1. 已知正数 $a$ 的两个平方根分别是 $2x-3$ 和 $1-x$，$\sqrt[3]{1-2b}$ 与 $\sqrt[3]{3b-5}$ 互为相反数. 求 $a+2b$ 的算术平方根.

解:
∵正数a的两个平方根分别是2x−3和1−x，
∴2x−3+(1−x)=0,
∴x=2.
∴a=(1−x)²=(1−2)²=1.
∵$\sqrt[3]{1-2b}$与$\sqrt[3]{3b-5}$互为相反数,
∴1−2b+(3b−5)=0,
∴b=4,
∴a+2b=1+2×4=9,
∴a+2b的算术平方根是3.

2. (2024·灌云县期末)已知实数$a+9$的一个平方根是$-5$，$2b-a$的立方根是$-2$.
求:(1)$a,b$的值；
(2)$2a+b$的算术平方根.

解:(1)由题意,得$\begin{cases}a+9=25,\\2b-a=-8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=16,\\b=4.\end{cases}$
(2)
∵2a+b=2×16+4=32+4=36,而36的算术平方根为6,
∴2a+b的算术平方根为6.

3. 已知 a, b 分别是 $4+\sqrt{3}$ 的整数部分和小数部分.
(1) 分别写出 a, b 的值;
(2) 求 $a^{2}+b$ 的值.

解:(1)
∵1＜√3＜2,
∴5＜4+√3＜6,
∴a=5,b=√3−1.
(2)
∵a=5,b=√3−1,
∴a²+b=5²+√3−1=24+√3.

4. (2024·沭阳期末)我们知道$\sqrt{2}$是无理数,因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理的,因为$\sqrt{2}$的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分. 又例如$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜$$\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{5}＜3$,所以$\sqrt{5}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{5}-2$. 请根据以上信息,回答下列问题:
(1)$\sqrt{34}$的整数部分是,小数部分是;
(2)如果$\sqrt{11}$的整数部分为$a$,$7-\sqrt{7}$的整数部分为$b$,求$12a+7b$的立方根.

(1)5 $\sqrt{34}-5$
(2)解:
∵√9＜√11＜√16,即3＜√11＜4,√11的整数部分为a,
∴a=3.
∵7−√7=4+3−√7,7−√7的整数部分为b,
∴b=4,
∴12a+7b=12×3+7×4=36+28=64,
∴12a+7b的立方根为$\sqrt[3]{64}=4$.