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10.若$△ ABC$的三边分别是$a$，$b$，$c$. 求证：$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac ＜ 0$.
答案
$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac ＜ 0$成立。
解析
【分析】
解题时首先观察待证不等式左侧的代数式结构，发现a²、c²与-2ac可组合为完全平方式，因此第一步优先对代数式进行因式分解；分解得到两个一次因式的乘积后，再结合三角形三边的大小关系分别判断两个因式的正负性，最终根据“异号两数相乘得负”即可完成证明。
【解析】
证明：对不等式左边的代数式变形如下：
$\begin{aligned}a^2 - b^2 + c^2 - 2ac&=(a^2 - 2ac + c^2) - b^2\\&=(a - c)^2 - b^2\end{aligned}$
根据平方差公式进一步分解：
$(a - c)^2 - b^2=(a - c - b)(a - c + b)$
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$b + c ＞ a$，移项得$a - c - b ＜ 0$；
$a + b ＞ c$，移项得$a - c + b ＞ 0$。
一个负数与一个正数的乘积为负数，因此：
$(a - c - b)(a - c + b) ＜ 0$
即$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac ＜ 0$，原不等式得证。
【答案】
$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac ＜ 0$成立。
【知识点】
因式分解，三角形三边关系，平方差公式
【点评】
本题是代数运算与几何性质结合的基础题型，解题的核心是先通过公式法对代数式正确因式分解，再结合三角形三边关系判断因式的符号，能够考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察待证不等式左侧的代数式结构，发现a²、c²与-2ac可组合为完全平方式，因此第一步优先对代数式进行因式分解；分解得到两个一次因式的乘积后，再结合三角形三边的大小关系分别判断两个因式的正负性，最终根据“异号两数相乘得负”即可完成证明。
【解析】
证明：对不等式左边的代数式变形如下：
$\begin{aligned}a^2 - b^2 + c^2 - 2ac&=(a^2 - 2ac + c^2) - b^2\\&=(a - c)^2 - b^2\end{aligned}$
根据平方差公式进一步分解：
$(a - c)^2 - b^2=(a - c - b)(a - c + b)$
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$b + c ＞ a$，移项得$a - c - b ＜ 0$；
$a + b ＞ c$，移项得$a - c + b ＞ 0$。
一个负数与一个正数的乘积为负数，因此：
$(a - c - b)(a - c + b) ＜ 0$
即$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac ＜ 0$，原不等式得证。
【答案】
$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac ＜ 0$成立。
【知识点】
因式分解，三角形三边关系，平方差公式
【点评】
本题是代数运算与几何性质结合的基础题型，解题的核心是先通过公式法对代数式正确因式分解，再结合三角形三边关系判断因式的符号，能够考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
