=∠2、BC=BD，属于SSA，SSA不能判定两个三角形全等，因此无法确定△ABC≌△ABD，符合题意；
C. 若添加∠C=∠D，此时满足$\{\begin{array}{l}∠ C=∠ D\\ ∠ 1=∠ 2\\ AB=AB\end{array} $，符合AAS全等判定定理，可证△ABC≌△ABD，不符合题意；
D. 若添加∠3=∠4，此时满足$\{\begin{array}{l}∠ 1=∠ 2\\ AB=AB\\ ∠ 3=∠ 4\end{array} $，符合ASA全等判定定理，可证△ABC≌△ABD，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定、公共边的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握各判定定理的适用条件，尤其要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
首先明确已知的相等条件：△ABC和△ABD有公共边AB，因此AB=AB，同时题目给出∠1=∠2。要判断添加哪个条件无法保证两个三角形全等，只需将各选项条件与已知条件结合，对照全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，其中SSA不能作为全等判定依据）逐一验证即可。
【解析】
已知△ABC和△ABD中，AB=AB（公共边），∠1=∠2，逐个分析选项：
A. 若添加AC=AD，此时满足$\{\begin{array}{l}AC=AD\\ ∠ 1=∠ 2\\ AB=AB\end{array} $，符合SAS全等判定定理，可证△ABC≌△ABD，不符合题意；
B. 若添加BC=BD，此时条件为AB=AB、∠1=∠2、BC=BD，属于SSA，SSA不能判定两个三角形全等，因此无法确定△ABC≌△ABD，符合题意；
C. 若添加∠C=∠D，此时满足$\{\begin{array}{l}∠ C=∠ D\\ ∠ 1=∠ 2\\ AB=AB\end{array} $，符合AAS全等判定定理，可证△ABC≌△ABD，不符合题意；
D. 若添加∠3=∠4，此时满足$\{\begin{array}{l}∠ 1=∠ 2\\ AB=AB\\ ∠ 3=∠ 4\end{array} $，符合ASA全等判定定理，可证△ABC≌△ABD，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定、公共边的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握各判定定理的适用条件，尤其要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
4.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB.若AB=4，CF=3，则BD=
1
.答案
4. 1
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先由FC//AB可根据平行线的性质得到两组相等的内错角，再结合已知DE=FE，可证明△ADE和△CFE全等；接着根据全等三角形对应边相等得到AD的长度，最后利用AB和AD的差即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵FC//AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠ECF \\∠ADE=∠F \\DE=FE\end{array} $
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD=CF=3，
又
∵AB=4，
∴BD=AB-AD=4-3=1。
【答案】
1
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何应用题，解题核心是通过平行线的性质得到等角，进而证明三角形全等，再结合线段和差关系计算未知线段长度，考察对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：首先由FC//AB可根据平行线的性质得到两组相等的内错角，再结合已知DE=FE，可证明△ADE和△CFE全等；接着根据全等三角形对应边相等得到AD的长度，最后利用AB和AD的差即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵FC//AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠ECF \\∠ADE=∠F \\DE=FE\end{array} $
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD=CF=3，
又
∵AB=4，
∴BD=AB-AD=4-3=1。
【答案】
1
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何应用题，解题核心是通过平行线的性质得到等角，进而证明三角形全等，再结合线段和差关系计算未知线段长度，考察对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
5. 如图，∠1=∠2，∠A=∠B，AE=BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O. 求证：△AEC≌△BED.
答案
证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED，
即∠AEC=∠BED。
在△AEC和△BED中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠B, \\AE=BE, \\∠AEC=∠BED,\end{array} $
∴△AEC≌△BED（ASA）。
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED，
即∠AEC=∠BED。
在△AEC和△BED中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠B, \\AE=BE, \\∠AEC=∠BED,\end{array} $
∴△AEC≌△BED（ASA）。
解析
【分析】
要证明△AEC≌△BED，先梳理已知条件：题目已给出∠A=∠B、AE=BE两组对应相等的条件，还缺一组对应相等的条件即可完成全等判定。已知∠1=∠2，给两个等角同时加上公共角∠AED，根据等式的性质可得到两个三角形的夹角∠AEC=∠BED，此时刚好满足“两角及其夹边分别相等”的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED，
即∠AEC=∠BED。
在△AEC和△BED中，
$\begin{cases}∠A=∠B, \\AE=BE, \\∠AEC=∠BED,\end{cases}$
∴△AEC≌△BED（ASA）。
【答案】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED，
即∠AEC=∠BED。
在△AEC和△BED中，
$\begin{cases}∠A=∠B, \\AE=BE, \\∠AEC=∠BED,\end{cases}$
∴△AEC≌△BED（ASA）。
【知识点】
角的和差性质，全等三角形ASA判定
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，解题核心是通过等角加公共角推导得到全等所需的对应等角，熟练掌握全等三角形的判定定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要证明△AEC≌△BED，先梳理已知条件：题目已给出∠A=∠B、AE=BE两组对应相等的条件，还缺一组对应相等的条件即可完成全等判定。已知∠1=∠2，给两个等角同时加上公共角∠AED，根据等式的性质可得到两个三角形的夹角∠AEC=∠BED，此时刚好满足“两角及其夹边分别相等”的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED，
即∠AEC=∠BED。
在△AEC和△BED中，
$\begin{cases}∠A=∠B, \\AE=BE, \\∠AEC=∠BED,\end{cases}$
∴△AEC≌△BED（ASA）。
【答案】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED，
即∠AEC=∠BED。
在△AEC和△BED中，
$\begin{cases}∠A=∠B, \\AE=BE, \\∠AEC=∠BED,\end{cases}$
∴△AEC≌△BED（ASA）。
【知识点】
角的和差性质，全等三角形ASA判定
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，解题核心是通过等角加公共角推导得到全等所需的对应等角，熟练掌握全等三角形的判定定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
6.[与T9互为孪生题]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,点$E$在$AC$上,$AB=CE$,作$DE⊥ AC$,$CD⊥ BC$,$DE$与$CD$相交于点$D$.求证:$AC=CD$.
答案
证明：
∵ ∠B=90°，DE⊥AC，CD⊥BC，
∴ ∠DEC=∠B=90°，∠DCE + ∠ACB = 90°。
在Rt△ABC中，∠A + ∠ACB = 90°，
∴ ∠A = ∠DCE。
在△ABC和△CED中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠DCE, \\AB = CE, \\∠B = ∠CED,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CED（ASA），
∴ AC = CD。
∵ ∠B=90°，DE⊥AC，CD⊥BC，
∴ ∠DEC=∠B=90°，∠DCE + ∠ACB = 90°。
在Rt△ABC中，∠A + ∠ACB = 90°，
∴ ∠A = ∠DCE。
在△ABC和△CED中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠DCE, \\AB = CE, \\∠B = ∠CED,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CED（ASA），
∴ AC = CD。
解析
【分析】
要证明两条线段相等，通常可证明这两条线段所在的三角形全等。本题中AC、CD分别在△ABC和△CED中，首先结合已知的垂直条件，可得∠B与∠DEC都是直角，且已知AB=CE，还缺一组对应角相等即可证明三角形全等。观察可得∠A和∠DCE都与∠ACB互余，根据同角的余角相等可推出∠A=∠DCE，此时刚好满足ASA全等判定的条件，证得两三角形全等后，对应边AC=CD即可得证。
【解析】
证明：
∵ ∠B=90°，DE⊥AC，CD⊥BC，
∴ ∠DEC=∠B=90°，∠DCE + ∠ACB = 90°。
在Rt△ABC中，∠A + ∠ACB = 90°，
∴ ∠A = ∠DCE。
在△ABC和△CED中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠DCE, \\AB = CE, \\∠B = ∠CED,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CED（ASA），
∴ AC = CD。
【答案】
AC=CD
【知识点】
ASA判定三角形全等；同角的余角相等；垂直的性质
【点评】
本题属于利用全等三角形证明线段相等的基础题型，解题核心是找准待证线段所属的三角形，结合已知条件推导全等所需的对应相等元素，熟练掌握角的互余性质和全等判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，通常可证明这两条线段所在的三角形全等。本题中AC、CD分别在△ABC和△CED中，首先结合已知的垂直条件，可得∠B与∠DEC都是直角，且已知AB=CE，还缺一组对应角相等即可证明三角形全等。观察可得∠A和∠DCE都与∠ACB互余，根据同角的余角相等可推出∠A=∠DCE，此时刚好满足ASA全等判定的条件，证得两三角形全等后，对应边AC=CD即可得证。
【解析】
证明：
∵ ∠B=90°，DE⊥AC，CD⊥BC，
∴ ∠DEC=∠B=90°，∠DCE + ∠ACB = 90°。
在Rt△ABC中，∠A + ∠ACB = 90°，
∴ ∠A = ∠DCE。
在△ABC和△CED中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠DCE, \\AB = CE, \\∠B = ∠CED,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CED（ASA），
∴ AC = CD。
【答案】
AC=CD
【知识点】
ASA判定三角形全等；同角的余角相等；垂直的性质
【点评】
本题属于利用全等三角形证明线段相等的基础题型，解题核心是找准待证线段所属的三角形，结合已知条件推导全等所需的对应相等元素，熟练掌握角的互余性质和全等判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7.[2024·黄山歙县期中]如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与AB垂直的方向向东走50 m，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走50 m到D处，在D处沿着与BD垂直的方向再向南走27 m，到达E处，使点E，C，A在同一条直线上。这时测得A，B两点间的距离为
27
m. 答案
7. 27
解析
【分析】
解题时先从题意给出的垂直条件入手，得到两个直角相等；再结合已知BC与CD长度相等，以及点C处的对顶角相等，可通过“角边角（ASA）”判定△ABC和△EDC全等；最后利用全等三角形对应边相等的性质，即可得到AB的长度等于DE的长度。
【解析】
解：由题意可知，$AB⊥ BD$，$ED⊥ BD$，$BC=CD=50\mathrm{m}$，$DE=27\mathrm{m}$，
∴$∠ ABC=∠ EDC=90°$，
在$△ ABC$和$△ EDC$中：
$\begin{cases}∠ ABC=∠ EDC \\BC=DC \\∠ ACB=∠ ECD \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ EDC\ (\mathrm{ASA})$，
∴$AB=ED$（全等三角形对应边相等），
∵$ED=27\mathrm{m}$，
∴$AB=27\mathrm{m}$。
【答案】
27
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，解题的核心是将实际场景中的长度、垂直关系转化为三角形的边、角条件，通过证明三角形全等即可快速得到待求线段的长度，解题时要注意找准全等三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.8
解题时先从题意给出的垂直条件入手，得到两个直角相等；再结合已知BC与CD长度相等，以及点C处的对顶角相等，可通过“角边角（ASA）”判定△ABC和△EDC全等；最后利用全等三角形对应边相等的性质，即可得到AB的长度等于DE的长度。
【解析】
解：由题意可知，$AB⊥ BD$，$ED⊥ BD$，$BC=CD=50\mathrm{m}$，$DE=27\mathrm{m}$，
∴$∠ ABC=∠ EDC=90°$，
在$△ ABC$和$△ EDC$中：
$\begin{cases}∠ ABC=∠ EDC \\BC=DC \\∠ ACB=∠ ECD \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ EDC\ (\mathrm{ASA})$，
∴$AB=ED$（全等三角形对应边相等），
∵$ED=27\mathrm{m}$，
∴$AB=27\mathrm{m}$。
【答案】
27
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，解题的核心是将实际场景中的长度、垂直关系转化为三角形的边、角条件，通过证明三角形全等即可快速得到待求线段的长度，解题时要注意找准全等三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.8
