登录
9. 跨学科·物理 用电器的输出功率$P$与通过的电流$I$、用电器的电阻$R$之间的关系是$P=I^2R$，下面说法正确的是（
A.$P$为定值，$I$与$R$成反比例
B.$P$为定值，$I^2$与$R$成反比例
C.$P$为定值，$I$与$R$成正比例
D.$P$为定值，$I^2$与$R$成正比例
B
）A.$P$为定值，$I$与$R$成反比例
B.$P$为定值，$I^2$与$R$成反比例
C.$P$为定值，$I$与$R$成正比例
D.$P$为定值，$I^2$与$R$成正比例
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先回忆正反比例关系的判定规则：两个相关联的非零量，若乘积为固定不为0的定值，则二者成反比例；若商（比值）为固定不为0的定值，则二者成正比例。随后结合给出的功率公式$P=I^2R$，当P为定值时，找到乘积为定值的两个量为$I^2$和R，再逐一比对选项，排除错误项即可得到正确答案。
【解析】
正反比例判定规则：若两个量x、y满足$x· y=k$（k为不为0的定值），则x与y成反比例；若满足$\frac{y}{x}=k$（k为不为0的定值），则x与y成正比例。
已知$P=I^2R$，当P为定值（$P≠0$）时，变形可得$I^2· R=P$（定值），符合反比例的判定条件，因此$I^2$与R成反比例。
逐项分析选项：
A. P为定值时，I与R的乘积不是定值，二者不成反比例，错误；
B. 推导可知$I^2$与R成反比例，正确；
C. P为定值时，I与R的比值不是定值，二者不成正比例，错误；
D. $I^2$与R乘积为定值，成反比例，不是正比例，错误。
【答案】
B
【知识点】
反比例关系判定；正比例关系判定
【点评】
本题结合物理功率公式考查正反比例的判定，解题关键是明确参与比例关系的变量形式，不要混淆I和$I^2$导致错选。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正反比例关系的判定规则：两个相关联的非零量，若乘积为固定不为0的定值，则二者成反比例；若商（比值）为固定不为0的定值，则二者成正比例。随后结合给出的功率公式$P=I^2R$，当P为定值时，找到乘积为定值的两个量为$I^2$和R，再逐一比对选项，排除错误项即可得到正确答案。
【解析】
正反比例判定规则：若两个量x、y满足$x· y=k$（k为不为0的定值），则x与y成反比例；若满足$\frac{y}{x}=k$（k为不为0的定值），则x与y成正比例。
已知$P=I^2R$，当P为定值（$P≠0$）时，变形可得$I^2· R=P$（定值），符合反比例的判定条件，因此$I^2$与R成反比例。
逐项分析选项：
A. P为定值时，I与R的乘积不是定值，二者不成反比例，错误；
B. 推导可知$I^2$与R成反比例，正确；
C. P为定值时，I与R的比值不是定值，二者不成正比例，错误；
D. $I^2$与R乘积为定值，成反比例，不是正比例，错误。
【答案】
B
【知识点】
反比例关系判定；正比例关系判定
【点评】
本题结合物理功率公式考查正反比例的判定，解题关键是明确参与比例关系的变量形式，不要混淆I和$I^2$导致错选。
【难度系数】
0.7
10. 易错题 已知函数$y=(m+2)x^{m^2 -5}$是关于x的反比例函数，则m的值是
2
。答案
10.2
解析
【分析】
要确定m的值，需结合反比例函数的定义推导两个约束条件：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），因此x的指数必须为-1，同时x的系数不能为0。我们先根据指数要求列方程求m的可能值，再根据系数不为0的要求排除不符合的解即可。
【解析】
解：
∵函数$y=(m+2)x^{m^2 -5}$是关于x的反比例函数
∴根据反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 -5 = -1 \quad \mathrm{①} \\m + 2 ≠ 0 \quad \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解①式：$m^2 = 4$，解得$m=2$或$m=-2$
解②式：$m ≠ -2$
综上，舍去不符合要求的$m=-2$，得$m=2$
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的定义；解一元二次方程；代数式有意义的条件
【点评】
本题是反比例函数概念的典型易错题，解题时容易忽略系数不为0的限制条件，错误得出$m=±2$的结果，牢记反比例函数中“系数非零”和“x的指数为-1”两个必要条件，就能避免此类错误。
【难度系数】
0.6
要确定m的值，需结合反比例函数的定义推导两个约束条件：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），因此x的指数必须为-1，同时x的系数不能为0。我们先根据指数要求列方程求m的可能值，再根据系数不为0的要求排除不符合的解即可。
【解析】
解：
∵函数$y=(m+2)x^{m^2 -5}$是关于x的反比例函数
∴根据反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 -5 = -1 \quad \mathrm{①} \\m + 2 ≠ 0 \quad \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解①式：$m^2 = 4$，解得$m=2$或$m=-2$
解②式：$m ≠ -2$
综上，舍去不符合要求的$m=-2$，得$m=2$
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的定义；解一元二次方程；代数式有意义的条件
【点评】
本题是反比例函数概念的典型易错题，解题时容易忽略系数不为0的限制条件，错误得出$m=±2$的结果，牢记反比例函数中“系数非零”和“x的指数为-1”两个必要条件，就能避免此类错误。
【难度系数】
0.6
11.新情境 如图,机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移动速度$v$(单位:m/s)是载重后总质量$m$(单位:kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量$m=60\ \mathrm{kg}$时,它的最快移动速度$v=6\ \mathrm{m/s}$,则当其载重后总质量$m=90\ \mathrm{kg}$时,它的最快移动速度减少了
2
$\mathrm{m/s}$.答案
11.2
解析
【分析】
首先由题干可知最快移动速度$v$是载重总质量$m$的反比例函数，我们可先设出反比例函数的一般形式$v=\frac{k}{m}$（$k$为常数，$k≠0$）；再将已知的$m=60\ \mathrm{kg}$、$v=6\ \mathrm{m/s}$代入解析式，求出常数$k$的值，得到完整的函数解析式；之后将$m=90\ \mathrm{kg}$代入解析式求出对应速度，最后用初始速度减去该速度即可得到速度减少的量。
【解析】
设$v$与$m$的函数解析式为$v=\frac{k}{m}$（$k$为常数，$k≠0$），
将$m=60$，$v=6$代入解析式得：
$6=\frac{k}{60}$，解得$k=6×60=360$，
所以函数解析式为$v=\frac{360}{m}$。
当$m=90$时，代入解析式得：
$v=\frac{360}{90}=4\ \mathrm{m/s}$，
则最快移动速度减少了$6-4=2\ \mathrm{m/s}$。
【答案】
2
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题结合科技产品的实际情境考查反比例函数的基础应用，解题核心是先利用已知对应值确定反比例函数的解析式，再代入求值计算差值，属于基础应用类题目，意在考查学生对反比例函数基础概念的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.8
首先由题干可知最快移动速度$v$是载重总质量$m$的反比例函数，我们可先设出反比例函数的一般形式$v=\frac{k}{m}$（$k$为常数，$k≠0$）；再将已知的$m=60\ \mathrm{kg}$、$v=6\ \mathrm{m/s}$代入解析式，求出常数$k$的值，得到完整的函数解析式；之后将$m=90\ \mathrm{kg}$代入解析式求出对应速度，最后用初始速度减去该速度即可得到速度减少的量。
【解析】
设$v$与$m$的函数解析式为$v=\frac{k}{m}$（$k$为常数，$k≠0$），
将$m=60$，$v=6$代入解析式得：
$6=\frac{k}{60}$，解得$k=6×60=360$，
所以函数解析式为$v=\frac{360}{m}$。
当$m=90$时，代入解析式得：
$v=\frac{360}{90}=4\ \mathrm{m/s}$，
则最快移动速度减少了$6-4=2\ \mathrm{m/s}$。
【答案】
2
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题结合科技产品的实际情境考查反比例函数的基础应用，解题核心是先利用已知对应值确定反比例函数的解析式，再代入求值计算差值，属于基础应用类题目，意在考查学生对反比例函数基础概念的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.8
12. [2026 马鞍山期末改编] 将 $x=\frac{2}{3}$ 代入函数 $y=-\frac{1}{x}$ 中,所得函数值记为 $y_1$,再将 $x=y_1+1$ 代入函数 $y=-\frac{1}{x}$ 中,所得函数值记为 $y_2$,再将 $x=y_2+1$ 代入函数 $y=-\frac{1}{x}$ 中,所得函数值记为 $y_3$……继续下去,则 $y_1=$
$-\frac{3}{2}$
, $y_2=$ $2$
, $y_3=$ $-\frac{1}{3}$
, $y_{2030}=$ $2$
.答案
12.$-\frac{3}{2}$；2；$-\frac{1}{3}$；2
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先按照题目给出的代入规则，依次计算前几个函数值，计算时注意分数、负数的运算规则，观察数值变化规律，确认循环周期；再用所求项的序号除以周期，根据余数对应周期内的数值，即可求出结果。
【解析】
1. 计算$y_1$：
将$x=\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$。
2. 计算$y_2$：
先求代入的$x$值：$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$。
3. 计算$y_3$：
先求代入的$x$值：$x=y_2+1=2+1=3$，代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_3=-\frac{1}{3}$。
4. 找循环周期：
计算$y_4$的代入$x$值：$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，和初始代入的$x$值相同，说明函数值每3个为一个循环周期，循环顺序为$-\frac{3}{2}、2、-\frac{1}{3}$。
5. 计算$y_{2030}$：
$2030÷3=676······2$，余数为2，对应周期内第2个值，即$y_{2030}=2$。
【答案】
$-\frac{3}{2}$；$2$；$-\frac{1}{3}$；$2$
【知识点】
反比例函数求值；周期规律应用
【点评】
本题既考查反比例函数基础代入运算能力，也考查规律观察归纳能力，计算时要注意符号规则，找到循环周期是解决最后一问的核心。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：首先按照题目给出的代入规则，依次计算前几个函数值，计算时注意分数、负数的运算规则，观察数值变化规律，确认循环周期；再用所求项的序号除以周期，根据余数对应周期内的数值，即可求出结果。
【解析】
1. 计算$y_1$：
将$x=\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$。
2. 计算$y_2$：
先求代入的$x$值：$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$。
3. 计算$y_3$：
先求代入的$x$值：$x=y_2+1=2+1=3$，代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_3=-\frac{1}{3}$。
4. 找循环周期：
计算$y_4$的代入$x$值：$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，和初始代入的$x$值相同，说明函数值每3个为一个循环周期，循环顺序为$-\frac{3}{2}、2、-\frac{1}{3}$。
5. 计算$y_{2030}$：
$2030÷3=676······2$，余数为2，对应周期内第2个值，即$y_{2030}=2$。
【答案】
$-\frac{3}{2}$；$2$；$-\frac{1}{3}$；$2$
【知识点】
反比例函数求值；周期规律应用
【点评】
本题既考查反比例函数基础代入运算能力，也考查规律观察归纳能力，计算时要注意符号规则，找到循环周期是解决最后一问的核心。
【难度系数】
0.7
13.已知$y=y_1+2y_2$，$y_1$与$x-2$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，且当$x=1$时，$y=-1$；当$x=2$时，$y=3$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)当$x=3$时，求$y$的值.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)当$x=3$时，求$y$的值.
答案
13.解：(1)$y=7(x-2)+\frac{6}{x}=7x+\frac{6}{x}-14$.(2)当$x=3$时,$y=7×3+\frac{6}{3}-14=9$.
解析
【分析】
解决本题的思路如下：
第(1)问：①根据正比例、反比例函数的定义，分别用不同的比例系数设出$y_1$、$y_2$的解析式；②将$y_1$、$y_2$代入$y=y_1+2y_2$，得到含两个未知系数的$y$关于$x$的表达式；③把题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于两个比例系数的二元一次方程组；④解方程组求出比例系数，代回表达式即可得到函数解析式。
第(2)问：直接将$x=3$代入第(1)问求出的解析式，计算即可得到对应的$y$值。
【解析】
(1) 解：
∵ $y_1$与$x-2$成正比例，
∴ 设$y_1=k_1(x-2)$（$k_1≠0$），
∵ $y_2$与$x$成反比例，
∴ 设$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
将$y_1$、$y_2$代入$y=y_1+2y_2$，可得：
$y=k_1(x-2)+\frac{2k_2}{x}$
把$x=1,y=-1$和$x=2,y=3$分别代入上式，得方程组：
$\begin{cases}-k_1+2k_2=-1 \\k_2=3\end{cases}$
把$k_2=3$代入第一个方程，解得$k_1=7$，
将$k_1=7$、$k_2=3$代回$y$的表达式，得：
$y=7(x-2)+\frac{6}{x}=7x+\frac{6}{x}-14$
(2) 当$x=3$时，代入上述解析式计算：
$y=7×3+\frac{6}{3}-14=21+2-14=9$
【答案】
(1)$y=7x+\frac{6}{x}-14$（或$y=7(x-2)+\frac{6}{x}$）；(2)$9$
【知识点】
1.正比例函数定义 2.反比例函数定义 3.待定系数法求解析式
【点评】
本题为基础题型，核心考查正、反比例函数的概念及待定系数法的应用，解题关键是正确设出函数表达式，代入已知条件求解参数，计算过程难度较低，需注意区分两个不同的比例系数，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路如下：
第(1)问：①根据正比例、反比例函数的定义，分别用不同的比例系数设出$y_1$、$y_2$的解析式；②将$y_1$、$y_2$代入$y=y_1+2y_2$，得到含两个未知系数的$y$关于$x$的表达式；③把题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于两个比例系数的二元一次方程组；④解方程组求出比例系数，代回表达式即可得到函数解析式。
第(2)问：直接将$x=3$代入第(1)问求出的解析式，计算即可得到对应的$y$值。
【解析】
(1) 解：
∵ $y_1$与$x-2$成正比例，
∴ 设$y_1=k_1(x-2)$（$k_1≠0$），
∵ $y_2$与$x$成反比例，
∴ 设$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
将$y_1$、$y_2$代入$y=y_1+2y_2$，可得：
$y=k_1(x-2)+\frac{2k_2}{x}$
把$x=1,y=-1$和$x=2,y=3$分别代入上式，得方程组：
$\begin{cases}-k_1+2k_2=-1 \\k_2=3\end{cases}$
把$k_2=3$代入第一个方程，解得$k_1=7$，
将$k_1=7$、$k_2=3$代回$y$的表达式，得：
$y=7(x-2)+\frac{6}{x}=7x+\frac{6}{x}-14$
(2) 当$x=3$时，代入上述解析式计算：
$y=7×3+\frac{6}{3}-14=21+2-14=9$
【答案】
(1)$y=7x+\frac{6}{x}-14$（或$y=7(x-2)+\frac{6}{x}$）；(2)$9$
【知识点】
1.正比例函数定义 2.反比例函数定义 3.待定系数法求解析式
【点评】
本题为基础题型，核心考查正、反比例函数的概念及待定系数法的应用，解题关键是正确设出函数表达式，代入已知条件求解参数，计算过程难度较低，需注意区分两个不同的比例系数，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
14. 模型观念 李贝说：“在如图所示的矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是边BC上一动点，连接AP，过点D作DE⊥AP于点E。设AP=x(6≤x≤10)，DE=y，则y是x的反比例函数。”你认为李贝的说法正确吗？请说明理由.
答案
14.解：李贝的说法正确.理由略.
解析
【分析】
要判断y是否为x的反比例函数，根据反比例函数的定义，只需推导得出y与x满足y=k/x（k为常数，k≠0）的形式，即验证xy为定值即可。我们可以通过△APD的面积建立x和y的等量关系：△APD的面积既可通过AP和DE计算，也可结合矩形性质求出固定面积，从而得到x与y的乘积为定值，完成判定。
【解析】
李贝的说法正确，理由如下：
连接DP，
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，
∴AD=BC=8，$S_{矩形ABCD}=AB×BC=6×8=48$，
∵△APD以AD为底时，高等于AB的长度，
∴$S_{△APD}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×48=24$，
又
∵DE⊥AP，AP=x，DE=y，
∴$S_{△APD}=\frac{1}{2}·AP·DE=\frac{1}{2}xy$，
∴$\frac{1}{2}xy=24$，整理得$xy=48$，即$y=\frac{48}{x}$（6≤x≤10），符合反比例函数的定义，
因此y是x的反比例函数，李贝的说法正确。
【答案】
李贝的说法正确。
【知识点】
反比例函数的概念；矩形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题结合矩形动点场景考查反比例函数的判定，解题的核心是利用面积法快速得到两个变量的乘积为定值，也可通过证明△ABP∽△DEA推导关系，方法灵活，能锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
要判断y是否为x的反比例函数，根据反比例函数的定义，只需推导得出y与x满足y=k/x（k为常数，k≠0）的形式，即验证xy为定值即可。我们可以通过△APD的面积建立x和y的等量关系：△APD的面积既可通过AP和DE计算，也可结合矩形性质求出固定面积，从而得到x与y的乘积为定值，完成判定。
【解析】
李贝的说法正确，理由如下：
连接DP，
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，
∴AD=BC=8，$S_{矩形ABCD}=AB×BC=6×8=48$，
∵△APD以AD为底时，高等于AB的长度，
∴$S_{△APD}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×48=24$，
又
∵DE⊥AP，AP=x，DE=y，
∴$S_{△APD}=\frac{1}{2}·AP·DE=\frac{1}{2}xy$，
∴$\frac{1}{2}xy=24$，整理得$xy=48$，即$y=\frac{48}{x}$（6≤x≤10），符合反比例函数的定义，
因此y是x的反比例函数，李贝的说法正确。
【答案】
李贝的说法正确。
【知识点】
反比例函数的概念；矩形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题结合矩形动点场景考查反比例函数的判定，解题的核心是利用面积法快速得到两个变量的乘积为定值，也可通过证明△ABP∽△DEA推导关系，方法灵活，能锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
