1. 如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点).如果以点A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,那么r的取值范围为 （）

A.$2\sqrt{2}＜ r ＜ \sqrt{17}$
B.$\sqrt{17}＜ r ＜ 3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{17}＜ r ＜ 5$
D.$5＜ r ＜ \sqrt{29}$

1.B

【分析】
要确定半径r的取值范围，需先利用勾股定理计算点A到其他所有格点的距离，再根据“除点A外恰好有3个格点在圆内”的条件分析：将各格点到A的距离从小到大排序，判断不同区间内圆内格点的数量，进而得到r的取值范围。
【解析】
设每个小正方形边长为1，以点A为原点建立平面直角坐标系，根据勾股定理计算其他格点到A的距离，将这些距离从小到大排序为：$\sqrt{10} ＜ \sqrt{13} ＜ 2\sqrt{2} ＜ \sqrt{17} ＜ 3\sqrt{2} ＜ 5 ＜ \sqrt{29}$。
当半径r满足$\sqrt{17} ＜ r ＜ 3\sqrt{2}$时，距离A小于r的格点恰好有3个，符合题意，因此r的取值范围为$\sqrt{17}＜ r ＜ 3\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合网格考查勾股定理与圆的性质，核心是计算点到圆心的距离并结合格点数量要求确定半径范围，需准确计算距离并排序，难度适中。
【难度系数】
0.4

2. 如图,已知在正方形 $ABCD$ 中,$AB=4$,以点 $B$ 为圆心,1 为半径作 $\odot B$,点 $P$ 在 $\odot B$ 上运动,连接 $AP$. 将 $AP$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$ 至 $AP'$,连接 $BP'$. 在点 $P$ 运动过程中,$BP'$ 长的最小值是（）

A.$4\sqrt{2}-1$
B.$4\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$3$

2.A 提示:连接 $DP'$,$BP$. 由旋转可知,$AP=AP'$,$∠ PAP'=∠ DAB=90°$,所以$∠ PAB=∠ P'AD$,易证$△ PAB≌△ P'AD$,所以$P'D=PB=1$.所以点$P'$在以点$D$为圆心,1为半径的圆上.连接$BD$,则$BP'≥ BD-P'D$,所以当$P'$是$\odot D$与线段$BD$的交点时,$BP'$的长最小,最小值为$BP'=BD-P'D$.在$\mathrm{Rt }△ ABD$中,由勾股定理,得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=4\sqrt{2}$,所以$BP'$长的最小值为$4\sqrt{2}-1$.

【分析】
要解决BP'的最小值问题，需先通过旋转性质和正方形性质确定动点P'的轨迹：将AP绕A逆时针旋转90°得到AP'，结合正方形的边相等、内角为直角的特点，可证明△PAB与△P'AD全等，进而得到P'D=PB=1，确定P'在以D为圆心、1为半径的圆上；再利用正方形对角线长度，结合圆外一点到圆上点的最短距离（该点到圆心距离减半径），即可求出BP'的最小值。
【解析】
连接DP'、BP。
1. 由旋转的性质得：AP=AP'，∠PAP'=90°。
2. 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠BAD=90°，因此∠BAD=∠PAP'，即∠BAD - ∠PAD = ∠PAP' - ∠PAD，可得∠PAB=∠P'AD。
3. 在△PAB和△P'AD中：
$\{\begin{array}{l} AP=AP' \\ ∠PAB=∠P'AD \\ AB=AD \end{array} $
所以△PAB≌△P'AD（SAS），故P'D=PB=1，即点P'在以D为圆心、1为半径的圆上。
4. 在Rt△ABD中，AB=AD=4，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
5. 根据圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去圆的半径，可知BP'的最小值为$BD - P'D=4\sqrt{2}-1$（当P'在线段BD上时取到最小值）。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；圆的最值
【点评】
本题通过旋转构造全等三角形确定动点轨迹，结合正方形性质和圆的最值规律求解，重点考查轨迹法求几何最值的思路，需要学生掌握旋转的性质及全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.5

3. (2024 常州市期中) 如图,已知$\odot A$的半径为 1 ,圆心的坐标为$(4,3)$. 若$P(m,n)$是$\odot A$上的一个动点,则$m^{2}+n^{2}$的最大值为
.

3. 36 提示:如图,作射线 $OA$ 交 $\odot A$ 于点 $P'$. 因为圆心 $A$ 的坐标为 $(4,3)$,点 $P$ 的坐标为 $(m,n)$,所以$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$,$OP=\sqrt{m^2+n^2}$,所以$m^2+n^2$是点 $P$ 到点 $O$ 的距离的平方,所以当点 $P$ 运动到点 $P'$处时,点 $P$ 离点 $O$ 最远,即 $m^2+n^2$ 取最大值,此时 $OP=OP'=OA+AP'=5+1=6$,则$m^2+n^2=36$.

【分析】
要计算$m^2 + n^2$的最大值，首先明确$m^2 + n^2$的几何意义是点$P(m,n)$到原点$O$的距离的平方，因此问题转化为：在$\odot A$上找到到原点$O$距离最大的点$P$，再计算该距离的平方。根据圆的性质，圆上一点到圆外定点的最大距离等于定点到圆心的距离加上圆的半径，据此可确定点$P$的位置，进而求出最大值。
【解析】
1. 计算原点$O$到圆心$A$的距离：已知圆心$A$的坐标为$(4,3)$，根据两点间距离公式，$OA = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$。
2. 确定点$P$到原点$O$的最大距离：$\odot A$的半径为$1$，因此圆上一点$P$到原点$O$的最大距离为$OA + \mathrm{半径} = 5 + 1 = 6$。
3. 计算$m^2 + n^2$的最大值：因为$m^2 + n^2$是点$P$到原点$O$的距离的平方，所以最大值为$6^2 = 36$。
【答案】
36
【知识点】
两点间距离公式、圆的性质
【点评】
本题考查圆上点到定点的距离最值问题，核心是将代数表达式$m^2 + n^2$转化为几何意义（点到原点的距离平方），再利用圆的几何性质求解，属于基础题型，需掌握代数与几何的转化方法。
【难度系数】
0.5

4.【发现问题】
小明在做作业时碰到这样一道题:如图1,点$O$为坐标原点,$\odot O$的半径为1,点$A(2,0)$.动点$B$在$\odot O$上,连接$AB$,作等边三角形$ABC$(点$A$,$B$,$C$为顺时针顺序),求$OC$长的最大值.
【解决问题】
小明经过多次尝试与探索,终于得到解题思路:在图1中,连接$OB$,以$OB$为边在$OB$的左侧作等边三角形$BOE$,连接$AE$.
(1)请找出图中与$OC$长度相等的线段,并说明理由.
(2)请直接写出线段$OC$长的最大值.
【迁移拓展】
(3)如图2,$BC=4\sqrt{2}$,$D$是以$BC$为直径的半圆上不同于点$B$,$C$的一个动点,以$BD$为边作等边三角形$ABD$,请求出$AC$长的最值,并说明理由.

4. 解:(1) $OC=EA$. 理由如下:
因为$△ ABC$,$△ BOE$都是等边三角形,所以$BC=BA$,$BO=BE$,$∠ CBA=∠ OBE=60°$,所以$∠ CBO=∠ ABE$,所以$△ CBO≌△ ABE(\mathrm{SAS})$,所以$OC=EA$.
(2) $OC$长的最大值为3.
(3) 如图1,以 $BC$ 为边作等边三角形 $BCM$.
易证$△ ABC≌△ DBM$,所以$AC=DM$,所以欲求$AC$长的最值,只要求出$DM$长的最值即可.
连接$OD$,$OM$. 因为$BC=4\sqrt{2}$,所以$OD=2\sqrt{2}$,$OM=2\sqrt{6}$. 因为$OM-OD≤ MD≤ OM+OD$,所以当点 $M$ 在 $BC$ 的下方,且 $M$,$O$,$D$ 三点依次共线时,$DM$ 的长取得最大值,最大值为$2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$. 同理可知,当点 $M$ 在 $BC$ 的上方,且 $M$,$D$,$O$ 三点依次共线时,$DM$ 的长取得最小值,最小值为$2\sqrt{6}-2\sqrt{2}$,如图2所示.
综上所述,$AC$ 长的最大值为$2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$,最小值为$2\sqrt{6}-2\sqrt{2}$.

【分析】
本题核心是利用等边三角形的性质构造全等三角形，将所求线段转化为易求最值的线段，结合圆上点到定点的距离最值（两点间线段和差）解决问题。
(1) 要找与OC相等的线段，观察到△ABC和△BOE都是等边三角形，可通过SAS证明△CBO≌△ABE，从而得到OC=EA；
(2) 由(1)知OC=EA，求OC最大值即求EA最大值，E是定点，A是定点，当E、O、A共线且O在E、A之间时，EA最大，等于OE+OA；
(3) 迁移拓展部分，以BC为边作等边△BCM，通过SAS证明△ABC≌△DBM，得AC=DM，再结合D在以BC为直径的半圆上，利用圆上点到定点M的距离最值，即DM的最大值为OM+OD，最小值为|OM-OD|，从而得到AC的最值。
【解析】
(1) 线段EA与OC长度相等，理由如下：
∵△ABC、△BOE都是等边三角形，
∴BC=BA，BO=BE，∠CBA=∠OBE=60°，
∴∠CBA - ∠OBA = ∠OBE - ∠OBA，即∠CBO=∠ABE，
在△CBO和△ABE中，
$\{\begin{array}{l} BC=BA \\ ∠CBO=∠ABE \\ BO=BE \end{array} $
∴△CBO≌△ABE（SAS），
∴OC=EA。
(2) 由(1)知OC=EA，已知⊙O半径为1，故OE=OB=1，点A(2,0)，则OA=2，
当E、O、A三点共线，且O在E、A之间时，EA取得最大值，最大值为OE + OA =1+2=3，
∴OC长的最大值为3。
(3) AC长的最大值为$2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$，最小值为$2\sqrt{6}-2\sqrt{2}$，理由如下：
以BC为边作等边三角形BCM，连接OD、OM，
∵△ABD、△BCM都是等边三角形，
∴AB=DB，BC=BM，∠ABD=∠CBM=60°，
∴∠ABD + ∠DBC = ∠CBM + ∠DBC，即∠ABC=∠DBM，
在△ABC和△DBM中，
$\{\begin{array}{l} AB=DB \\ ∠ABC=∠DBM \\ BC=BM \end{array} $
∴△ABC≌△DBM（SAS），
∴AC=DM，
∵BC=4√2，D是以BC为直径的半圆上的点，
∴OD是半圆半径，即OD=½BC=2√2，
等边△BCM中，O为BC中点，OB=2√2，BM=4√2，∠OBM=60°，
由余弦定理得：$OM^2=OB^2+BM^2-2·OB·BM·cos60°=(2√2)^2+(4√2)^2 -2×2√2×4√2×\frac{1}{2}=8+32-16=24$，故OM=2√6，
根据圆上点到定点的距离最值：D在以O为圆心、OD为半径的圆上，
∴DM的最大值为OM + OD=2√6 + 2√2，最小值为|OM - OD|=2√6 - 2√2，
又
∵AC=DM，
∴AC长的最大值为$2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$，最小值为$2\sqrt{6}-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $OC=EA$；(2) $3$；(3) 最大值为$2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$，最小值为$2\sqrt{6}-2\sqrt{2}$
【知识点】
全等三角形判定、等边三角形性质、圆的最值问题
【点评】
本题通过构造等边三角形，利用SAS全等变换将线段转化，再结合圆上点到定点的距离最值（两点间线段和差）求解，是几何变换与最值问题的典型应用，需掌握旋转构造全等的方法。
【难度系数】
0.4