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概念建构
反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）
反比例函数的图象是
当$k＞0$时，函数图象的两支分别位于
当$k＜0$时，函数图象的两支分别位于
反比例函数的性质
当$k＞0$时，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而
当$k＜0$时，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而
A基础巩固
知识点1 反比例函数图象的画法
反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）
反比例函数的图象是
双曲线
当$k＞0$时，函数图象的两支分别位于
第一、第三
象限当$k＜0$时，函数图象的两支分别位于
第二、第四
象限反比例函数的性质
当$k＞0$时，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而
减小
当$k＜0$时，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而
增大
A基础巩固
知识点1 反比例函数图象的画法
答案
双曲线;第一、第三;第二、第四;减小;增大
解析
【分析】
这道题考查反比例函数的基础图象与性质，属于概念识记类题目。解题时只需对应回忆反比例函数的图象形状、k值正负对应的图象所在象限、以及不同k值下的增减性规律，逐一匹配填空即可，解题时要注意区分k正负对应的性质差异，避免混淆。
【解析】
1. 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象由两条不与坐标轴相交的曲线组成，统称为双曲线，因此第一空填双曲线；
2. 当$k＞0$时，$x$与$y$的乘积为正，即$x、y$同号：$x＞0$时$y＞0$对应第一象限，$x＜0$时$y＜0$对应第三象限，因此第二空填第一、第三；
3. 当$k＜0$时，$x$与$y$的乘积为负，即$x、y$异号：$x＞0$时$y＜0$对应第四象限，$x＜0$时$y＞0$对应第二象限，因此第三空填第二、第四；
4. 当$k＞0$时，在同一象限内，$x$的取值越大，$\frac{k}{x}$的取值越小，即$y$随$x$的增大而减小，因此第四空填减小；
5. 当$k＜0$时，在同一象限内，$x$的取值越大，$\frac{k}{x}$的取值越接近0、数值越大，即$y$随$x$的增大而增大，因此第五空填增大。
【答案】
双曲线;第一、第三;第二、第四;减小;增大
【知识点】
反比例函数的图象、反比例函数的象限性质、反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数图象与性质的基础考查题，重点考察对核心概念的记忆和区分，是后续解决反比例函数相关计算、综合应用题的基础，需准确识记。
【难度系数】
0.9
这道题考查反比例函数的基础图象与性质，属于概念识记类题目。解题时只需对应回忆反比例函数的图象形状、k值正负对应的图象所在象限、以及不同k值下的增减性规律，逐一匹配填空即可，解题时要注意区分k正负对应的性质差异，避免混淆。
【解析】
1. 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象由两条不与坐标轴相交的曲线组成，统称为双曲线，因此第一空填双曲线；
2. 当$k＞0$时，$x$与$y$的乘积为正，即$x、y$同号：$x＞0$时$y＞0$对应第一象限，$x＜0$时$y＜0$对应第三象限，因此第二空填第一、第三；
3. 当$k＜0$时，$x$与$y$的乘积为负，即$x、y$异号：$x＞0$时$y＜0$对应第四象限，$x＜0$时$y＞0$对应第二象限，因此第三空填第二、第四；
4. 当$k＞0$时，在同一象限内，$x$的取值越大，$\frac{k}{x}$的取值越小，即$y$随$x$的增大而减小，因此第四空填减小；
5. 当$k＜0$时，在同一象限内，$x$的取值越大，$\frac{k}{x}$的取值越接近0、数值越大，即$y$随$x$的增大而增大，因此第五空填增大。
【答案】
双曲线;第一、第三;第二、第四;减小;增大
【知识点】
反比例函数的图象、反比例函数的象限性质、反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数图象与性质的基础考查题，重点考察对核心概念的记忆和区分，是后续解决反比例函数相关计算、综合应用题的基础，需准确识记。
【难度系数】
0.9
知识点1 反比例函数图象的画法
1.请在如图所示的平面直角坐标系中画出函数$y=\frac{3}{x}$和$y=-\frac{3}{x}$的图象.
观察图象，回答下列问题：
(1)反比例函数的图象的形状是
(2)有下列说法：
①反比例函数的图象与坐标轴没有交点；
②反比例函数的图象经过原点.
其中正确的是
1.请在如图所示的平面直角坐标系中画出函数$y=\frac{3}{x}$和$y=-\frac{3}{x}$的图象.
观察图象，回答下列问题：
(1)反比例函数的图象的形状是
双曲线
；(2)有下列说法：
①反比例函数的图象与坐标轴没有交点；
②反比例函数的图象经过原点.
其中正确的是
①
.(填序号)答案
解：图略. (1)双曲线 (2)①
解析
【分析】
解题时首先要掌握反比例函数图象的绘制步骤：先列表选取合适的非零x值，计算对应y值，再描点、用平滑曲线连线得到图象。对于问题（1），直接根据绘制出的图象或记忆中的反比例函数图象特征即可判断形状；对于问题（2），结合反比例函数自变量和函数值的取值范围分析：反比例函数解析式中x不能为0，对应的y也不可能为0，因此可判断与坐标轴的交点情况。
【解析】
绘制图象步骤：
1. 列表：选取x为±1、±3、±$\frac{1}{2}$等非零值，分别计算$y=\frac{3}{x}$和$y=-\frac{3}{x}$对应的y值；
2. 描点：将得到的每组$(x,y)$对应点在平面直角坐标系中描出；
3. 连线：用平滑的曲线顺次连接同一象限内的点，即可得到两个函数的图象，均为两支独立的曲线。
(1) 观察所得图象，可知反比例函数的图象形状是双曲线；
(2) 对两个说法分析：
① 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中，自变量x的取值范围是$x≠0$，函数值y的取值范围是$y≠0$，因此图象与x轴、y轴都没有交点，该说法正确；
② 原点坐标为$(0,0)$，$x=0$不符合反比例函数自变量的取值要求，因此图象不会经过原点，该说法错误。
因此正确的是①。
【答案】
图略；(1)双曲线；(2)①
【知识点】
反比例函数图象画法；反比例函数图象特征；反比例函数取值范围
【点评】
本题是反比例函数图象性质的基础考查题，重点要求学生掌握反比例函数的图象形状、与坐标轴的位置关系，是后续学习反比例函数增减性、对称性等延伸性质的基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先要掌握反比例函数图象的绘制步骤：先列表选取合适的非零x值，计算对应y值，再描点、用平滑曲线连线得到图象。对于问题（1），直接根据绘制出的图象或记忆中的反比例函数图象特征即可判断形状；对于问题（2），结合反比例函数自变量和函数值的取值范围分析：反比例函数解析式中x不能为0，对应的y也不可能为0，因此可判断与坐标轴的交点情况。
【解析】
绘制图象步骤：
1. 列表：选取x为±1、±3、±$\frac{1}{2}$等非零值，分别计算$y=\frac{3}{x}$和$y=-\frac{3}{x}$对应的y值；
2. 描点：将得到的每组$(x,y)$对应点在平面直角坐标系中描出；
3. 连线：用平滑的曲线顺次连接同一象限内的点，即可得到两个函数的图象，均为两支独立的曲线。
(1) 观察所得图象，可知反比例函数的图象形状是双曲线；
(2) 对两个说法分析：
① 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中，自变量x的取值范围是$x≠0$，函数值y的取值范围是$y≠0$，因此图象与x轴、y轴都没有交点，该说法正确；
② 原点坐标为$(0,0)$，$x=0$不符合反比例函数自变量的取值要求，因此图象不会经过原点，该说法错误。
因此正确的是①。
【答案】
图略；(1)双曲线；(2)①
【知识点】
反比例函数图象画法；反比例函数图象特征；反比例函数取值范围
【点评】
本题是反比例函数图象性质的基础考查题，重点要求学生掌握反比例函数的图象形状、与坐标轴的位置关系，是后续学习反比例函数增减性、对称性等延伸性质的基础。
【难度系数】
0.9
2.反比例函数$y=\frac{2}{x}$的大致图象是（
A
）答案
2.A
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象和性质，首先判断$k$的符号，确定图象所在的象限，先排除不符合象限要求的选项；再根据对应象限内函数的增减性验证剩余选项，最终得到正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
1. 首先确定系数$k$的取值：本题中$k=2＞0$，根据性质，$k＞0$时函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限，由此可排除图象在第二、第四象限的B选项，图象在第一、第二象限的C选项，以及图象在第一、第四象限的D选项；
2. 验证A选项：$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，A选项第一象限、第三象限的曲线均符合该增减规律，因此A是正确选项。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象、反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数图象性质的基础应用题型，核心考查$k$的正负对反比例函数图象所在象限及增减性的影响，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象和性质，首先判断$k$的符号，确定图象所在的象限，先排除不符合象限要求的选项；再根据对应象限内函数的增减性验证剩余选项，最终得到正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
1. 首先确定系数$k$的取值：本题中$k=2＞0$，根据性质，$k＞0$时函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限，由此可排除图象在第二、第四象限的B选项，图象在第一、第二象限的C选项，以及图象在第一、第四象限的D选项；
2. 验证A选项：$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，A选项第一象限、第三象限的曲线均符合该增减规律，因此A是正确选项。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象、反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数图象性质的基础应用题型，核心考查$k$的正负对反比例函数图象所在象限及增减性的影响，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3. [2026太原期末]关于反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象，下列说法正确的是（
A.经过点$(1,4)$
B.是轴对称图形，对称轴是$y$轴
C.位于第一、第三象限
D.是中心对称图形，对称中心是原点
D
）A.经过点$(1,4)$
B.是轴对称图形，对称轴是$y$轴
C.位于第一、第三象限
D.是中心对称图形，对称中心是原点
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查反比例函数的图象与性质，解题时需结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的相关性质，对每个选项逐一验证即可得出正确答案。首先明确本题中反比例函数的比例系数$k=-4$，再按以下逻辑判断各选项：①判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入解析式，看所得纵坐标是否与点的纵坐标一致；②判断图象所在象限，根据$k$的正负：$k＞0$时图象在一、三象限，$k＜0$时在二、四象限；③判断对称性：反比例函数是轴对称图形，对称轴为直线$y=x$和$y=-x$，同时也是中心对称图形，对称中心为坐标原点。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=-\frac{4}{x}$，即比例系数$k=-4＜0$，逐一分析选项：
A. 把$x=1$代入解析式得$y=-\frac{4}{1}=-4≠4$，故图象不经过点$(1,4)$，A选项错误；
B. 反比例函数是轴对称图形，对称轴为直线$y=x$和直线$y=-x$，不是$y$轴，B选项错误；
C. 因为$k=-4＜0$，所以函数图象位于第二、第四象限，C选项错误；
D. 所有反比例函数的图象都是中心对称图形，对称中心是坐标原点，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数的对称性
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数的核心基础性质，熟练掌握比例系数$k$对函数图象的位置、对称性的影响是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的图象与性质，解题时需结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的相关性质，对每个选项逐一验证即可得出正确答案。首先明确本题中反比例函数的比例系数$k=-4$，再按以下逻辑判断各选项：①判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入解析式，看所得纵坐标是否与点的纵坐标一致；②判断图象所在象限，根据$k$的正负：$k＞0$时图象在一、三象限，$k＜0$时在二、四象限；③判断对称性：反比例函数是轴对称图形，对称轴为直线$y=x$和$y=-x$，同时也是中心对称图形，对称中心为坐标原点。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=-\frac{4}{x}$，即比例系数$k=-4＜0$，逐一分析选项：
A. 把$x=1$代入解析式得$y=-\frac{4}{1}=-4≠4$，故图象不经过点$(1,4)$，A选项错误；
B. 反比例函数是轴对称图形，对称轴为直线$y=x$和直线$y=-x$，不是$y$轴，B选项错误；
C. 因为$k=-4＜0$，所以函数图象位于第二、第四象限，C选项错误；
D. 所有反比例函数的图象都是中心对称图形，对称中心是坐标原点，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数的对称性
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数的核心基础性质，熟练掌握比例系数$k$对函数图象的位置、对称性的影响是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.反比例函数$y=\frac{2-k}{x}(k＜0)$图象的两支分别位于
【变式1·逆向思维】已知反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围为
【变式2·直观形象思维】反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象如图所示，则k的值可能是
第一、第三
象限.【变式1·逆向思维】已知反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围为
$k＜1$
.【变式2·直观形象思维】反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象如图所示，则k的值可能是
$-5$(答案不唯一)
(写出一个即可).答案
4.第一、第三 【变式1·逆向思维】$k＜1$ 【变式2·直观形象思维】$-5$(答案不唯一)
解析
【分析】
解决本组题需结合反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）的核心性质：比例系数$m＞0$时，图象两支位于第一、第三象限；$m＜0$时，图象两支位于第二、第四象限。
1. 第4题：先判断比例系数$2-k$的符号，已知$k＜0$，可得$-k＞0$，因此$2-k＞0$，即可对应象限。
2. 变式1：已知图象在第二、四象限，说明比例系数$k-1＜0$，解不等式即可得$k$的范围。
3. 变式2：首先由图象在第二、四象限得$k＜0$，再结合图象特征：$x=2$时函数值小于$-2$，代入函数列不等式解得$k＜-4$，取小于$-4$的负数即可。
【解析】
第4题
对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$）：
当$m＞0$时，图象两支分别位于第一、第三象限；当$m＜0$时，位于第二、第四象限。
本题比例系数为$2-k$，
∵$k＜0$，
∴$-k＞0$，
∴$2-k=2+(-k)＞2＞0$，
∴函数图象两支位于第一、第三象限。
变式1·逆向思维
∵反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象位于第二、第四象限，
∴比例系数$k-1＜0$，
移项得：$k＜1$。
变式2·直观形象思维
∵反比例函数图象位于第二、第四象限，
∴$k＜0$，
观察图象可知：当$x=2$时，对应的函数值$y＜-2$，
代入$y=\frac{k}{x}$得：$\frac{k}{2} ＜ -2$，
两边同乘2得：$k ＜ -4$，
因此只要取小于$-4$的负数即可，例如$-5$（答案不唯一）。
【答案】
4.第一、第三；【变式1·逆向思维】$k＜1$；【变式2·直观形象思维】$-5$(答案不唯一)
【知识点】
反比例函数的性质、解一元一次不等式、图象信息分析
【点评】
本组题从正反两个方向考查反比例函数比例系数与图象位置的对应关系，同时结合图象考查取值范围判断，难度梯度合理，既巩固了基础性质，也锻炼了数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
解决本组题需结合反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）的核心性质：比例系数$m＞0$时，图象两支位于第一、第三象限；$m＜0$时，图象两支位于第二、第四象限。
1. 第4题：先判断比例系数$2-k$的符号，已知$k＜0$，可得$-k＞0$，因此$2-k＞0$，即可对应象限。
2. 变式1：已知图象在第二、四象限，说明比例系数$k-1＜0$，解不等式即可得$k$的范围。
3. 变式2：首先由图象在第二、四象限得$k＜0$，再结合图象特征：$x=2$时函数值小于$-2$，代入函数列不等式解得$k＜-4$，取小于$-4$的负数即可。
【解析】
第4题
对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$）：
当$m＞0$时，图象两支分别位于第一、第三象限；当$m＜0$时，位于第二、第四象限。
本题比例系数为$2-k$，
∵$k＜0$，
∴$-k＞0$，
∴$2-k=2+(-k)＞2＞0$，
∴函数图象两支位于第一、第三象限。
变式1·逆向思维
∵反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象位于第二、第四象限，
∴比例系数$k-1＜0$，
移项得：$k＜1$。
变式2·直观形象思维
∵反比例函数图象位于第二、第四象限，
∴$k＜0$，
观察图象可知：当$x=2$时，对应的函数值$y＜-2$，
代入$y=\frac{k}{x}$得：$\frac{k}{2} ＜ -2$，
两边同乘2得：$k ＜ -4$，
因此只要取小于$-4$的负数即可，例如$-5$（答案不唯一）。
【答案】
4.第一、第三；【变式1·逆向思维】$k＜1$；【变式2·直观形象思维】$-5$(答案不唯一)
【知识点】
反比例函数的性质、解一元一次不等式、图象信息分析
【点评】
本组题从正反两个方向考查反比例函数比例系数与图象位置的对应关系，同时结合图象考查取值范围判断，难度梯度合理，既巩固了基础性质，也锻炼了数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
5.(新知回顾)对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$，当$x＞0$时，y随x的增大而
减小
；当$x＜0$时，y随x的增大而减小
。答案
5.减小；减小
解析
【分析】
解决本题首先要回忆反比例函数的增减性规律：先确定反比例函数解析式中常数k的正负，再根据k的符号判断不同象限内y随x的变化规律。本题中先找到k=4＞0，可知函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，分别对应x＞0（第一象限）和x＜0（第三象限）的情况即可求解。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）：
1. 先确定本题中$k$的取值：由$y=\frac{4}{x}$可得$k=4＞0$；
2. 根据反比例函数性质：当$k＞0$时，函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
3. 当$x＞0$时，对应第一象限的函数分支，因此$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，对应第三象限的函数分支，因此$y$随$x$的增大也减小。
【答案】
减小；减小
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 反比例函数系数的意义
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，解题的关键是掌握k的符号对反比例函数增减性的影响，注意反比例函数的增减性要在每个象限内单独讨论，不要跨象限判断。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要回忆反比例函数的增减性规律：先确定反比例函数解析式中常数k的正负，再根据k的符号判断不同象限内y随x的变化规律。本题中先找到k=4＞0，可知函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，分别对应x＞0（第一象限）和x＜0（第三象限）的情况即可求解。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）：
1. 先确定本题中$k$的取值：由$y=\frac{4}{x}$可得$k=4＞0$；
2. 根据反比例函数性质：当$k＞0$时，函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
3. 当$x＞0$时，对应第一象限的函数分支，因此$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，对应第三象限的函数分支，因此$y$随$x$的增大也减小。
【答案】
减小；减小
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 反比例函数系数的意义
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，解题的关键是掌握k的符号对反比例函数增减性的影响，注意反比例函数的增减性要在每个象限内单独讨论，不要跨象限判断。
【难度系数】
0.9
6.已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$都在反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$的图象上，当$x_1＞x_2＞0$时，$y_1\_\_\_\_\_\_y_2$（填“＞”“＜”或“=”）。
答案
6.＞
解析
【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，可按以下思路分析：首先确定反比例函数的比例系数$k$的符号，判断函数图象所在的象限；再结合$x_1$、$x_2$的取值范围，确定两个点所在的象限；最后根据该象限内函数的增减性，结合$x_1$、$x_2$的大小关系，就能得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$，比例系数$k=-1＜0$，
∴该函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，
∵$x_1＞x_2＞0$，
∴点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$都位于第四象限，
根据第四象限内函数的增减性可得：当$x_1＞x_2$时，$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的图象特征
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题时要注意，反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，若两个点不在同一象限，不能直接用增减性比较函数值大小。
【难度系数】
0.8
要比较$y_1$和$y_2$的大小，可按以下思路分析：首先确定反比例函数的比例系数$k$的符号，判断函数图象所在的象限；再结合$x_1$、$x_2$的取值范围，确定两个点所在的象限；最后根据该象限内函数的增减性，结合$x_1$、$x_2$的大小关系，就能得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$，比例系数$k=-1＜0$，
∴该函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，
∵$x_1＞x_2＞0$，
∴点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$都位于第四象限，
根据第四象限内函数的增减性可得：当$x_1＞x_2$时，$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的图象特征
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题时要注意，反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，若两个点不在同一象限，不能直接用增减性比较函数值大小。
【难度系数】
0.8
