9. 已知一次函数$y=(k-1)x-2k+1$（$k≠1$）.
（1）在所给的平面直角坐标系中，分别画出当$k=2$和$k=3$时的函数图象；
（2）求证：无论$k$为何值时，一次函数$y=(k-1)x-2k+1$的图象必经过一定点；
（3）当$2＜k＜3$时，若点$A(m,n)$和点$B(m+2,2n+1)$在一次函数$y=(k-1)x-2k+1$的图象上，求$n$的取值范围.

9. (1) 略.
(2) 图象必经过一定点$(2, -1)$，证明略.
(3) 因为点$A(m, n)$和点$B(m+2, 2n+1)$在一次函数$y=(k-1)x-2k+1$的图象上，所以
$\begin{cases} n = (k - 1)m - 2k + 1, \\ 2n + 1 = (k - 1)(m + 2) - 2k + 1, \end{cases}$
消去$m$得$k=\dfrac{n + 3}{2}$. 由$2＜k＜3$，得$2＜\dfrac{n + 3}{2}＜3$，解得$1＜n＜3$.

【分析】
（1）要画指定k值的一次函数图象，只需将k值代入解析式得到具体的一次函数，再选取两个方便计算的点（如与坐标轴的交点），描点连线即可。
（2）要证明函数图象过定点，说明这个点的坐标与k的取值无关，因此可以将解析式中含k的项合并，令k的系数为0，即可求出定点的横坐标，再代入求纵坐标即可验证。
（3）已知两点在函数图象上，可将两点坐标分别代入解析式得到两个方程，通过消元法消去参数m，得到n和k的关系式，再结合k的取值范围，解一元一次不等式即可求出n的取值范围。
【解析】
（1）当$k=2$时，函数解析式为$y=(2-1)x -2×2 +1=x-3$，选取点$(0,-3)$和$(3,0)$，两点连线即为该函数图象；当$k=3$时，函数解析式为$y=(3-1)x -2×3 +1=2x-5$，选取点$(0,-5)$和$(\frac{5}{2},0)$，两点连线即为该函数图象，画图略。
（2）证明：将函数解析式变形：
$y=(k-1)x-2k+1=k(x-2)-x+1$
当$x=2$时，$y=k×0 -2 +1=-1$，此时y的值与k的取值无关，因此无论k为何值，一次函数图象必经过定点$(2,-1)$。
（3）
∵点$A(m,n)$和$B(m+2,2n+1)$在一次函数图象上，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} n = (k - 1)m - 2k + 1 \quad① \\ 2n + 1 = (k - 1)(m + 2) - 2k + 1 \quad② \end{cases}$
用②式减去①式，消去m：
$2n+1 -n = (k-1)(m+2) -2k +1 - [(k-1)m -2k +1]$
化简得：$n+1=2(k-1)$，整理得$k=\frac{n+3}{2}$
已知$2＜k＜3$，代入得：
$2＜\frac{n+3}{2}＜3$
不等式三边同时乘2得：$4＜n+3＜6$
三边同时减3得：$1＜n＜3$
【答案】
(1) 略；
(2) 一次函数图象必经过定点$\boldsymbol{(2,-1)}$，证明见解析；
(3) $\boldsymbol{1＜n＜3}$
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数定点问题；一元一次不等式的求解
【点评】
本题围绕一次函数设置了梯度分明的三个问题，从基础的图象绘制，到定点规律探究，再结合参数范围求未知量的取值，既考查了一次函数的基础性质，也考查了代入消元、转化化归的数学方法，整体难度适中，能有效检验对一次函数相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7

10. 某商店通过调低价格的方式促销$n$个不同的玩具，调整后的单价$y$（单位：元）与调整前的单价$x$（单位：元）满足一次函数关系，如下表.

已知这$n$个玩具调整后的单价都大于2元.
（1）求$y$与$x$的函数关系式，并确定$x$的取值范围；
（2）某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱？
（3）这$n$个玩具调整前后的平均单价分别为$\bar{x}$、$\bar{y}$，猜想$\bar{y}$与$\bar{x}$的关系式，并写出推导过程.

10. (1) $y=\dfrac{5}{6}x-1$，$x＞\dfrac{18}{5}$.
(2) 19元.
(3) $\bar{y}=\dfrac{5}{6}\bar{x}-1$. 推导过程如下：由(1)，$y_1=\dfrac{5}{6}x_1-1$，$y_2=\dfrac{5}{6}x_2-1$，$···$，$y_n=\dfrac{5}{6}x_n-1$，得
$\bar{y}=\dfrac{1}{n}(y_1+y_2+···+y_n)$
$=\dfrac{1}{n}[(\dfrac{5}{6}x_1 - 1) + (\dfrac{5}{6}x_2 - 1) + ··· + (\dfrac{5}{6}x_n - 1)]$
$=\dfrac{1}{n}[\dfrac{5}{6}(x_1 + x_2 + ··· + x_n) - n]$
$=\dfrac{5}{6}×\dfrac{x_1 + x_2 + ··· + x_n}{n} -1=\dfrac{5}{6}\bar{x}-1.$

【分析】
（1）已知y是x的一次函数，先设解析式为$y=kx+b(k≠0)$，选取表格中两组已知的x、y对应值代入，解二元一次方程组求出k、b即可得到函数关系式；再根据“调整后单价大于2元”的条件列不等式，求解得到x的取值范围。
（2）将调整前单价108代入第一问得到的函数关系式，求出调整后单价，用调整前单价减去调整后单价即可得到节省的金额。
（3）根据平均数的定义，结合每个y与对应x的函数关系，将y的总和用x的总和表示，整理后即可得到平均单价$\bar{y}$与$\bar{x}$的关系式。
【解析】
（1）设y与x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$\begin{cases}x=6,y=4 \\x=72,y=59 \end{cases}$代入解析式得：
$\begin{cases}6k+b=4 \\72k+b=59 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$66k=55$，解得$k=\dfrac{5}{6}$，
将$k=\dfrac{5}{6}$代入$6k+b=4$，得$5+b=4$，解得$b=-1$，
因此函数关系式为$y=\dfrac{5}{6}x-1$。
由题意得调整后单价$y＞2$，即$\dfrac{5}{6}x-1＞2$，
解不等式得$\dfrac{5}{6}x＞3$，即$x＞\dfrac{18}{5}$。
（2）把$x=108$代入$y=\dfrac{5}{6}x-1$，得：
$y=\dfrac{5}{6}×108-1=90-1=89$（元）
节省的金额为$108-89=19$（元）。
（3）猜想$\bar{y}=\dfrac{5}{6}\bar{x}-1$，推导如下：
由（1）得$y_i=\dfrac{5}{6}x_i-1$（$i=1,2,\dots,n$），
根据平均数定义：
$\bar{y}=\dfrac{1}{n}(y_1+y_2+\dots+y_n)$
$=\dfrac{1}{n}[(\dfrac{5}{6}x_1-1)+(\dfrac{5}{6}x_2-1)+\dots+(\dfrac{5}{6}x_n-1)]$
$=\dfrac{1}{n}[\dfrac{5}{6}(x_1+x_2+\dots+x_n)-n]$
$=\dfrac{5}{6}×\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}-1$
又因为$\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，所以$\bar{y}=\dfrac{5}{6}\bar{x}-1$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{5}{6}x-1$，$x＞\dfrac{18}{5}$
(2) 19元
(3) $\bar{y}=\dfrac{5}{6}\bar{x}-1$，推导过程见解析
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数实际应用
3. 平均数计算
【点评】
本题结合促销的实际情境考查一次函数相关知识，覆盖了函数解析式求解、不等式计算、平均数性质推导等考点，侧重基础知识点的灵活运用，解题时需注意结合实际要求确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7