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11. 在A市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程量的$\frac{1}{3}$.
（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天；
（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是$\frac{1}{a}$，甲队的工作效率是乙队的$m$倍（$1≤ m≤ 2$），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出$a$关于$m$的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍.
（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天；
（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是$\frac{1}{a}$，甲队的工作效率是乙队的$m$倍（$1≤ m≤ 2$），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出$a$关于$m$的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍.
答案
11.(1) 450天. (2) 根据题意$(\dfrac{1}{a}+\dfrac{m}{a})×40=\dfrac{2}{3}$，得$a=60m+60$. 因为$60＞0$，所以$a$随$m$的增大而增大，即当$m=1$时，$\dfrac{1}{a}$最大，此时$\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{120}$，$\dfrac{1}{120}÷\dfrac{1}{450}=3.75$（倍）.
解析
【分析】
本题属于工程问题，解题核心是将总工程量看作单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的等量关系列方程求解。
（1）先求出甲队的工作效率，设乙队单独完成需x天，表示出乙队效率，根据“甲单独施工30天工作量+甲乙共同施工15天工作量=总工程量的$\frac{1}{3}$”列分式方程即可求解；
（2）先求出剩余工程量，根据“甲乙合作40天工作量=剩余工程量”列等式，整理得到a关于m的函数关系式；要使乙队工作效率最大，即$\frac{1}{a}$最大，结合一次函数的增减性和m的取值范围求出a的最小值，再和乙队原来的效率作比即可。
【解析】
（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，将总工程量看作单位“1”。
由题意得甲队的工作效率为$\frac{1}{150}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{x}$，可列方程：
$\frac{1}{150}×30 + 15×(\frac{1}{150}+\frac{1}{x})=\frac{1}{3}$
化简得：$\frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{15}{x}=\frac{1}{3}$
即$\frac{3}{10}+\frac{15}{x}=\frac{1}{3}$
移项得：$\frac{15}{x}=\frac{1}{3}-\frac{3}{10}=\frac{1}{30}$
解得$x=450$
检验：当$x=450$时，分母不为0，是原方程的解，且符合实际意义。
（2）剩余工程量为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
提高效率后，乙队效率为$\frac{1}{a}$，甲队效率为$\frac{m}{a}$，根据题意得：
$40×(\frac{1}{a}+\frac{m}{a})=\frac{2}{3}$
整理得：$\frac{40(m+1)}{a}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得：$2a=120(m+1)$
即$a=60m+60$（$1≤m≤2$）
乙队的工作效率为$\frac{1}{a}$，要使$\frac{1}{a}$最大，则需$a$最小。
∵$a=60m+60$中，$60＞0$，
∴$a$随$m$的增大而增大，
∴当$m=1$时，$a$取最小值，最小值为$60×1+60=120$，此时乙队最大效率为$\frac{1}{120}$。
原来乙队的工作效率为$\frac{1}{450}$，则倍数为：
$\frac{1}{120}÷\frac{1}{450}=3.75$
【答案】
（1）乙队单独完成这项工程需要450天；
（2）$a=60m+60$（$1≤m≤2$），乙队的最大工作效率是原来的3.75倍。
【知识点】
分式方程的应用；一次函数的性质；工程问题
【点评】
本题以工程建设为背景，考查了工程问题中等量关系的应用，同时结合一次函数增减性求最值，解题时要注意分式方程需检验，求最值时要结合自变量的取值范围判断。
【难度系数】
0.6
本题属于工程问题，解题核心是将总工程量看作单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的等量关系列方程求解。
（1）先求出甲队的工作效率，设乙队单独完成需x天，表示出乙队效率，根据“甲单独施工30天工作量+甲乙共同施工15天工作量=总工程量的$\frac{1}{3}$”列分式方程即可求解；
（2）先求出剩余工程量，根据“甲乙合作40天工作量=剩余工程量”列等式，整理得到a关于m的函数关系式；要使乙队工作效率最大，即$\frac{1}{a}$最大，结合一次函数的增减性和m的取值范围求出a的最小值，再和乙队原来的效率作比即可。
【解析】
（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，将总工程量看作单位“1”。
由题意得甲队的工作效率为$\frac{1}{150}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{x}$，可列方程：
$\frac{1}{150}×30 + 15×(\frac{1}{150}+\frac{1}{x})=\frac{1}{3}$
化简得：$\frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{15}{x}=\frac{1}{3}$
即$\frac{3}{10}+\frac{15}{x}=\frac{1}{3}$
移项得：$\frac{15}{x}=\frac{1}{3}-\frac{3}{10}=\frac{1}{30}$
解得$x=450$
检验：当$x=450$时，分母不为0，是原方程的解，且符合实际意义。
（2）剩余工程量为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
提高效率后，乙队效率为$\frac{1}{a}$，甲队效率为$\frac{m}{a}$，根据题意得：
$40×(\frac{1}{a}+\frac{m}{a})=\frac{2}{3}$
整理得：$\frac{40(m+1)}{a}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得：$2a=120(m+1)$
即$a=60m+60$（$1≤m≤2$）
乙队的工作效率为$\frac{1}{a}$，要使$\frac{1}{a}$最大，则需$a$最小。
∵$a=60m+60$中，$60＞0$，
∴$a$随$m$的增大而增大，
∴当$m=1$时，$a$取最小值，最小值为$60×1+60=120$，此时乙队最大效率为$\frac{1}{120}$。
原来乙队的工作效率为$\frac{1}{450}$，则倍数为：
$\frac{1}{120}÷\frac{1}{450}=3.75$
【答案】
（1）乙队单独完成这项工程需要450天；
（2）$a=60m+60$（$1≤m≤2$），乙队的最大工作效率是原来的3.75倍。
【知识点】
分式方程的应用；一次函数的性质；工程问题
【点评】
本题以工程建设为背景，考查了工程问题中等量关系的应用，同时结合一次函数增减性求最值，解题时要注意分式方程需检验，求最值时要结合自变量的取值范围判断。
【难度系数】
0.6
趣味百宝箱
数学谜语
1. 春雨洒故园.（打一数学家名）
2. 爷爷参加百米赛跑.（打一数学家名）
3. 门捷列夫周期表.（打一数学家名）
4. 虎丘春游.（打一数学家名）
5. 1、2、5.（打一成语）
6. 二四六八十.（打一成语）
数学谜语
1. 春雨洒故园.（打一数学家名）
2. 爷爷参加百米赛跑.（打一数学家名）
3. 门捷列夫周期表.（打一数学家名）
4. 虎丘春游.（打一数学家名）
5. 1、2、5.（打一成语）
6. 二四六八十.（打一成语）
答案
1. 陈景润；2. 祖冲之；3. 华罗庚；4. 苏步青；5. 丢三落四；6. 无独有偶
解析
【分析】
这是趣味数学谜语类题目，分为猜数学家名、猜成语两类，解题思路如下：
1. 猜数学家名的题目：采用会意+谐音的思路，先拆解谜面各部分的含义，再对应匹配我国知名数学家的名字；
2. 猜成语的题目：采用数字规律观察的思路，先梳理给出数字的共同特征、对比正常自然数序列的缺失项，再匹配对应含义的成语。
逐个推导时，先对应每部分的字面义/特征，再组合验证即可。
【解析】
1. “春雨洒”有滋润的含义，取“润”字；“故园”指陈旧的园景，分别取“陈”（陈旧）、“景”（园景）字，组合可得数学家陈景润；
2. “爷爷”对应祖父，取“祖”字；“百米赛跑”是要奋力往前冲，取“冲之”的含义，组合可得数学家祖冲之；
3. 门捷列夫周期表的作用是罗列化学元素，“华”谐音对应“化学”的“化”，“罗”对应罗列的含义，谐音组合可得数学家华罗庚；
4. 虎丘是江苏苏州的知名景点，取“苏”字；“春游”指在春日青景中漫步游览，取“步青”的含义，组合可得数学家苏步青；
5. 正常的自然数1、2之后应接3、4，再到5，本题给出的序列缺少3和4，对应成语丢三落四；
6. 给出的数字2、4、6、8、10都属于偶数，没有奇数（“独”代指单数、奇数），只有偶数，对应成语无独有偶。
【答案】
1. 陈景润；2. 祖冲之；3. 华罗庚；4. 苏步青；5. 丢三落四；6. 无独有偶
【知识点】
数字规律观察，会意谐音推理，数学常识积累
【点评】
这类题目将数学常识和趣味谜语结合，既可以帮助大家积累数学家相关的知识，也能锻炼观察能力和联想推理能力，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
这是趣味数学谜语类题目，分为猜数学家名、猜成语两类，解题思路如下：
1. 猜数学家名的题目：采用会意+谐音的思路，先拆解谜面各部分的含义，再对应匹配我国知名数学家的名字；
2. 猜成语的题目：采用数字规律观察的思路，先梳理给出数字的共同特征、对比正常自然数序列的缺失项，再匹配对应含义的成语。
逐个推导时，先对应每部分的字面义/特征，再组合验证即可。
【解析】
1. “春雨洒”有滋润的含义，取“润”字；“故园”指陈旧的园景，分别取“陈”（陈旧）、“景”（园景）字，组合可得数学家陈景润；
2. “爷爷”对应祖父，取“祖”字；“百米赛跑”是要奋力往前冲，取“冲之”的含义，组合可得数学家祖冲之；
3. 门捷列夫周期表的作用是罗列化学元素，“华”谐音对应“化学”的“化”，“罗”对应罗列的含义，谐音组合可得数学家华罗庚；
4. 虎丘是江苏苏州的知名景点，取“苏”字；“春游”指在春日青景中漫步游览，取“步青”的含义，组合可得数学家苏步青；
5. 正常的自然数1、2之后应接3、4，再到5，本题给出的序列缺少3和4，对应成语丢三落四；
6. 给出的数字2、4、6、8、10都属于偶数，没有奇数（“独”代指单数、奇数），只有偶数，对应成语无独有偶。
【答案】
1. 陈景润；2. 祖冲之；3. 华罗庚；4. 苏步青；5. 丢三落四；6. 无独有偶
【知识点】
数字规律观察，会意谐音推理，数学常识积累
【点评】
这类题目将数学常识和趣味谜语结合，既可以帮助大家积累数学家相关的知识，也能锻炼观察能力和联想推理能力，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
