1. 如图,已知在$△ ABC$中,$CB=CA=3\sqrt{3}$,$∠ B=30^{ \circ }$,边$AC$的垂直平分线$MN$交$AB$于点$O$,以$OA$为半径的$\odot O$交$AB$于点$D$,则$BD$的长为（）

A.$3$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$

1. A 提示:连接 CD,OC. 因为$CB=CA$,$∠ B=30°$,所以$∠ A=∠ B=30°$,所以$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=120°$. 因为 MN 垂直平分 AC,所以$OA=OC$,所以点 C 在$\odot O$上. 又因为 AD 为$\odot O$的直径,所以$∠ ACD=90°$,所以$AD=2CD$,$∠ ADC=60°$,$∠ BCD=30°=∠ B$. 又因为$OD=OC$,所以$△ ODC$为等边三角形,所以$BD=CD=OD=OC$. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,由勾股定理,得$AC^2=AD^2-CD^2$,即$(3\sqrt{3})^2=(2CD)^2-CD^2$,解得$CD=3$(负值已舍). 所以$BD=CD=3$.

【分析】
首先，由CB=CA可知△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形性质得∠A=∠B=30°，进而算出∠ACB=120°；接着，根据MN是AC的垂直平分线，得OA=OC，说明点C在⊙O上，又因AD是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，故∠ACD=90°；再结合角度关系推出∠BCD=∠B，得BD=CD，同时△ODC为等边三角形，得到OD=CD；最后在Rt△ACD中，利用勾股定理结合已知AC的长度，求出CD的长，即可得到BD的长度。
【解析】
解：连接CD、OC。
1. 因为CB=CA，所以△ABC是等腰三角形，故∠A=∠B=30°，则∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-30°=120°。
2. 因为MN垂直平分AC，所以OA=OC，因此点C在⊙O上。又AD是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，所以∠ACD=90°。
3. 在Rt△ACD中，∠A=30°，所以∠ADC=60°，且AD=2CD。
4. 计算∠BCD：∠BCD=∠ACB - ∠ACD=120°-90°=30°，而∠B=30°，所以∠BCD=∠B，故BD=CD。
5. 又因为OD=OC，∠ADC=60°，所以△ODC是等边三角形，因此OD=CD。
6. 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC² + CD² = AD²，已知AC=3√3，AD=2CD，代入得：
(3√3)² + CD² = (2CD)²
计算得：27 + CD² = 4CD² → 3CD²=27 → CD²=9 → CD=3（长度为正，舍去负值）
7. 因为BD=CD，所以BD=3。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质、垂直平分线性质、圆周角定理
【点评】
本题综合考查等腰三角形、垂直平分线、圆的相关性质，关键在于利用垂直平分线得到点在圆上，结合直径的圆周角为直角构造直角三角形，再通过角度关系推导线段相等，最后用勾股定理计算，需要学生熟练掌握多个几何知识点的综合应用。
【难度系数】
0.5

2. (2024 盐城市盐都区期中)如图,$AB$是$\odot O$的直径,弦$CD$交$AB$于点$E$,$∠ ACD=60°$,$∠ ADC=40°$,则$∠ AED$的度数为 （）

A.$110°$
B.$115°$
C.$120°$
D.$105°$

2. A

【分析】
要计算∠AED的度数，需结合圆的圆周角性质和三角形外角定理逐步推导：首先利用同弧所对圆周角相等得到∠ABC的度数，再由直径所对圆周角为直角求出∠CAB，最后根据三角形外角性质计算∠AED。
【解析】
1. 同弧所对的圆周角相等：∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，因此∠ABC=∠ADC=40°。
2. 直径所对的圆周角为直角：AB是⊙O的直径，故∠ACB=90°。
3. 计算∠CAB：在Rt△ACB中，∠CAB=90°-∠ABC=90°-40°=50°。
4. 利用三角形外角性质：∠AED是△ACE的外角，等于不相邻两内角之和，因此∠AED=∠CAB+∠ACD=50°+60°=110°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、三角形外角性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与三角形角度计算，核心是利用同弧圆周角相等、直径的直角性质，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5

3. (2024 南京市雨花台区期中) 如图, 在 $\odot O$ 的内接四边形 $ABCD$ 中, 若 $\odot O$ 的半径为 $1, AB = 1, CD = \sqrt{2}$, 则 $∠ C + ∠ D$ 的度数为
（）

A.$120°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$165°$

3. D

【分析】
要计算∠C + ∠D的度数，需结合圆的半径、弦长与圆心角的关系，以及圆周角定理求解。首先连接OA、OB、OC、OD，通过弦长判断△OAB和△OCD的形状，得到对应圆心角的度数；再利用圆周角定理将∠C、∠D转化为对应弧的圆心角的一半，结合圆的总度数计算结果。
【解析】
连接OA、OB、OC、OD。
∵ ⊙O的半径为1，
∴ OA=OB=OC=OD=1。
在△OAB中，OA=OB=AB=1，故△OAB为等边三角形，因此∠AOB=60°，即弧AB的度数为60°。
在△OCD中，OC² + OD² =1² +1²=2，CD²=(√2)²=2，满足OC² + OD²=CD²，故△OCD为直角三角形，∠COD=90°，即弧CD的度数为90°。
圆的总度数为360°，因此弧AD与弧BC的度数和为：360° - 60° -90°=210°。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的圆心角度数的一半。
∠C（∠BCD）所对的弧为弧BAD（弧AB + 弧AD），故∠C=1/2(弧AB + 弧AD)；
∠D（∠ADC）所对的弧为弧ABC（弧AB + 弧BC），故∠D=1/2(弧AB + 弧BC)；
因此∠C + ∠D=1/2[(弧AB + 弧AD)+(弧AB + 弧BC)]=1/2[2×弧AB + (弧AD + 弧BC)]。
代入弧AB=60°，弧AD+弧BC=210°，得：
∠C + ∠D=1/2(2×60° +210°)=1/2×330°=165°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理、圆心角与弦的关系、圆的基本性质
【点评】
本题综合考查圆的相关性质，核心是利用弦长判断圆心角，再结合圆周角定理转化所求角度，需熟练掌握等边三角形、直角三角形的判定及圆周角定理的应用，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

4. 如图,四边形$ABCD$是半圆$O$的内接四边形,$AB$是直径,$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$. 若$∠ BCD=$$110^{ \circ }$,则$∠ ABC$的度数为.

$55°$

【分析】
首先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠BAD的度数；再根据等弧所对的圆周角相等，得到∠CAB与∠BAD的关系；最后结合直径所对圆周角为直角的性质，在直角三角形中计算出∠ABC的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是半圆O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得：
∠BAD + ∠BCD = 180°，
已知∠BCD=110°，所以∠BAD=180°-110°=70°。
2. 因为$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，根据等弧所对的圆周角相等，可知∠DAC=∠CAB，因此∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
3. 因为AB是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°。
在Rt△ACB中，∠ABC + ∠CAB=90°，所以∠ABC=90°-35°=55°。
【答案】
$55°$
【知识点】
圆内接四边形性质、圆周角定理、直径的性质
【点评】
本题综合考查圆的相关性质，解题关键是利用圆内接四边形的对角互补、等弧对应的圆周角相等，结合直径所对圆周角为直角的特点进行角度计算，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】
0.5

5. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,它的 3 个外角$∠ EAB,∠ FBC,∠ GCD$ 的度数之比为 $1:2:4$,则 $∠ D=$$°$.

72 提示:由题意,可设$∠ EAB=x$,$∠ FBC=2x$,$∠ GCD=4x$,则$∠ BAD=180°-x$,$∠ BCD=180°-4x$. 因为四边形 ABCD 为圆内接四边形,所以$∠ BAD+∠ BCD=180°$,$∠ D+∠ ABC=180°$,所以$180°-x+180°-4x=180°$,解得$x=36°$,所以$∠ FBC=2x=72°$. 因为$∠ FBC+∠ ABC=180°$,所以$∠ D=∠ FBC=72°$.

【分析】
要解决本题，需结合圆内接四边形的性质、邻补角的关系，通过设比例未知数建立方程求解。思路为：先根据三个外角的度数比设未知数，利用邻补角表示对应内角，再依据圆内接四边形对角互补列方程求出未知数，最后利用外角与内对角的关系得到∠D的度数。
【解析】
设∠EAB = x，∠FBC = 2x，∠GCD = 4x。
因为∠EAB是四边形ABCD的外角，所以∠BAD = 180° - x；
同理，∠GCD是四边形ABCD的外角，所以∠BCD = 180° - 4x。
由于四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形对角互补的性质，得：
∠BAD + ∠BCD = 180°，
代入得：(180° - x) + (180° - 4x) = 180°，
化简得：360° - 5x = 180°，
解得：x = 36°，
所以∠FBC = 2x = 72°。
又因为∠FBC与∠ABC是邻补角，故∠ABC + ∠FBC = 180°；
同时，圆内接四边形中∠D + ∠ABC = 180°，
因此∠D = ∠FBC = 72°。
【答案】
72
【知识点】
圆内接四边形性质，邻补角
【点评】
本题考查圆内接四边形的核心性质（对角互补、外角等于内对角），通过设比例未知数简化计算，是圆相关角度计算的基础题型，需熟练掌握性质的应用。
【难度系数】
0.5

6. 如图,线段 $AB,BC$ 的垂直平分线 $l_1,l_2$ 相交于点$O$.若$∠ 1=39°$,则$∠ AOC=$.

$78°$ 提示:记直线$l_1$,$l_2$与 AB,BC 的垂足分别为 E,F,则由条件可知,O,E,B,F 四点共圆,所以由圆内接四边形对角互补的性质可知$∠ ABC+∠ EOF=180°$. 因为$∠ 1+∠ EOF=180°$,所以$∠ ABC=∠ 1=39°$. 连接 OB,AC. 由垂直平分线的性质可知,$OB=OA=OC$,所以点 O 是$△ ABC$的外心,所以$∠ AOC=2∠ ABC=78°$.

【分析】
要解决本题，首先利用线段垂直平分线的性质确定点O是△ABC的外心，得到OA=OB=OC；再通过四边形内角和与平角的关系，推导得出∠ABC=∠1；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，计算出∠AOC的度数。
【解析】
1. 由线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因为$ l_1 $是AB的垂直平分线，$ l_2 $是BC的垂直平分线，交点为O，所以$ OA=OB $，$ OB=OC $，即$ OA=OB=OC $，因此点O是△ABC的外心。
2. 记$ l_1 $与AB交于点E，$ l_2 $与BC交于点F，则$ OE⊥AB $，$ OF⊥BC $，故$ ∠OEB=∠OFB=90° $。在四边形OEBF中，内角和为360°，因此：
$ ∠ABC + ∠OEB + ∠OFB + ∠EOF = 360° $，
代入$ ∠OEB=∠OFB=90° $，得$ ∠ABC + ∠EOF = 180° $。
又因为$ ∠1 $与$ ∠EOF $组成平角，即$ ∠1 + ∠EOF = 180° $，所以$ ∠ABC=∠1=39° $。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$ ∠AOC $是弧AC所对的圆心角，$ ∠ABC $是弧AC所对的圆周角，因此：
$ ∠AOC=2∠ABC=2×39°=78° $。
【答案】
78°
【知识点】
线段垂直平分线的性质，圆周角定理，三角形外心
【点评】
本题综合考查线段垂直平分线的性质与圆周角定理的应用，关键在于通过角度关系推导∠ABC与∠1的等量关系，再利用圆心角和圆周角的关系求解，需要学生灵活运用几何定理。
【难度系数】
0.4

7. (2024 扬州市中考) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $CA=CB$, $\odot O$ 是 $△ ABC$ 的外接圆, 点 $D$ 在 $\odot O$ 上($AD＞BD$), 连接 $AD,BD,CD$.
【特殊化感知】
(1) 如图 1, 若 $∠ ACB=60°$, 点 $D$ 在 $AO$ 的延长线上, 则 $AD-BD$ 与 $CD$ 的数量关系为.
【一般化探究】
(2) 如图 2, 若 $∠ ACB=60°$, 点 $C,D$ 在 $AB$ 同侧, 判断 $AD-BD$ 与 $CD$ 的数量关系, 并说明理由.

(1) $AD-BD=CD$ 提示:因为$CA=CB$,$∠ ACB=60°$,所以$△ ABC$为等边三角形,所以$∠ ABC=60°$,所以$∠ ADC=∠ ABC=60°$,$∠ ADB=∠ ACB=60°$. 因为 AD 为$\odot O$的直径,所以$∠ ABD=∠ ACD=90°$,$∠ BAD=∠ CAD=90°-60°=30°$,所以$CD=BD=\dfrac{1}{2}AD$,所以$AD-BD=CD$.
(2) 解:$AD-BD$ 与 CD 的数量关系为$AD-BD=CD$. 理由如下:
如图,延长 BD 至点 E,使$DE=CD$,连接 CE. 因为$CA=CB$,$∠ ACB=60°$,所以$△ ABC$为等边三角形,所以$∠ BAC=∠ ABC=60°$,所以$∠ CDE=180°-∠ BDC=∠ BAC=60°$. 因为$DE=CD$,所以$△ CDE$为等边三角形,所以$CE=CD$,$∠ DCE=∠ E=60°$,所以$∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD=60°+∠ BCD=∠ BCE$. 因为$∠ ADC=∠ ABC=60°$,所以$∠ ADC=∠ E=60°$. 在$△ ACD$和$△ BCE$中,$\begin{cases}∠ ACD=∠ BCE,\\CD=CE,\\∠ ADC=∠ E,\end{cases}$所以$△ ACD≌△ BCE$(ASA),所以$AD=BE$. 因为$BE=BD+DE=BD+CD$,所以$AD=BD+CD$,所以$AD-BD=CD$.

【分析】
本题是圆与三角形结合的探究题，先利用CA=CB且∠ACB=60°，确定△ABC为等边三角形，这是解题的核心基础。(1) 特殊情况中，AD为⊙O的直径，结合直径所对圆周角为直角的性质，通过直角三角形30°角的关系推导线段数量；(2) 一般情况采用截长补短法，构造等边三角形后证明全等，转化线段关系得出结论。
【解析】
(1) 因为CA=CB，∠ACB=60°，所以△ABC是等边三角形，故∠ABC=60°。根据圆周角定理，同弧所对圆周角相等，得∠ADC=∠ABC=60°，∠ADB=∠ACB=60°。
因为AD是⊙O的直径，所以∠ABD=∠ACD=90°（直径所对圆周角为直角）。
在Rt△ACD中，∠CAD=90°-∠ADC=30°，所以CD=$\frac{1}{2}$AD；
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ADB=30°，所以BD=$\frac{1}{2}$AD；
因此AD - BD = AD - $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$AD = CD，即AD - BD = CD。
(2) AD - BD = CD，理由如下：
延长BD至点E，使DE=CD，连接CE。
因为CA=CB，∠ACB=60°，所以△ABC是等边三角形，故∠BAC=∠ABC=60°。
根据圆内接四边形对角互补，∠BDC=180°-∠BAC=120°，所以∠CDE=180°-∠BDC=60°。
又DE=CD，所以△CDE是等边三角形，故CE=CD，∠DCE=∠E=60°。
因为∠ACD=∠ACB + ∠BCD=60°+∠BCD，∠BCE=∠DCE + ∠BCD=60°+∠BCD，所以∠ACD=∠BCE。
又∠ADC=∠ABC=60°，所以∠ADC=∠E=60°。
在△ACD和△BCE中：
$\begin{cases}∠ACD=∠BCE \\CD=CE \\∠ADC=∠E\end{cases}$
所以△ACD≌△BCE（ASA），故AD=BE。
又BE=BD + DE=BD + CD，所以AD=BD + CD，即AD - BD=CD。
【答案】
(1) $AD-BD=CD$；(2) $AD-BD=CD$
【知识点】
等边三角形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定
【点评】
本题从特殊到一般探究圆中线段的数量关系，核心是利用等边三角形性质和截长补短法构造全等三角形，考查学生的逻辑推理与辅助线构造能力，是圆与三角形结合的典型中档题。
【难度系数】
0.5