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10.若$△ ABC$的三边分别是$a$，$b$，$c$. 求证：$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac ＜ 0$.
答案
$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac ＜ 0$成立。
解析
要证明$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac ＜ 0$，先对式子变形：
$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac = (a^2 - 2ac + c^2) - b^2 = (a - c)^2 - b^2$，
利用平方差公式分解得：$(a - c)^2 - b^2 = (a - c - b)(a - c + b)$。
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，即$b + c ＞ a$，所以$a - c - b = a - (b + c) ＜ 0$；同时$a + b ＞ c$，所以$a - c + b = (a + b) - c ＞ 0$。
因此两个因式相乘：$(a - c - b)(a - c + b) ＜ 0$，即$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac ＜ 0$，得证。
$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac = (a^2 - 2ac + c^2) - b^2 = (a - c)^2 - b^2$，
利用平方差公式分解得：$(a - c)^2 - b^2 = (a - c - b)(a - c + b)$。
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，即$b + c ＞ a$，所以$a - c - b = a - (b + c) ＜ 0$；同时$a + b ＞ c$，所以$a - c + b = (a + b) - c ＞ 0$。
因此两个因式相乘：$(a - c - b)(a - c + b) ＜ 0$，即$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac ＜ 0$，得证。
