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8.解下列分式方程:
(1) $\frac{7}{2x + 1}=\frac{5}{2x - 1}$;
(2) $\frac{2}{x + 3}+\frac{3}{2}=\frac{7}{2x + 6}$.
(1) $\frac{7}{2x + 1}=\frac{5}{2x - 1}$;
(2) $\frac{2}{x + 3}+\frac{3}{2}=\frac{7}{2x + 6}$.
答案
8.(1)$x=3$ (2)$x=-2$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是转化思想，即通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根：把求得的根代入最简公分母，若公分母不为0，则是原方程的解，若为0则是增根，需舍去。
(1)题中两个分母分别为2x+1和2x-1，最简公分母为(2x+1)(2x-1)，两边同乘最简公分母即可去分母得到一元一次方程；
(2)题先将分母2x+6因式分解为2(x+3)，可得最简公分母为2(x+3)，两边同乘该公分母即可去分母转化为整式方程求解。
【解析】
(1) 方程两边同时乘最简公分母$(2x+1)(2x-1)$（需满足$2x+1≠0$且$2x-1≠0$，即$x≠\pm\frac{1}{2}$），得：
$7(2x-1)=5(2x+1)$
展开得：$14x-7=10x+5$
移项、合并同类项得：$4x=12$
系数化为1得：$x=3$
检验：把$x=3$代入$(2x+1)(2x-1)=(6+1)(6-1)=35≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
(2) 先整理分母：$2x+6=2(x+3)$，方程两边同时乘最简公分母$2(x+3)$（需满足$x+3≠0$，即$x≠-3$），得：
$2×2 + 3(x+3)=7$
展开得：$4+3x+9=7$
合并同类项得：$3x+13=7$
移项、合并同类项得：$3x=-6$
系数化为1得：$x=-2$
检验：把$x=-2$代入$2(x+3)=2×(-2+3)=2≠0$，因此$x=-2$是原分式方程的解。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=-2$
【知识点】
分式方程的解法，一元一次方程的解法，分式方程验根
【点评】
这两道题是分式方程的基础练习题，重点考查分式方程的求解步骤，易错点是去分母时漏乘不含分母的项，以及忘记检验增根，解题时要严格按照步骤操作。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是转化思想，即通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根：把求得的根代入最简公分母，若公分母不为0，则是原方程的解，若为0则是增根，需舍去。
(1)题中两个分母分别为2x+1和2x-1，最简公分母为(2x+1)(2x-1)，两边同乘最简公分母即可去分母得到一元一次方程；
(2)题先将分母2x+6因式分解为2(x+3)，可得最简公分母为2(x+3)，两边同乘该公分母即可去分母转化为整式方程求解。
【解析】
(1) 方程两边同时乘最简公分母$(2x+1)(2x-1)$（需满足$2x+1≠0$且$2x-1≠0$，即$x≠\pm\frac{1}{2}$），得：
$7(2x-1)=5(2x+1)$
展开得：$14x-7=10x+5$
移项、合并同类项得：$4x=12$
系数化为1得：$x=3$
检验：把$x=3$代入$(2x+1)(2x-1)=(6+1)(6-1)=35≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
(2) 先整理分母：$2x+6=2(x+3)$，方程两边同时乘最简公分母$2(x+3)$（需满足$x+3≠0$，即$x≠-3$），得：
$2×2 + 3(x+3)=7$
展开得：$4+3x+9=7$
合并同类项得：$3x+13=7$
移项、合并同类项得：$3x=-6$
系数化为1得：$x=-2$
检验：把$x=-2$代入$2(x+3)=2×(-2+3)=2≠0$，因此$x=-2$是原分式方程的解。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=-2$
【知识点】
分式方程的解法，一元一次方程的解法，分式方程验根
【点评】
这两道题是分式方程的基础练习题，重点考查分式方程的求解步骤，易错点是去分母时漏乘不含分母的项，以及忘记检验增根，解题时要严格按照步骤操作。
【难度系数】
0.8
9. 先化简，再求值：$\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 2x} ÷ (x - \dfrac{4x - 4}{x})$，其中$x=3.$
答案
9.解：原式=$\dfrac{(x + 2)(x - 2)}{x(x + 2)}÷\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x}=\dfrac{x - 2}{x}×\dfrac{x}{(x - 2)^2}=\dfrac{1}{x - 2}$. 当$x=3$时，原式=$\dfrac{1}{3 - 2}=1$.
解析
【分析】
解决分式化简求值类问题，需遵循分式运算顺序逐步计算：第一步先计算括号内的运算，括号中是整式减分式，需先将整式通分为和后面分式同分母的形式，再进行分子的加减运算，对运算后的分子因式分解；第二步处理括号外的分式除法，先将被除式的分子、分母分别因式分解，再将除法转化为乘法，约去分子分母的公因式得到最简结果；最后将给定的x值代入最简式计算即可。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)} ÷ ( \frac{x^2}{x} - \frac{4x - 4}{x} )\\&=\frac{x-2}{x} ÷ \frac{x^2 - 4x + 4}{x}\\&=\frac{x-2}{x} × \frac{x}{(x-2)^2}\\&=\frac{1}{x-2}\end{aligned}$
将$x=3$代入化简后的式子：
原式$=\frac{1}{3-2}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题型，核心考察分式运算的顺序和因式分解的灵活应用，计算时遵循先括号、后乘除的顺序，将除法转化为乘法后再约分，能降低计算出错概率。
【难度系数】
0.8
解决分式化简求值类问题，需遵循分式运算顺序逐步计算：第一步先计算括号内的运算，括号中是整式减分式，需先将整式通分为和后面分式同分母的形式，再进行分子的加减运算，对运算后的分子因式分解；第二步处理括号外的分式除法，先将被除式的分子、分母分别因式分解，再将除法转化为乘法，约去分子分母的公因式得到最简结果；最后将给定的x值代入最简式计算即可。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)} ÷ ( \frac{x^2}{x} - \frac{4x - 4}{x} )\\&=\frac{x-2}{x} ÷ \frac{x^2 - 4x + 4}{x}\\&=\frac{x-2}{x} × \frac{x}{(x-2)^2}\\&=\frac{1}{x-2}\end{aligned}$
将$x=3$代入化简后的式子：
原式$=\frac{1}{3-2}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题型，核心考察分式运算的顺序和因式分解的灵活应用，计算时遵循先括号、后乘除的顺序，将除法转化为乘法后再约分，能降低计算出错概率。
【难度系数】
0.8
10.一列火车从车站开出，预计行程为450千米，当它出发3小时后，因特殊情况而多停一站，因此耽误30分钟，后来把速度提高了20%，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度.
答案
10.75千米/时.
解析
【分析】
这是一道行程类的分式方程应用题，解题核心是找准等量关系。题目中“准时到达目的地”说明原计划行驶总时间和实际行驶总时间相等。首先统一时间单位，把30分钟换算为0.5小时；再分别表示出原计划总时间和实际各段花费的时间：原计划总时间=总路程÷原速度；实际总时间=已行驶的3小时+耽误的0.5小时+提速后行驶剩余路程的时间，提速后的速度是原速度的(1+20%)，剩余路程=总路程-原速度×3小时，最后根据时间相等列方程求解即可。
【解析】
设这列火车原来的速度为$ x $千米/时，则提速后的速度为$ (1+20\%)x=1.2x $千米/时，30分钟=0.5小时。
根据原计划总时间和实际总时间相等，列方程得：
$\frac{450}{x}=3+0.5+\frac{450-3x}{1.2x}$
方程两边同时乘以$ 1.2x $（$ x≠0 $）消去分母得：
$450×1.2=3.5×1.2x+450-3x$
化简计算：
$540=4.2x+450-3x$
$90=1.2x$
解得$ x=75 $
检验：当$ x=75 $时，$ 1.2x=90≠0 $，所以$ x=75 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
75千米/时
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 行程问题公式
3. 分式方程检验
【点评】
本题属于典型的行程类应用题，解题关键是抓住“准时到达”对应的总时间相等的等量关系，计算时要注意时间单位统一、提速后速度的换算，解完分式方程后务必要检验，既要判断是否为增根，也要确认是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类的分式方程应用题，解题核心是找准等量关系。题目中“准时到达目的地”说明原计划行驶总时间和实际行驶总时间相等。首先统一时间单位，把30分钟换算为0.5小时；再分别表示出原计划总时间和实际各段花费的时间：原计划总时间=总路程÷原速度；实际总时间=已行驶的3小时+耽误的0.5小时+提速后行驶剩余路程的时间，提速后的速度是原速度的(1+20%)，剩余路程=总路程-原速度×3小时，最后根据时间相等列方程求解即可。
【解析】
设这列火车原来的速度为$ x $千米/时，则提速后的速度为$ (1+20\%)x=1.2x $千米/时，30分钟=0.5小时。
根据原计划总时间和实际总时间相等，列方程得：
$\frac{450}{x}=3+0.5+\frac{450-3x}{1.2x}$
方程两边同时乘以$ 1.2x $（$ x≠0 $）消去分母得：
$450×1.2=3.5×1.2x+450-3x$
化简计算：
$540=4.2x+450-3x$
$90=1.2x$
解得$ x=75 $
检验：当$ x=75 $时，$ 1.2x=90≠0 $，所以$ x=75 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
75千米/时
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 行程问题公式
3. 分式方程检验
【点评】
本题属于典型的行程类应用题，解题关键是抓住“准时到达”对应的总时间相等的等量关系，计算时要注意时间单位统一、提速后速度的换算，解完分式方程后务必要检验，既要判断是否为增根，也要确认是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
