1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）.

A.$9-a^2=(3+a)(3-a)$
B.$x^2-2x=(x^2-x)-x$
C.$x+2=x(1+\dfrac{2}{x})$
D.$y(y-2)=y^2-2y$

1.A

【分析】
要判断变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式。判断时需同时满足三个条件：①变形前的式子是多项式；②变形后的结果是几个整式的乘积形式；③变形前后恒等。我们只需逐个核对选项是否满足上述条件即可得出答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。我们逐一分析选项：
A选项：左边$9-a^2$是多项式，右边$(3+a)(3-a)$是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，该选项正确。
B选项：右边$(x^2-x)-x$是减法运算的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解要求，该选项错误。
C选项：右边的因式$1+\dfrac{2}{x}$中$\dfrac{2}{x}$是分式，不是整式，不符合因式分解要求的整式乘积，该选项错误。
D选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，该选项错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的定义；整式的概念；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确理解因式分解的定义，区分开因式分解和整式乘法的互逆关系，同时要注意因式分解结果中的因式必须都是整式，避免出现分式的情况。
【难度系数】
0.8

2. 多项式$6xyz+3xy^2-9x^2y$的公因式是（）.

A.$-3x$
B.$3xz$
C.$3yz$
D.$3xy$

2.D

【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循固定思路：第一步先求各项系数的最大公约数，第二步找出各项都含有的相同字母，再取每个相同字母的最低次幂，最后将系数的最大公约数与各相同字母的最低次幂相乘，所得结果就是公因式，我们按照这个思路逐步分析即可。
【解析】
对多项式$6xyz+3xy^2-9x^2y$的三项分别分析：
1. 确定系数的最大公约数：三项系数为6、3、-9，三者的最大公约数是3；
2. 找公共字母：三项含有的字母分别是$x,y,z$；$x,y$；$x,y$，因此三项共有的字母是$x$和$y$；
3. 取公共字母的最低次幂：$x$在三项中的次数依次为1、1、2，最低次为1次；$y$在三项中的次数依次为1、2、1，最低次为1次。
综上，公因式为$3× x^1× y^1=3xy$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定、最大公约数求解、同底数幂的次数判断
【点评】
本题是公因式判定的基础题型，核心考查找公因式的基本方法，熟练掌握系数和字母两部分的判断规则即可快速得分，是因式分解相关内容的基础考点。
【难度系数】
0.85

3. 下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）.

A.$ m + 1 + \dfrac{m^2}{4} $
B.$ -x^2 + 2xy - y^2 $
C.$ -a^2 + 14a + 49 $
D.$ \dfrac{n^2}{9} - \dfrac{2}{3}n + 1 $

3.C

【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要牢记完全平方公式的结构特征：需为三项式，其中两项是两个数（或整式）的平方且符号相同，第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。解题时我们逐一对每个选项的结构进行分析，对照特征判断即可。
【解析】
完全平方公式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
A选项：$m + 1 + \dfrac{m^2}{4} = (\dfrac{m}{2})^2 + 2×\dfrac{m}{2}×1 + 1^2$，符合完全平方公式的结构，可分解为$(\dfrac{m}{2}+1)^2$，不符合题意；
B选项：先提取负号得$-x^2 + 2xy - y^2 = -(x^2 - 2xy + y^2)$，括号内的三项符合完全平方公式结构，可分解为$-(x-y)^2$，不符合题意；
C选项：$-a^2 + 14a + 49$中，平方项$-a^2$和$49=7^2$符号相反，若提取负号得$-(a^2 -14a -49)$，括号内的常数项为负，和$a^2$符号不同，不满足完全平方公式的结构要求，不能用完全平方公式分解，符合题意；
D选项：$\dfrac{n^2}{9} - \dfrac{2}{3}n + 1 = (\dfrac{n}{3})^2 - 2×\dfrac{n}{3}×1 +1^2$，符合完全平方公式的结构，可分解为$(\dfrac{n}{3}-1)^2$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、因式分解
【点评】
本题重点考查完全平方公式的结构特征，解题时要注意先观察多项式的项数、平方项的符号和中间项的系数关系，遇到首项系数为负的情况可以先提取负号再判断，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.7

4. 若$4x^2+xy+my^2$和$x^2-nxy+64y^2$都是完全平方式，则$m^{2024}· n^{2025}=$.

4.±16

【分析】
解题的核心是利用完全平方公式的结构特征求解参数m、n的值，再结合幂的运算性质简化计算。首先回忆完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，分别对应两个给定的多项式，匹配对应项求出m、n的取值；再将所求的幂运算式子逆用积的乘方公式变形，代入参数计算即可。思考时要注意完全平方式有“和的平方”和“差的平方”两种情况，避免漏解。
【解析】
1. 求参数$m$的值：
已知$4x^2+xy+my^2$是完全平方式，将其与完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$匹配：
首项$4x^2=(2x)^2$，因此$a=2x$，平方项$my^2=b^2$，中间项$xy=\pm2ab=\pm2·2x· b$，即$xy=\pm4x· b$，解得$b=\pm\frac{1}{4}y$。
因此$my^2=b^2=(\pm\frac{1}{4}y)^2=\frac{1}{16}y^2$，可得$m=\frac{1}{16}$。
2. 求参数$n$的值：
已知$x^2-nxy+64y^2$是完全平方式，同理匹配完全平方公式：
首项$x^2=x^2$，尾项$64y^2=(8y)^2$，因此中间项$-nxy=\pm2· x·8y=\pm16xy$，
约去$xy$得$-n=\pm16$，即$n=\pm16$。
3. 计算$m^{2024}· n^{2025}$：
逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，将式子变形：
$m^{2024}· n^{2025}=m^{2024}· n^{2024}· n=(m· n)^{2024}· n$
代入$m=\frac{1}{16}$，$n=\pm16$：
当$n=16$时，原式$=(\frac{1}{16}×16)^{2024}×16=1^{2024}×16=16$；
当$n=-16$时，原式$=(\frac{1}{16}×(-16))^{2024}×(-16)=(-1)^{2024}×(-16)=-16$。
【答案】
$\pm16$
【知识点】
完全平方公式，积的乘方逆运算
【点评】
本题重点考查完全平方公式的应用，解题时需注意完全平方式存在两种结构，不要遗漏负号的情况；同时灵活运用幂的运算性质变形，可以大幅简化高次幂的计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.6

5.若$x^2 - mx + 16$是完全平方式，那么$m=$.

5.±8

【分析】
解题时先回忆完全平方公式的结构特征，完全平方公式有两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即完全平方式的中间项可以为正也可以为负。观察给出的式子$x^2 - mx + 16$，首项是$x$的平方，末项16是4的平方，因此将式子和完全平方公式的结构对应，即可求出中间项系数对应的$m$值，注意要考虑两种完全平方的情况，避免漏解。
【解析】
解：$\because x^2 - mx + 16$是完全平方式，
完全平方公式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$，
对比原式可得：首项$a=x$，末项$b^2=16$，即$b=\pm4$，
$\therefore$ 中间项为$\pm 2ab=\pm 2× x×4=\pm8x$，
即原式的中间项$-mx=\pm8x$，
当$-mx=8x$时，$m=-8$；
当$-mx=-8x$时，$m=8$；
综上，$m=\pm8$。
【答案】
$\pm8$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 完全平方式的特征
【点评】
本题是完全平方式的典型应用题，核心考查对完全平方公式两种形式的掌握，易错点是容易忽略和的平方、差的平方两种情况，导致只求出一个$m$的值，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

6. 已知$a+b=2$，$ab=-5$，则代数式$a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值为________.

6.-20

【分析】
观察所求代数式的结构，各项都含有公因式$ab$，可先提取公因式，再对剩余的多项式利用完全平方公式因式分解，把代数式转化为含$a+b$和$ab$的形式，最后整体代入已知数值计算即可，不需要单独求解$a$、$b$的值，能简化计算过程。
【解析】
解：对代数式$a^3b+2a^2b^2+ab^3$因式分解：
1. 提取公因式$ab$：
原式$=ab(a^2+2ab+b^2)$
2. 根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可化简为：
原式$=ab(a+b)^2$
3. 代入已知$a+b=2$，$ab=-5$计算：
原式$=-5×2^2=-5×4=-20$
【答案】
$-20$
【知识点】
因式分解；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，解题核心是熟练掌握提公因式法、公式法分解因式的方法，运用整体代入思想可避开求解单个未知数，有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7

7. 已知$a^2 + 4a + 4 + |b - 3| = 0$，则$a + b = \underline{\hspace{5em}}$.

7.1

【分析】
首先观察等式左侧结构，前三项$a^2+4a+4$符合完全平方公式的形式，可先配方转化为平方形式，此时等式变为平方项加绝对值项等于0的形式。根据八年级所学的非负数性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此可分别列方程求出a、b的值，最后代入计算$a+b$即可。
【解析】
解：对原式左侧的多项式利用完全平方公式变形：
$a^2+4a+4=(a+2)^2$，
因此原式可化为：$\boldsymbol{(a+2)^2 + |b-3| = 0}$。
∵ 平方数和绝对值都是非负数，即$(a+2)^2≥0$，$|b-3|≥0$，
两个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，
∴ $a+2=0$，$b-3=0$，
解得：$a=-2$，$b=3$，
代入得：$a+b=-2+3=1$。
【答案】
1
【知识点】
完全平方公式；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查非负数性质的应用，解题的前提是熟练掌握完全平方公式的变形，只要掌握“多个非负数和为0则每个非负数均为0”的结论即可快速求解。
【难度系数】
0.9

8. 观察下列各式：$1^{2}+1=1×2$，$2^{2}+2=2×3$，$3^{2}+3=3×4$，……请你将猜想到的规律用自然数$n\ (n≥1)$的式子表示出来：.

8.$n^2+n=n(n+1)$

【分析】
我们可以先观察给出的式子和对应序数的关系：式子的序数是几，左边就是几的平方加几，右边就是几乘比它大1的数。我们用自然数n代表式子的序数（n≥1），先对应写出n取1、2、3时左右两边的表达式，再归纳出通用的表达式，最后可以通过因式分解验证这个表达式是否成立。
【解析】
观察给出的等式：
当n=1时，左边=$1^2+1$，右边=$1×(1+1)=1×2$，等式成立；
当n=2时，左边=$2^2+2$，右边=$2×(2+1)=2×3$，等式成立；
当n=3时，左边=$3^2+3$，右边=$3×(3+1)=3×4$，等式成立；
……
以此类推，对任意自然数n≥1，左边为$n^2+n$，对左边提取公因式n可得$n(n+1)$，与右边形式一致。
因此规律用含n的式子表示为$n^2+n=n(n+1)$。
【答案】
$n^2+n=n(n+1)$
【知识点】
数字规律探究，提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础的规律探究类题型，重点考查观察、归纳总结的能力，同时结合因式分解可快速验证规律的正确性，是代数规律类问题的常见基础考法。
【难度系数】
0.8

9. 把下列各式分解因式：
(1) $x^2y - y$；
(2) $-4a^2 + 4a - 1$；
(3) $4(2p + 3q)^2 - (3p - q)^2$；
(4) $2(a - 3)^2 - a + 3$；
(5) $a^4 - 2a^2b^2 + b^4$；
(6) $-2ax^{n-1} - 18ax^{n+1} + 12ax^n$；
(7) $(a + 2)(a - 8) + 6a$；
(8) $(m + n)(p + q) - (m + n)(p - q)$。

9.(1) $y(x+1)(x-1)$.
(2) $-(2a-1)^2$.
(3) $(7p+5q)(p+7q)$.
(4)$(a-3)(2a-7)$.
(5)$(a+b)^2(a-b)^2$.
(6)$-2ax^{n-1}(3x-1)^2$.
(7)$(a+4)(a-4)$.
(8)$2q(m+n)$.

【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的基本思路：第一步先观察多项式是否含有公因式，有公因式优先提取公因式，注意符号处理；第二步提取公因式后（或无公因式时），根据剩余式子的结构选择公式，两项优先考虑平方差公式，三项优先考虑完全平方公式，出现相同整体结构时可将整体视为单个元素简化运算；第三步最后检查分解是否彻底，所有因式均不能再分解为止，我们按这个思路逐个求解即可。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$y$，得$y(x^2-1)$；第二步剩余部分符合平方差公式，继续分解：
$x^2y - y=y(x^2-1)=y(x+1)(x-1)$
(2) 第一步先提取负号，得$-(4a^2-4a+1)$；第二步剩余部分符合完全平方公式，继续分解：
$-4a^2 + 4a - 1=-(4a^2-4a+1)=-(2a-1)^2$
(3) 原式可变形为$[2(2p+3q)]^2-(3p-q)^2$，符合平方差公式结构，令$a=2(2p+3q)=4p+6q$，$b=3p-q$：
$4(2p + 3q)^2 - (3p - q)^2=(4p+6q+3p-q)(4p+6q-3p+q)=(7p+5q)(p+7q)$
(4) 先将后两项变形为$-(a-3)$，再提取公因式$(a-3)$后化简：
$2(a - 3)^2 - a + 3=2(a-3)^2-(a-3)=(a-3)[2(a-3)-1]=(a-3)(2a-7)$
(5) 原式先按完全平方公式分解，再对剩余因式用平方差公式分解：
$a^4 - 2a^2b^2 + b^4=(a^2-b^2)^2=[(a+b)(a-b)]^2=(a+b)^2(a-b)^2$
(6) 第一步提取公因式$-2ax^{n-1}$，剩余部分按完全平方公式分解：
$-2ax^{n-1} - 18ax^{n+1} + 12ax^n=-2ax^{n-1}(1+9x^2-6x)=-2ax^{n-1}(3x-1)^2$
(7) 先展开整式乘法合并同类项，再用平方差公式分解：
$(a + 2)(a - 8) + 6a=a^2-6a-16+6a=a^2-16=(a+4)(a-4)$
(8) 提取公因式$(m+n)$后化简括号内的式子：
$(m + n)(p + q) - (m + n)(p - q)=(m+n)[p+q-(p-q)]=(m+n)·2q=2q(m+n)$
【答案】
(1) $y(x+1)(x-1)$
(2) $-(2a-1)^2$
(3) $(7p+5q)(p+7q)$
(4) $(a-3)(2a-7)$
(5) $(a+b)^2(a-b)^2$
(6) $-2ax^{n-1}(3x-1)^2$
(7) $(a+4)(a-4)$
(8) $2q(m+n)$
【知识点】
提公因式法，公式法分解因式，因式分解的步骤
【点评】
本组题目覆盖因式分解的常考题型，解题时要先观察式子特征，灵活运用整体代换思想，注意运算过程中的符号问题，最终要确认分解结果彻底，没有可再分解的因式。
【难度系数】
0.75