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7. 中考趋势·开放性问题 已知反比例函数$y=\frac{k+2}{x}$的图象在每一个象限内y随x的增大而减小，则k的值可能是
0(答案不唯一)
（写一个即可）。答案
7.0(答案不唯一)
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m\ne0$），当$m＞0$时，函数图象在每一个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$m＜0$时，函数图象在每一个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题中反比例函数的比例系数为$k+2$，结合题目给出的增减性特征，可列出关于$k$的不等式，求解得到$k$的取值范围后，在范围内任取一个值即可。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k+2}{x}$的图象在每一个象限内$y$随$x$的增大而减小，
根据反比例函数的性质可得：比例系数$k+2＞0$，
解得$k＞-2$，
因此只要取大于$-2$的数都符合要求，例如$k=0$。
【答案】
0（答案不唯一）
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.解一元一次不等式
【点评】
本题是基础开放性题目，主要考查反比例函数增减性与比例系数的对应关系，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键，得到$k$的取值范围后任选一个符合要求的值即可。
【难度系数】
0.85
首先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m\ne0$），当$m＞0$时，函数图象在每一个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$m＜0$时，函数图象在每一个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题中反比例函数的比例系数为$k+2$，结合题目给出的增减性特征，可列出关于$k$的不等式，求解得到$k$的取值范围后，在范围内任取一个值即可。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k+2}{x}$的图象在每一个象限内$y$随$x$的增大而减小，
根据反比例函数的性质可得：比例系数$k+2＞0$，
解得$k＞-2$，
因此只要取大于$-2$的数都符合要求，例如$k=0$。
【答案】
0（答案不唯一）
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.解一元一次不等式
【点评】
本题是基础开放性题目，主要考查反比例函数增减性与比例系数的对应关系，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键，得到$k$的取值范围后任选一个符合要求的值即可。
【难度系数】
0.85
8. 新角度 已知$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$为反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$图象上的两点，当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，则点$B(x_2,y_2)$在第
四
象限。答案
8.四
解析
【分析】
解题时首先分析反比例函数的系数$k$的符号，确定函数图象所在象限和增减性；再结合已知条件$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$，判断A、B两点是否在同一象限：若两点在同一象限，根据增减性应该满足$x$增大$y$增大，与题设矛盾，因此两点分属两个不同象限；最后根据$x_1＜x_2$判断两个点的横坐标正负，即可确定点B所在的象限。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$，其中$k=-5＜0$，
∴该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，即$x$增大时$y$减小，说明A、B两点不在同一象限。
∵第二象限内点的横坐标为负，第四象限内点的横坐标为正，且$x_1＜x_2$，
∴$x_1＜0＜x_2$，即点B的横坐标为正，对应的点在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，遇到大小比较问题时要先判断两点是否在同一象限，避免直接套用增减性导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先分析反比例函数的系数$k$的符号，确定函数图象所在象限和增减性；再结合已知条件$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$，判断A、B两点是否在同一象限：若两点在同一象限，根据增减性应该满足$x$增大$y$增大，与题设矛盾，因此两点分属两个不同象限；最后根据$x_1＜x_2$判断两个点的横坐标正负，即可确定点B所在的象限。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$，其中$k=-5＜0$，
∴该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，即$x$增大时$y$减小，说明A、B两点不在同一象限。
∵第二象限内点的横坐标为负，第四象限内点的横坐标为正，且$x_1＜x_2$，
∴$x_1＜0＜x_2$，即点B的横坐标为正，对应的点在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，遇到大小比较问题时要先判断两点是否在同一象限，避免直接套用增减性导致出错。
【难度系数】
0.7
9.已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$均在反比例函数$y=-\frac{a^2+1}{x}$的图象上，且$x_1＜0＜x_2＜x_3$，则（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
【变式·逆向思维】若点$A(a,y_1),B(2a+1,y_2)$均在反比例函数$y=\frac{m^2}{x}(m≠0,x＜0)$的图象上，且$y_1＞y_2$，则$a$的取值范围是
B
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
【变式·逆向思维】若点$A(a,y_1),B(2a+1,y_2)$均在反比例函数$y=\frac{m^2}{x}(m≠0,x＜0)$的图象上，且$y_1＞y_2$，则$a$的取值范围是
$-1＜a＜-\frac{1}{2}$
。答案
9.B 【变式·逆向思维】$-1＜a＜-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
先分析原题：首先判断反比例函数的比例系数符号，因为$a^2+1$恒大于0，所以反比例函数$y=-\frac{a^2+1}{x}$的$k＜0$，图象分布在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。再根据三个点的横坐标的正负判断所在象限：$x_1＜0$则点A在第二象限，$y_1$为正；$0＜x_2＜x_3$则B、C在第四象限，$y_2、y_3$为负，再根据第四象限内的增减性比较$y_2、y_3$的大小，即可得出三者的大小关系。
再分析变式：反比例函数$y=\frac{m^2}{x}(m≠0)$的比例系数$k=m^2＞0$，且限定$x＜0$，所以图象在第三象限，该象限内$y$随$x$的增大而减小。由$y_1＞y_2$可得横坐标的大小关系，同时两点都要满足$x＜0$的条件，列不等式组求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
原题解析：
对于反比例函数$y=-\frac{a^2+1}{x}$，
$\because a^2≥0$，$\therefore a^2+1≥1＞0$，则比例系数$k=-(a^2+1)＜0$，
$\therefore$ 函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
$\because x_1＜0$，$\therefore$ 点$A(x_1,y_1)$在第二象限，$y_1＞0$；
$\because 0＜x_2＜x_3$，$\therefore$ 点$B、C$在第四象限，$y_2＜0,y_3＜0$，
又$\because$ 第四象限内$y$随$x$增大而增大，$x_2＜x_3$，$\therefore y_2＜y_3$，
综上可得$y_1＞y_3＞y_2$，故选B。
变式解析：
对于反比例函数$y=\frac{m^2}{x}(m≠0,x＜0)$，
$\because m≠0$，$\therefore$ 比例系数$k=m^2＞0$，
$\therefore$ 当$x＜0$时，函数图象在第三象限，$y$随$x$的增大而减小。
已知$y_1＞y_2$，根据增减性可得：两点横坐标满足$a＜2a+1$，
同时两点都在$x＜0$的分支上，因此横坐标均小于0，列不等式组：
$\begin{cases}a＜0 \\2a+1＜0 \\a＜2a+1\end{cases}$
解不等式①得：$a＜0$，
解不等式②得：$a＜-\frac{1}{2}$，
解不等式③得：$a＞-1$，
取三个不等式的公共解集，得$-1＜a＜-\frac{1}{2}$。
【答案】
9.B 【变式·逆向思维】$-1＜a＜-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 解一元一次不等式组
3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先根据比例系数的符号判断函数的增减性和图象所在象限，比较函数值时要注意区分点是否在同一象限内；变式题需要结合增减性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，同时不要忽略自变量的取值范围限制，避免出现漏解、错解。
【难度系数】
0.7
先分析原题：首先判断反比例函数的比例系数符号，因为$a^2+1$恒大于0，所以反比例函数$y=-\frac{a^2+1}{x}$的$k＜0$，图象分布在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。再根据三个点的横坐标的正负判断所在象限：$x_1＜0$则点A在第二象限，$y_1$为正；$0＜x_2＜x_3$则B、C在第四象限，$y_2、y_3$为负，再根据第四象限内的增减性比较$y_2、y_3$的大小，即可得出三者的大小关系。
再分析变式：反比例函数$y=\frac{m^2}{x}(m≠0)$的比例系数$k=m^2＞0$，且限定$x＜0$，所以图象在第三象限，该象限内$y$随$x$的增大而减小。由$y_1＞y_2$可得横坐标的大小关系，同时两点都要满足$x＜0$的条件，列不等式组求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
原题解析：
对于反比例函数$y=-\frac{a^2+1}{x}$，
$\because a^2≥0$，$\therefore a^2+1≥1＞0$，则比例系数$k=-(a^2+1)＜0$，
$\therefore$ 函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
$\because x_1＜0$，$\therefore$ 点$A(x_1,y_1)$在第二象限，$y_1＞0$；
$\because 0＜x_2＜x_3$，$\therefore$ 点$B、C$在第四象限，$y_2＜0,y_3＜0$，
又$\because$ 第四象限内$y$随$x$增大而增大，$x_2＜x_3$，$\therefore y_2＜y_3$，
综上可得$y_1＞y_3＞y_2$，故选B。
变式解析：
对于反比例函数$y=\frac{m^2}{x}(m≠0,x＜0)$，
$\because m≠0$，$\therefore$ 比例系数$k=m^2＞0$，
$\therefore$ 当$x＜0$时，函数图象在第三象限，$y$随$x$的增大而减小。
已知$y_1＞y_2$，根据增减性可得：两点横坐标满足$a＜2a+1$，
同时两点都在$x＜0$的分支上，因此横坐标均小于0，列不等式组：
$\begin{cases}a＜0 \\2a+1＜0 \\a＜2a+1\end{cases}$
解不等式①得：$a＜0$，
解不等式②得：$a＜-\frac{1}{2}$，
解不等式③得：$a＞-1$，
取三个不等式的公共解集，得$-1＜a＜-\frac{1}{2}$。
【答案】
9.B 【变式·逆向思维】$-1＜a＜-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 解一元一次不等式组
3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先根据比例系数的符号判断函数的增减性和图象所在象限，比较函数值时要注意区分点是否在同一象限内；变式题需要结合增减性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，同时不要忽略自变量的取值范围限制，避免出现漏解、错解。
【难度系数】
0.7
10. [2026 芜湖期中]反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 与一次函数 $y=-kx-1(k≠0)$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
）答案
10.D
解析
【分析】
要判断两个函数的图象是否匹配，可先从一次函数的固定截距入手排除部分错误选项，再分$k＞0$和$k＜0$两种情况，结合反比例函数、一次函数的图象性质验证剩余选项即可：首先一次函数$y=-kx-1$与y轴交点为$(0,-1)$，可直接排除交点在y轴正半轴的选项；再根据k的符号分别判断反比例函数所在象限、一次函数的增减性是否一致，就能得出正确答案。
【解析】
1. 先排除明显错误选项：
对于一次函数$y=-kx-1$，当$x=0$时，$y=-1$，即该函数与y轴交于$(0,-1)$，交点在y轴负半轴。观察选项，B、C中一次函数与y轴交于正半轴，不符合性质，直接排除B、C。
2. 分类讨论k的符号验证剩余选项：
① 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一、三象限；
一次函数$y=-kx-1$的斜率为$-k＜0$，图象应从左上向右下倾斜（y随x增大而减小），但A中一次函数从左下向右上倾斜，斜率为正，与推导矛盾，排除A。
② 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第二、四象限；
一次函数$y=-kx-1$的斜率为$-k＞0$，图象从左下向右上倾斜，且交y轴负半轴，与D选项图象完全一致。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题是典型的函数图象共存类问题，解题核心是根据参数的正负分类讨论，结合两类函数的图象性质逐一验证选项，也可先通过固定的截距快速排除部分选项，简化解题过程。
【难度系数】
0.7
要判断两个函数的图象是否匹配，可先从一次函数的固定截距入手排除部分错误选项，再分$k＞0$和$k＜0$两种情况，结合反比例函数、一次函数的图象性质验证剩余选项即可：首先一次函数$y=-kx-1$与y轴交点为$(0,-1)$，可直接排除交点在y轴正半轴的选项；再根据k的符号分别判断反比例函数所在象限、一次函数的增减性是否一致，就能得出正确答案。
【解析】
1. 先排除明显错误选项：
对于一次函数$y=-kx-1$，当$x=0$时，$y=-1$，即该函数与y轴交于$(0,-1)$，交点在y轴负半轴。观察选项，B、C中一次函数与y轴交于正半轴，不符合性质，直接排除B、C。
2. 分类讨论k的符号验证剩余选项：
① 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一、三象限；
一次函数$y=-kx-1$的斜率为$-k＜0$，图象应从左上向右下倾斜（y随x增大而减小），但A中一次函数从左下向右上倾斜，斜率为正，与推导矛盾，排除A。
② 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第二、四象限；
一次函数$y=-kx-1$的斜率为$-k＞0$，图象从左下向右上倾斜，且交y轴负半轴，与D选项图象完全一致。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题是典型的函数图象共存类问题，解题核心是根据参数的正负分类讨论，结合两类函数的图象性质逐一验证选项，也可先通过固定的截距快速排除部分选项，简化解题过程。
【难度系数】
0.7
11. 推理能力 已知函数$y_1=\frac{k}{x}, y_2=-\frac{k}{x}(k＞0)$，当$2≤ x≤3$时，函数$y_1$的最大值是$a$，函数$y_2$的最小值是$a-4$.
(1)求$a$和$k$的值；
(2)直线$x=2$与函数$y_1=\frac{k}{x}, y_2=-\frac{k}{x}$的图象交于$A,B$两点，则$△ OAB$的面积为________.
(1)求$a$和$k$的值；
(2)直线$x=2$与函数$y_1=\frac{k}{x}, y_2=-\frac{k}{x}$的图象交于$A,B$两点，则$△ OAB$的面积为________.
答案
11.解：(1)$k=4,a=2.$ (2)4
解析
【分析】
(1) 先根据反比例函数的增减性判断两个函数在2≤x≤3范围内取最值时对应的x值：对于$y_1=\frac{k}{x}(k＞0)$，x＞0时y随x增大而减小，因此x取最小值2时$y_1$取得最大值a；对于$y_2=-\frac{k}{x}(k＞0)$，x＞0时y随x增大而增大，因此x取最小值2时$y_2$取得最小值$a-4$，据此列方程组即可求解a和k的值。
(2) 先将x=2分别代入两个反比例函数解析式，求出A、B两点的坐标，得到线段AB的长度，再结合直线x=2到原点的水平距离作为高，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵$k＞0$，
∴反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$在x＞0的区间内，y随x的增大而减小，
∴当$2≤x≤3$时，x=2时$y_1$取得最大值a，即$\frac{k}{2}=a$ ①；
又
∵反比例函数$y_2=-\frac{k}{x}$中，$-k＜0$，
∴$y_2=-\frac{k}{x}$在x＞0的区间内，y随x的增大而增大，
∴当$2≤x≤3$时，x=2时$y_2$取得最小值$a-4$，即$-\frac{k}{2}=a-4$ ②；
将①代入②得：$-a=a-4$，解得$a=2$，
把$a=2$代入①得：$k=2×2=4$。
(2) 由(1)得$k=4$，故$y_1=\frac{4}{x}$，$y_2=-\frac{4}{x}$，
当x=2时，$y_1=\frac{4}{2}=2$，$y_2=-\frac{4}{2}=-2$，
∴A点坐标为(2,2)，B点坐标为(2,-2)，
∴线段AB的长度为$2-(-2)=4$，
∵直线AB为x=2，原点O到直线AB的距离为2，
∴$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×AB×2=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
(1) $a=2$，$k=4$；(2) 4
【知识点】
反比例函数的性质，坐标与图形，三角形面积计算
【点评】
本题主要考查反比例函数增减性的应用，结合自变量的取值范围确定函数最值对应的自变量取值是解题的关键，后续求三角形面积时需注意直线x=m到y轴的距离为|m|，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据反比例函数的增减性判断两个函数在2≤x≤3范围内取最值时对应的x值：对于$y_1=\frac{k}{x}(k＞0)$，x＞0时y随x增大而减小，因此x取最小值2时$y_1$取得最大值a；对于$y_2=-\frac{k}{x}(k＞0)$，x＞0时y随x增大而增大，因此x取最小值2时$y_2$取得最小值$a-4$，据此列方程组即可求解a和k的值。
(2) 先将x=2分别代入两个反比例函数解析式，求出A、B两点的坐标，得到线段AB的长度，再结合直线x=2到原点的水平距离作为高，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵$k＞0$，
∴反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$在x＞0的区间内，y随x的增大而减小，
∴当$2≤x≤3$时，x=2时$y_1$取得最大值a，即$\frac{k}{2}=a$ ①；
又
∵反比例函数$y_2=-\frac{k}{x}$中，$-k＜0$，
∴$y_2=-\frac{k}{x}$在x＞0的区间内，y随x的增大而增大，
∴当$2≤x≤3$时，x=2时$y_2$取得最小值$a-4$，即$-\frac{k}{2}=a-4$ ②；
将①代入②得：$-a=a-4$，解得$a=2$，
把$a=2$代入①得：$k=2×2=4$。
(2) 由(1)得$k=4$，故$y_1=\frac{4}{x}$，$y_2=-\frac{4}{x}$，
当x=2时，$y_1=\frac{4}{2}=2$，$y_2=-\frac{4}{2}=-2$，
∴A点坐标为(2,2)，B点坐标为(2,-2)，
∴线段AB的长度为$2-(-2)=4$，
∵直线AB为x=2，原点O到直线AB的距离为2，
∴$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×AB×2=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
(1) $a=2$，$k=4$；(2) 4
【知识点】
反比例函数的性质，坐标与图形，三角形面积计算
【点评】
本题主要考查反比例函数增减性的应用，结合自变量的取值范围确定函数最值对应的自变量取值是解题的关键，后续求三角形面积时需注意直线x=m到y轴的距离为|m|，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.7
【例题】已知反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$，当$x≤1$且$x≠0$时，求$y$的取值范围.
解题思路:因为$k=-6$，所以双曲线分别位于
如右图，$a=$
因此当$x≤1$且$x≠0$时，$y$的取值范围为
解题思路:因为$k=-6$，所以双曲线分别位于
第二、第四
象限，把$x=1$代入，得$y=$$-6$
.如右图，$a=$
$-6$
，借助图象可知，当$0＜x≤1$时，$y$的取值范围为$y≤-6$
，当$x＜0$时，$y$的取值范围为$y＞0$
，因此当$x≤1$且$x≠0$时，$y$的取值范围为
$y＞0$或$y≤-6$
.答案
【例题】第二、第四；$-6$；$-6$；$y≤-6$；$y＞0$；$y＞0$或$y≤-6$
解析
【分析】
解决本题需结合反比例函数的性质和图象分析：首先根据反比例函数解析式中k的符号判断图象所在象限及增减性；由于x的取值范围$x≤1$且$x≠0$包含$x＜0$和$0＜x≤1$两段，对应图象的两个分支，因此要分段讨论；先代入边界值$x=1$求出对应的y值，再结合每一分支的增减性确定对应y的取值范围，最后合并两段结果即可。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$，$\because k=-6＜0$，$\therefore$双曲线分别位于第二、第四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
将$x=1$代入解析式，得$y=-\dfrac{6}{1}=-6$，因此图中$a=-6$。
结合图象分析：
①当$0＜x≤1$时，对应第四象限的分支，$y$随$x$增大而增大，当$x=1$时$y$取最大值$-6$，$x$趋近于$0$时$y$趋近于负无穷，因此$y$的取值范围为$y≤-6$；
②当$x＜0$时，对应第二象限的分支，所有点的纵坐标均为正数，因此$y$的取值范围为$y＞0$。
综上，当$x≤1$且$x≠0$时，$y$的取值范围为$y＞0$或$y≤-6$。
【答案】
第二、第四；$-6$；$-6$；$y≤-6$；$y＞0$；$y＞0$或$y≤-6$
【知识点】
反比例函数的性质；函数取值范围求解；数形结合思想
【点评】
本题考查反比例函数图象性质的应用，解题时需注意反比例函数图象是不连续的两支，不能直接根据单个边界值直接确定全体范围，要分象限结合图象增减性分析，避免漏解或范围判断错误。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合反比例函数的性质和图象分析：首先根据反比例函数解析式中k的符号判断图象所在象限及增减性；由于x的取值范围$x≤1$且$x≠0$包含$x＜0$和$0＜x≤1$两段，对应图象的两个分支，因此要分段讨论；先代入边界值$x=1$求出对应的y值，再结合每一分支的增减性确定对应y的取值范围，最后合并两段结果即可。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$，$\because k=-6＜0$，$\therefore$双曲线分别位于第二、第四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
将$x=1$代入解析式，得$y=-\dfrac{6}{1}=-6$，因此图中$a=-6$。
结合图象分析：
①当$0＜x≤1$时，对应第四象限的分支，$y$随$x$增大而增大，当$x=1$时$y$取最大值$-6$，$x$趋近于$0$时$y$趋近于负无穷，因此$y$的取值范围为$y≤-6$；
②当$x＜0$时，对应第二象限的分支，所有点的纵坐标均为正数，因此$y$的取值范围为$y＞0$。
综上，当$x≤1$且$x≠0$时，$y$的取值范围为$y＞0$或$y≤-6$。
【答案】
第二、第四；$-6$；$-6$；$y≤-6$；$y＞0$；$y＞0$或$y≤-6$
【知识点】
反比例函数的性质；函数取值范围求解；数形结合思想
【点评】
本题考查反比例函数图象性质的应用，解题时需注意反比例函数图象是不连续的两支，不能直接根据单个边界值直接确定全体范围，要分象限结合图象增减性分析，避免漏解或范围判断错误。
【难度系数】
0.7
1.已知反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$，当$-3≤ x≤ 1$且$x≠0$时，$y$的取值范围是
$y≤-1$或$y≥3$
。答案
1.$y≤-1$或$y≥3$
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的性质：当k＞0时，图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小。本题中x的取值范围跨过了x=0，对应两个不同的象限，因此需要分$-3≤x＜0$（第三象限）和$0＜x≤1$（第一象限）两段分别求解y的取值范围，最后合并结果即可。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$，其中$k=3＞0$，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
①当$-3≤x＜0$时，函数图象在第三象限：
当$x=-3$时，$y=\dfrac{3}{-3}=-1$，
∵y随x的增大而减小，x越接近0，y的值越小，
∴此时$y≤-1$；
②当$0＜x≤1$时，函数图象在第一象限：
当$x=1$时，$y=\dfrac{3}{1}=3$，
∵y随x的增大而减小，x越接近0，y的值越大，
∴此时$y≥3$；
综上，y的取值范围是$y≤-1$或$y≥3$。
【答案】
$y≤-1$或$y≥3$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 函数值范围求解
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，切不可跨象限直接比较函数值大小，要分段讨论后再合并结果。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数的性质：当k＞0时，图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小。本题中x的取值范围跨过了x=0，对应两个不同的象限，因此需要分$-3≤x＜0$（第三象限）和$0＜x≤1$（第一象限）两段分别求解y的取值范围，最后合并结果即可。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$，其中$k=3＞0$，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
①当$-3≤x＜0$时，函数图象在第三象限：
当$x=-3$时，$y=\dfrac{3}{-3}=-1$，
∵y随x的增大而减小，x越接近0，y的值越小，
∴此时$y≤-1$；
②当$0＜x≤1$时，函数图象在第一象限：
当$x=1$时，$y=\dfrac{3}{1}=3$，
∵y随x的增大而减小，x越接近0，y的值越大，
∴此时$y≥3$；
综上，y的取值范围是$y≤-1$或$y≥3$。
【答案】
$y≤-1$或$y≥3$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 函数值范围求解
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，切不可跨象限直接比较函数值大小，要分段讨论后再合并结果。
【难度系数】
0.7
2.已知反比例函数$y=\frac{4}{x}$，当$x＜2$且$x≠0$时，$y$的取值范围为
$y＞2$或$y＜0$
；当$y≥1$时，$x$的取值范围为$0＜x≤4$
。答案
2.$y＞2$或$y＜0$；$0＜x≤4$
解析
【分析】
本题考查反比例函数的性质应用，解题需分情况讨论：1. 求$x＜2$且$x≠0$时$y$的取值范围：先明确反比例函数$y=\frac{4}{x}$的$k=4＞0$，图象分布在第一、三象限，单调性仅在单个象限内成立，因此分$x＜0$（第三象限）和$0＜x＜2$（第一象限）两种情况分别计算$y$的范围，再合并结果。2. 求$y≥1$时$x$的取值范围：先根据$y$的取值判断$x$的正负，再结合函数性质或解不等式得到$x$的范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$，其中$k=4＞0$，因此函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
1. 求当$x＜2$且$x≠0$时$y$的取值范围：
① 当$x＜0$时，函数图象在第三象限，此时所有函数值均小于0，即$y＜0$，满足$x＜2$的条件；
② 当$0＜x＜2$时，函数图象在第一象限，当$x=2$时，$y=\frac{4}{2}=2$，由于$y$随$x$增大而减小，因此$x＜2$时，$y＞2$。
综上，$y$的取值范围是$y＞2$或$y＜0$。
2. 求当$y≥1$时$x$的取值范围：
因为$y≥1＞0$，所以对应的$x$一定是正数（第三象限$y$均为负，不符合要求），因此可对不等式$\frac{4}{x}≥1$两边同时乘正数$x$，不等号方向不变，得$4≥x$，即$x≤4$，结合$x＞0$，可得$0＜x≤4$。
【答案】
$y＞2$或$y＜0$；$0＜x≤4$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；分式不等式求解；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略反比例函数的单调性仅在同一象限内成立，直接跨象限判断取值范围导致漏解，解题时遇到自变量跨正负区间的情况，要分象限讨论对应的函数值范围。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数的性质应用，解题需分情况讨论：1. 求$x＜2$且$x≠0$时$y$的取值范围：先明确反比例函数$y=\frac{4}{x}$的$k=4＞0$，图象分布在第一、三象限，单调性仅在单个象限内成立，因此分$x＜0$（第三象限）和$0＜x＜2$（第一象限）两种情况分别计算$y$的范围，再合并结果。2. 求$y≥1$时$x$的取值范围：先根据$y$的取值判断$x$的正负，再结合函数性质或解不等式得到$x$的范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$，其中$k=4＞0$，因此函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
1. 求当$x＜2$且$x≠0$时$y$的取值范围：
① 当$x＜0$时，函数图象在第三象限，此时所有函数值均小于0，即$y＜0$，满足$x＜2$的条件；
② 当$0＜x＜2$时，函数图象在第一象限，当$x=2$时，$y=\frac{4}{2}=2$，由于$y$随$x$增大而减小，因此$x＜2$时，$y＞2$。
综上，$y$的取值范围是$y＞2$或$y＜0$。
2. 求当$y≥1$时$x$的取值范围：
因为$y≥1＞0$，所以对应的$x$一定是正数（第三象限$y$均为负，不符合要求），因此可对不等式$\frac{4}{x}≥1$两边同时乘正数$x$，不等号方向不变，得$4≥x$，即$x≤4$，结合$x＞0$，可得$0＜x≤4$。
【答案】
$y＞2$或$y＜0$；$0＜x≤4$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；分式不等式求解；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略反比例函数的单调性仅在同一象限内成立，直接跨象限判断取值范围导致漏解，解题时遇到自变量跨正负区间的情况，要分象限讨论对应的函数值范围。
【难度系数】
0.7
