1. (2024 无锡市宜兴市期中)已知$\odot O$的直径是 6,点$P$到圆心$O$的距离是 6,则点$P$与$\odot O$的位置关系是（）

A.点$P$在$\odot O$内
B.点$P$在$\odot O$上
C.点$P$在$\odot O$外
D.点$P$是圆心

1.C

【分析】要判断点与圆的位置关系，需依据：设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，当$d＞r$时，点在圆外；$d=r$时，点在圆上；$d＜r$时，点在圆内。本题先由直径求出圆的半径，再比较点到圆心的距离与半径的大小，即可确定点$P$的位置。
【解析】已知$\odot O$的直径是6，则其半径$r = 6÷2 = 3$。点$P$到圆心$O$的距离$d = 6$，因为$6＞3$，即$d＞r$，根据点与圆的位置关系判定规则，点$P$在$\odot O$外，所以选C。
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【点评】本题是点与圆位置关系的基础应用，核心是掌握半径与点到圆心距离的比较方法，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.9

2. 已知$\odot O$的半径为5,点$P$到圆心$O$的距离为$d$.若点$P$在圆内,则$d$的取值范围为（）

A.$d ≤ 5$
B.$d=5$
C.$d ＞ 5$
D.$0 ≤ d ＜ 5$

2.D

【分析】
要解决这道题，需先明确点与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为$ r $，点到圆心的距离为$ d $，则点在圆内等价于$ d ＜ r $，点在圆上等价于$ d = r $，点在圆外等价于$ d ＞ r $。同时，距离$ d $是线段长度，具有非负性，即$ d ≥ 0 $。结合题目条件，可逐步推导$ d $的取值范围，选出正确选项。
【解析】
解：根据点与圆的位置关系判定规则，点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径，即$ d ＜ r $。
已知$ \odot O $的半径$ r=5 $，因此$ d ＜5 $。
又因为点到圆心的距离$ d $是线段长度，取值为非负数，即$ d ≥0 $。
综合可得$ d $的取值范围为$ 0 ≤ d ＜5 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题考查点与圆的位置关系的基础概念，属于概念识记类题目，解题关键是牢记点在不同位置时距离与半径的关系，同时注意距离的非负性，难度较低，是容易得分的基础题。
【难度系数】
0.8

3. 在公园的$O$处附近有$E,F,G,H$四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以点$O$为圆心,$OA$的长为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则$E,F,G,H$四棵树中需要被移除的为（）


A.$E,F,G$
B.$F,G,H$
C.$G,H,E$
D.$H,E,F$

3.A

【分析】
要判断哪棵树需要被移除，需先计算各点到圆心O的距离，再与半径OA的长度比较：距离小于OA的点在圆内，需要移除。设每个小正方形边长为1，利用勾股定理分别计算OA、OE、OF、OG、OH的长度，再比较大小即可得出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各点到O的距离：
OA的长度：点A相对于O的横向距离为2，纵向距离为2，故$OA=\sqrt{2^2 + 2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；
OE的长度：点E相对于O的横向距离为-1，纵向距离为2，故$OE=\sqrt{(-1)^2 + 2^2}=\sqrt{5}\approx2.236$，因为$\sqrt{5}＜2\sqrt{2}$，所以E在圆内；
OF的长度：点F相对于O的横向距离为-2，纵向距离为-1，故$OF=\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2}=\sqrt{5}\approx2.236$，因为$\sqrt{5}＜2\sqrt{2}$，所以F在圆内；
OG的长度：点G相对于O的横向距离为0，纵向距离为-1，故$OG=\sqrt{0^2 + (-1)^2}=1$，因为$1＜2\sqrt{2}$，所以G在圆内；
OH的长度：点H相对于O的横向距离为2，纵向距离为-2，故$OH=\sqrt{2^2 + (-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，所以H在圆上，不需要移除。
因此需要被移除的是E、F、G，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】
本题考查点与圆的位置关系，核心是利用勾股定理计算点到圆心的距离，再与半径比较，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.3

4. 已知 $P$ 是半径为 4 的 $\odot O$ 上一点,平面上一点 $Q$ 到点 $P$ 的距离为 2,则线段 $OQ$ 的长度 $a$ 的取值范围是.

$2≤ a≤6$

【分析】
要确定线段OQ的长度范围，需结合已知条件：P是半径为4的⊙O上的点，故OP=4；Q到P的距离为2，即PQ=2。利用三角形三边关系（三点共线时取等号），即可推导OQ的取值范围。
【解析】
因为P是半径为4的⊙O上一点，所以OP=4。
已知Q到P的距离为2，即PQ=2。
在△OPQ中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，当O、P、Q三点共线时取等号，因此有：
$OP - PQ ≤ OQ ≤ OP + PQ$
代入OP=4，PQ=2，得：
$4 - 2 ≤ a ≤ 4 + 2$
即$2 ≤ a ≤ 6$。
【答案】
$2≤ a≤6$
【知识点】
圆的半径，三角形三边关系
【点评】
本题考查圆上点到定点的距离范围，核心是利用三角形三边关系，需注意三点共线的特殊情况，避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.6

5. 某地考古队在考古过程中,发现了许多圆形汝瓷盘残片.如图,一个圆形汝瓷盘残片的示意图为$△ ABC$,且顶点$A$,$B$,$C$均在汝瓷盘的边缘,已知$∠ A=45^{ \circ }$,$BC=$$10\ {cm}$,则该汝瓷盘的直径为${cm}$.

$10\sqrt{2}$

【分析】本题是圆的内接三角形相关问题，需利用圆周角定理推导圆心角，再结合弦长与半径的关系计算圆的直径。首先明确△ABC的三个顶点在圆上，∠A是圆周角，对应弧BC，根据圆周角定理求出弧BC对应的圆心角，再通过弦BC的长度求出圆的半径，最终得到直径。
【解析】因为点A、B、C在圆上，所以△ABC是该圆的内接三角形。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠A=45°，则弧BC对应的圆心角∠BOC=2×45°=90°。设圆的半径为R，连接OB、OC，则OB=OC=R，△BOC是等腰直角三角形，由勾股定理得：$BC^2=OB^2+OC^2$，代入BC=10cm，得$10^2=R^2+R^2$，即$2R^2=100$，解得$R=5\sqrt{2}$cm，因此圆的直径为$2R=10\sqrt{2}$cm。
【答案】$10\sqrt{2}$
【知识点】圆周角定理，圆的弦长计算
【点评】本题核心是利用圆周角定理将圆周角转化为圆心角，结合等腰直角三角形的性质求解半径，属于圆的基础应用题型，需掌握圆的相关性质。
【难度系数】0.5

6. 设$\odot O$的半径为2,点$P$到圆心的距离$OP=m$, 且$m$使关于$x$的方程$2x^{2}-2\sqrt{2}x+m-1=0$有两个不相等的实数根,试确定点$P$与$\odot O$的位置关系.

解:由题意可知,$(-2\sqrt{2})^2 -4×2(m-1)＞0$,解得$m＜2$.因为圆的半径为2,所以点$P$在$\odot O$内.

【分析】要确定点P与⊙O的位置关系，需先求出OP=m的取值范围。已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式（Δ＞0）可求出m的范围，再将m与⊙O的半径2比较，依据点与圆的位置关系判定规则（点到圆心的距离d＜半径r时，点在圆内；d=r时在圆上；d＞r时在圆外）即可得出结论。
【解析】对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），方程有两个不相等实数根的条件是判别式Δ=b²-4ac＞0。本题中方程为2x² - 2√2 x + m -1=0，其中a=2，b=-2√2，c=m-1，计算判别式：
Δ=(-2√2)² - 4×2×(m-1)=8 - 8(m-1)=16 - 8m
因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ＞0，即16 - 8m ＞ 0，解不等式得：m ＜ 2。
已知⊙O的半径r=2，点P到圆心的距离OP=m，因此OP ＜ r，根据点与圆的位置关系，可知点P在⊙O内。
【答案】解:由题意可知$,(-2√2)^2 -4×2(m-1)＞0,$解得m＜2.因为圆的半径为2,所以点P在⊙O内.
【知识点】一元二次方程根的判别式；点与圆的位置关系
【点评】本题将一元二次方程根的判别式与点和圆的位置关系相结合，考查基础知识点的综合应用，解题关键是利用判别式求出参数m的范围，再结合位置关系判定规则解题，属于中等偏易的基础题。
【难度系数】0.6

7. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB=6,AD=8$.
(1) 若以点 $A$ 为圆心,8 为半径作 $\odot A$,则点 $B,C,D$ 与圆的位置关系是什么?
(2) 若作 $\odot A$,使 $B,C,D$ 三点至少有一点在 $\odot A$ 内,至少有一点在 $\odot A$ 外,则$\odot A$ 的半径 $r$ 的取值范围是.

(1) 解:点 $B$ 在 $\odot A$ 内,点 $C$ 在 $\odot A$ 外,点 $D$ 在 $\odot A$ 上.
(2) $6＜r＜10$

【分析】
要判断点与圆的位置关系，需依据“点到圆心的距离d与圆半径r的大小关系”：d＜r时点在圆内，d=r时点在圆上，d＞r时点在圆外。首先利用矩形性质和勾股定理，求出B、C、D三点到圆心A的距离；再结合距离与半径的比较，解决两问：第(1)问直接用半径8比较各点距离；第(2)问需满足“至少一点在圆内、至少一点在圆外”，结合三个点到A的距离的最小值和最大值确定半径范围。
【解析】
(1) 连接AC，在矩形ABCD中，∠B=90°，AD=BC=8，根据勾股定理：
AC = √(AB² + BC²) = √(6² + 8²) = 10。
已知⊙A半径为8，各点到A的距离：
点B到A的距离AB=6，因6＜8，故点B在⊙A内；
点D到A的距离AD=8，因8=8，故点D在⊙A上；
点C到A的距离AC=10，因10＞8，故点C在⊙A外。
(2) 由(1)得，B、D、C到A的距离分别为6、8、10。
要使三点至少有一点在⊙A内，半径r需大于最小距离6（保证B在圆内）；
要使三点至少有一点在⊙A外，半径r需小于最大距离10（保证C在圆外）；
因此r的取值范围是6＜r＜10。
【答案】
(1) 点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外；(2) 6＜r＜10
【知识点】
点与圆的位置关系、矩形性质、勾股定理
【点评】
本题结合矩形性质与勾股定理计算点到圆心的距离，核心是利用距离与半径的大小关系判断点与圆的位置，是基础几何题，需掌握位置关系的判定规则。
【难度系数】
0.4