登录
6. 如图所示，利用函数图象回答下列问题.
（1）方程组$\begin{cases} x + y = 3, \\ y = 2x \end{cases}$的解为________；
（2）不等式$2x ＞ -x + 3$的解集为________；
（3）不等式$2x ＜ -x + 3$的解集为________.
（1）方程组$\begin{cases} x + y = 3, \\ y = 2x \end{cases}$的解为________；
（2）不等式$2x ＞ -x + 3$的解集为________；
（3）不等式$2x ＜ -x + 3$的解集为________.
答案
6. (1) $\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
(2) $x＞1$
(3) $x＜1$
(2) $x＞1$
(3) $x＜1$
解析
【分析】
首先明确一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式的对应关系：①两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解；②一元一次不等式$k_1x+b_1 ＞ k_2x+b_2$的解集，就是函数$y=k_1x+b_1$的图象在$y=k_2x+b_2$图象上方时对应的$x$的取值范围，小于号对应的就是函数图象在下方时$x$的取值范围。结合图中两个函数的交点坐标，即可依次求解三个问题。
【解析】
（1）二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，观察图象可得$y=2x$与$x+y=3$（即$y=-x+3$）的交点为$(1,2)$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$。
（2）不等式$2x ＞ -x+3$的几何意义是$y=2x$的函数值大于$y=-x+3$的函数值，观察图象可知，当$x＞1$时，$y=2x$的图象在$y=-x+3$图象的上方，满足不等式要求，故解集为$x＞1$。
（3）不等式$2x ＜ -x+3$的几何意义是$y=2x$的函数值小于$y=-x+3$的函数值，观察图象可知，当$x＜1$时，$y=2x$的图象在$y=-x+3$图象的下方，满足不等式要求，故解集为$x＜1$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
(2) $x＞1$
(3) $x＜1$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，核心是理解一次函数的图象特征和代数意义的对应关系，通过观察图象就能快速得到结果，解题时注意区分不等式对应的图象上下位置关系即可。
【难度系数】
0.85
首先明确一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式的对应关系：①两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解；②一元一次不等式$k_1x+b_1 ＞ k_2x+b_2$的解集，就是函数$y=k_1x+b_1$的图象在$y=k_2x+b_2$图象上方时对应的$x$的取值范围，小于号对应的就是函数图象在下方时$x$的取值范围。结合图中两个函数的交点坐标，即可依次求解三个问题。
【解析】
（1）二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，观察图象可得$y=2x$与$x+y=3$（即$y=-x+3$）的交点为$(1,2)$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$。
（2）不等式$2x ＞ -x+3$的几何意义是$y=2x$的函数值大于$y=-x+3$的函数值，观察图象可知，当$x＞1$时，$y=2x$的图象在$y=-x+3$图象的上方，满足不等式要求，故解集为$x＞1$。
（3）不等式$2x ＜ -x+3$的几何意义是$y=2x$的函数值小于$y=-x+3$的函数值，观察图象可知，当$x＜1$时，$y=2x$的图象在$y=-x+3$图象的下方，满足不等式要求，故解集为$x＜1$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
(2) $x＞1$
(3) $x＜1$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，核心是理解一次函数的图象特征和代数意义的对应关系，通过观察图象就能快速得到结果，解题时注意区分不等式对应的图象上下位置关系即可。
【难度系数】
0.85
7. 如图，一次函数$y=-x-2$与$y=2x+m$的图象相交于点$P(n, -4)$，则关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x + m ＜ -x - 2, \\ -x - 2 ＜ 0\end{cases}$的解集为________.
答案
7.$-2＜x＜2$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先利用点P在一次函数$y=-x-2$的图像上，将P点纵坐标代入解析式求出$n$的值，得到交点P的横坐标；第二步，分析第一个不等式$2x+m＜-x-2$的几何意义：即$y=2x+m$的图像位于$y=-x-2$图像下方时对应的$x$的取值范围，结合交点横坐标即可得到第一个不等式的解集；第三步，解第二个一元一次不等式$-x-2＜0$，最后取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集。
【解析】
1. 求点P的横坐标：
∵ 点$P(n, -4)$在一次函数$y=-x-2$的图象上，
∴ 将$y=-4$代入$y=-x-2$得：$-4 = -n -2$，
解得$n=2$，即交点P的横坐标为2。
2. 解第一个不等式$2x+m ＜ -x-2$：
结合一次函数图像，不等式$2x+m ＜ -x-2$表示$y=2x+m$的图象在$y=-x-2$图象下方的部分，两函数交点横坐标为2，观察图象可得此时$x$的取值范围是$x ＜ 2$。
3. 解第二个不等式$-x-2 ＜ 0$：
移项得：$-x ＜ 2$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x ＞ -2$。
4. 求不等式组的解集：
两个不等式的解集分别为$x＜2$和$x＞-2$，取公共部分得$-2 ＜ x ＜ 2$。
【答案】
$-2＜x＜2$
【知识点】
一次函数与不等式的关系，解一元一次不等式组，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题将一次函数图象和不等式组结合考察，核心是理解一次函数图象的高低位置对应函数值的大小关系，运用数形结合的思想能快速求出不等式的解集，是一次函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先利用点P在一次函数$y=-x-2$的图像上，将P点纵坐标代入解析式求出$n$的值，得到交点P的横坐标；第二步，分析第一个不等式$2x+m＜-x-2$的几何意义：即$y=2x+m$的图像位于$y=-x-2$图像下方时对应的$x$的取值范围，结合交点横坐标即可得到第一个不等式的解集；第三步，解第二个一元一次不等式$-x-2＜0$，最后取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集。
【解析】
1. 求点P的横坐标：
∵ 点$P(n, -4)$在一次函数$y=-x-2$的图象上，
∴ 将$y=-4$代入$y=-x-2$得：$-4 = -n -2$，
解得$n=2$，即交点P的横坐标为2。
2. 解第一个不等式$2x+m ＜ -x-2$：
结合一次函数图像，不等式$2x+m ＜ -x-2$表示$y=2x+m$的图象在$y=-x-2$图象下方的部分，两函数交点横坐标为2，观察图象可得此时$x$的取值范围是$x ＜ 2$。
3. 解第二个不等式$-x-2 ＜ 0$：
移项得：$-x ＜ 2$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x ＞ -2$。
4. 求不等式组的解集：
两个不等式的解集分别为$x＜2$和$x＞-2$，取公共部分得$-2 ＜ x ＜ 2$。
【答案】
$-2＜x＜2$
【知识点】
一次函数与不等式的关系，解一元一次不等式组，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题将一次函数图象和不等式组结合考察，核心是理解一次函数图象的高低位置对应函数值的大小关系，运用数形结合的思想能快速求出不等式的解集，是一次函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
8. 小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16 min回到家中.设小明出发第t min时的速度为v m/min，离家的距离为s m，v与t之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）.
（1）小明出发第2 min时离家的距离为
（2）当2＜t≤5时，求s与t之间的函数表达式；
（3）画出s与t之间的函数图象.
（1）小明出发第2 min时离家的距离为
200
m；（2）当2＜t≤5时，求s与t之间的函数表达式；
（3）画出s与t之间的函数图象.
答案
8. (1) 200
(2) $s=160t-120$
(3) $s$与$t$之间的函数关系式为$S=\begin{cases} 100t(0 ≤ t ≤ 2), \\ 160t - 120(2 ＜ t ≤ 5), \\ 80t + 280(5 ＜ t ≤ 6.25), \\ 1280 - 80t(6.25 ＜ t ≤ 16), \end{cases}$ 图略.
(2) $s=160t-120$
(3) $s$与$t$之间的函数关系式为$S=\begin{cases} 100t(0 ≤ t ≤ 2), \\ 160t - 120(2 ＜ t ≤ 5), \\ 80t + 280(5 ＜ t ≤ 6.25), \\ 1280 - 80t(6.25 ＜ t ≤ 16), \end{cases}$ 图略.
解析
【分析】
解决这道题首先要理解速度-时间图象的含义，速度乘对应时间就是该时间段行驶的路程，再结合离家距离的变化分阶段分析：
1. 第（1）问：0~2min小明速度恒定为100m/min，直接用路程=速度×时间计算即可；
2. 第（2）问：2＜t≤5时，小明速度变为160m/min，此时离家的距离等于前2分钟走的路程加上2min后到t min走的路程，代入化简就能得到函数表达式；
3. 第（3）问：分四个阶段分析：①0≤t≤2的匀速前进阶段；②2＜t≤5的提速前进阶段；③5＜t≤6.25的减速前进阶段（直到到达最远点）；④6.25＜t≤16的原路返回阶段，分别求出每个阶段的函数表达式，再根据表达式描点连线画出图象即可。
【解析】
（1）0~2min时，小明的速度为100m/min，
则第2min时离家的距离：$s=100×2=200\ \mathrm{m}$。
（2）当$2＜ t≤5$时，小明前2min已经走了200m，该时间段速度为160m/min，
因此$s=200+160(t-2)$，
化简得：$s=160t-120$。
（3）分阶段求s与t的函数关系式：
①当$0≤ t≤2$时，速度为100m/min，故$s=100t$；
②当$2＜ t≤5$时，由（2）得$s=160t-120$，代入t=5得此时$s=160×5-120=680\ \mathrm{m}$；
③设小明出发$t_0$ min时到达最远点，此时开始原路返回，速度为80m/min，到16min时回到家（s=0）：
当$5＜ t≤ t_0$时，$s=680+80(t-5)=80t+280$；
当$t_0＜ t≤16$时，$s=s_{\mathrm{max}}-80(t-t_0)$，代入t=16时s=0，解得$t_0=6.25\ \mathrm{min}$，$s_{\mathrm{max}}=780\ \mathrm{m}$，因此该段表达式为$s=1280-80t$。
综上s与t的函数关系式为：
$S=\begin{cases} 100t(0 ≤ t ≤ 2), \\ 160t - 120(2 ＜ t ≤ 5), \\ 80t + 280(5 ＜ t ≤ 6.25), \\ 1280 - 80t(6.25 ＜ t ≤ 16), \end{cases}$
根据分段函数的端点坐标，依次连接各段端点即可画出s与t的函数图象（图略）。
【答案】
(1) $\boxed{200}$
(2) $\boxed{s=160t-120}$
(3) 函数关系式见解析，图象略
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，图像信息分析
【点评】
本题结合实际行程问题考查一次函数的相关知识，需要学生准确读懂速度时间图象，能分阶段分析路程的变化规律，对学生的信息提取能力和分类讨论能力有一定要求，掌握路程、速度、时间的关系是解题的基础。
【难度系数】
0.65
解决这道题首先要理解速度-时间图象的含义，速度乘对应时间就是该时间段行驶的路程，再结合离家距离的变化分阶段分析：
1. 第（1）问：0~2min小明速度恒定为100m/min，直接用路程=速度×时间计算即可；
2. 第（2）问：2＜t≤5时，小明速度变为160m/min，此时离家的距离等于前2分钟走的路程加上2min后到t min走的路程，代入化简就能得到函数表达式；
3. 第（3）问：分四个阶段分析：①0≤t≤2的匀速前进阶段；②2＜t≤5的提速前进阶段；③5＜t≤6.25的减速前进阶段（直到到达最远点）；④6.25＜t≤16的原路返回阶段，分别求出每个阶段的函数表达式，再根据表达式描点连线画出图象即可。
【解析】
（1）0~2min时，小明的速度为100m/min，
则第2min时离家的距离：$s=100×2=200\ \mathrm{m}$。
（2）当$2＜ t≤5$时，小明前2min已经走了200m，该时间段速度为160m/min，
因此$s=200+160(t-2)$，
化简得：$s=160t-120$。
（3）分阶段求s与t的函数关系式：
①当$0≤ t≤2$时，速度为100m/min，故$s=100t$；
②当$2＜ t≤5$时，由（2）得$s=160t-120$，代入t=5得此时$s=160×5-120=680\ \mathrm{m}$；
③设小明出发$t_0$ min时到达最远点，此时开始原路返回，速度为80m/min，到16min时回到家（s=0）：
当$5＜ t≤ t_0$时，$s=680+80(t-5)=80t+280$；
当$t_0＜ t≤16$时，$s=s_{\mathrm{max}}-80(t-t_0)$，代入t=16时s=0，解得$t_0=6.25\ \mathrm{min}$，$s_{\mathrm{max}}=780\ \mathrm{m}$，因此该段表达式为$s=1280-80t$。
综上s与t的函数关系式为：
$S=\begin{cases} 100t(0 ≤ t ≤ 2), \\ 160t - 120(2 ＜ t ≤ 5), \\ 80t + 280(5 ＜ t ≤ 6.25), \\ 1280 - 80t(6.25 ＜ t ≤ 16), \end{cases}$
根据分段函数的端点坐标，依次连接各段端点即可画出s与t的函数图象（图略）。
【答案】
(1) $\boxed{200}$
(2) $\boxed{s=160t-120}$
(3) 函数关系式见解析，图象略
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，图像信息分析
【点评】
本题结合实际行程问题考查一次函数的相关知识，需要学生准确读懂速度时间图象，能分阶段分析路程的变化规律，对学生的信息提取能力和分类讨论能力有一定要求，掌握路程、速度、时间的关系是解题的基础。
【难度系数】
0.65
