登录
1. 下列关于反比例函数 $y=-\dfrac{2}{x}$ 的说法不正确的是（
A.图象分布在第二、四象限
B.当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
C.图象经过点 $(1,-2)$
D.若点 $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$ 都在图象上，且 $x_{1}＜x_{2}$，则 $y_{1}＜y_{2}$
D
）A.图象分布在第二、四象限
B.当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
C.图象经过点 $(1,-2)$
D.若点 $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$ 都在图象上，且 $x_{1}＜x_{2}$，则 $y_{1}＜y_{2}$
答案
D
解析
【分析】
要判断关于反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$的说法是否正确，需结合反比例函数的图象与性质逐一分析选项：先根据$k$的符号确定图象所在象限，再判断增减性的适用范围，最后通过代入点坐标验证、分析不同象限内点的坐标变化规律，找出错误说法。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$中，$k=-2＜0$，根据性质，图象分布在第二、四象限，该说法正确；
选项B：当$x＞0$时，点在第四象限，$k=-2＜0$，在第四象限内$y$随$x$的增大而增大，该说法正确；
选项C：将$x=1$代入函数得$y=-\dfrac{2}{1}=-2$，故图象经过点$(1,-2)$，该说法正确；
选项D：反比例函数的增减性仅适用于同一象限内的点。若点$A$在第二象限、点$B$在第四象限，例如$x_1=-1$，$x_2=1$，此时$x_1＜x_2$，但$y_1=2$，$y_2=-2$，$y_1＞y_2$，并非$y_1＜y_2$，该说法错误。
综上，不正确的说法是选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的核心性质，易错点是忽略增减性的前提为“同一象限”，需明确不同象限内点的坐标变化不适用该规律，属于基础题型，需熟练掌握反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.6
要判断关于反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$的说法是否正确，需结合反比例函数的图象与性质逐一分析选项：先根据$k$的符号确定图象所在象限，再判断增减性的适用范围，最后通过代入点坐标验证、分析不同象限内点的坐标变化规律，找出错误说法。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$中，$k=-2＜0$，根据性质，图象分布在第二、四象限，该说法正确；
选项B：当$x＞0$时，点在第四象限，$k=-2＜0$，在第四象限内$y$随$x$的增大而增大，该说法正确；
选项C：将$x=1$代入函数得$y=-\dfrac{2}{1}=-2$，故图象经过点$(1,-2)$，该说法正确；
选项D：反比例函数的增减性仅适用于同一象限内的点。若点$A$在第二象限、点$B$在第四象限，例如$x_1=-1$，$x_2=1$，此时$x_1＜x_2$，但$y_1=2$，$y_2=-2$，$y_1＞y_2$，并非$y_1＜y_2$，该说法错误。
综上，不正确的说法是选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的核心性质，易错点是忽略增减性的前提为“同一象限”，需明确不同象限内点的坐标变化不适用该规律，属于基础题型，需熟练掌握反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.6
2. 若点 $A(-2,y_1),B(-1,y_2),C(3,y_3)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象上，则 $y_1,y_2,y_3$ 的大小关系是（
A.$y_2＞y_3＞y_1$
B.$y_3＞y_2＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞y_3$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
D
）A.$y_2＞y_3＞y_1$
B.$y_3＞y_2＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞y_3$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
D
解析
【分析】要比较反比例函数图象上三个点对应的$y_1,y_2,y_3$的大小，可通过两种思路：一是利用反比例函数的性质，二是直接代入解析式计算。反比例函数$y=\frac{6}{x}$中$k=6＞0$，图象在一、三象限，第一象限的y值为正，第三象限的y值为负，因此C点的$y_3$是正数，必然大于A、B点的负数；再看第三象限的A、B点，同一象限内$y=\frac{6}{x}$中y随x增大而减小，A点$x=-2$小于B点$x=-1$，故$y_1＞y_2$，最终得出大小关系。也可直接代入计算，方法更直观。
【解析】因为点$A(-2,y_1),B(-1,y_2),C(3,y_3)$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，所以将各点的x值代入函数解析式计算y值：
当$x=-2$时，$y_1=\frac{6}{-2}=-3$；
当$x=-1$时，$y_2=\frac{6}{-1}=-6$；
当$x=3$时，$y_3=\frac{6}{3}=2$；
比较三个y值：$2 ＞ -3 ＞ -6$，即$y_3＞y_1＞y_2$，因此答案选D。
【答案】D
【知识点】反比例函数的点的坐标特征；反比例函数的性质
【点评】本题是反比例函数的基础题，考查反比例函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，直接代入计算即可快速解题，也可结合反比例函数的单调性辅助判断，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
【解析】因为点$A(-2,y_1),B(-1,y_2),C(3,y_3)$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，所以将各点的x值代入函数解析式计算y值：
当$x=-2$时，$y_1=\frac{6}{-2}=-3$；
当$x=-1$时，$y_2=\frac{6}{-1}=-6$；
当$x=3$时，$y_3=\frac{6}{3}=2$；
比较三个y值：$2 ＞ -3 ＞ -6$，即$y_3＞y_1＞y_2$，因此答案选D。
【答案】D
【知识点】反比例函数的点的坐标特征；反比例函数的性质
【点评】本题是反比例函数的基础题，考查反比例函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，直接代入计算即可快速解题，也可结合反比例函数的单调性辅助判断，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
3.（2025 连云港市二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质“是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数 $y=\dfrac{1}{x+2}-1$ 具有的性质是（
A.$x＞0$ 时，$y$ 的值随 $x$ 的增大而减小
B.$x＜0$ 时，$y$ 的值随 $x$ 的增大而增大
C.图象不经过第二象限
D.图象不经过第四象限
A
）A.$x＞0$ 时，$y$ 的值随 $x$ 的增大而减小
B.$x＜0$ 时，$y$ 的值随 $x$ 的增大而增大
C.图象不经过第二象限
D.图象不经过第四象限
答案
A 提示:利用描点法画出 $y=\dfrac{1}{x+2}-1$ 的图象,由图象可得,当 $x＞-2$ 时,$y$ 的值随 $x$ 的增大而减小,当 $x＜-2$ 时,$y$ 的值随 $x$ 的增大而减小,故选项A正确,选项B错误;由图可知 $y=\dfrac{1}{x+2}-1$ 的函数图象经过第二、三、四象限,故选项C错误,选项D错误。
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确函数$y=\dfrac{1}{x+2}-1$是反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$平移得到的：向左平移2个单位，向下平移1个单位，其渐近线为$x=-2$、$y=-1$。接下来结合函数图象分析各选项：先判断函数的增减性，再确定图象经过的象限，逐一验证选项即可。
【解析】
函数$y=\dfrac{1}{x+2}-1$是反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$平移后的形式，原反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$在$x＞0$和$x＜0$时，均满足$y$随$x$的增大而减小；平移后，函数定义域为$x≠-2$，分两个区间：
1. 当$x＞-2$时，对应原函数$x＞-2$的部分，故$y$随$x$的增大而减小；
2. 当$x＜-2$时，对应原函数$x＜-2$的部分，故$y$随$x$的增大而减小。
对选项逐一分析：
选项A：$x＞0$时，属于$x＞-2$区间，$y$随$x$的增大而减小，该选项正确；
选项B：$x＜0$时，包含$(-2,0)$和$x＜-2$两个区间，在$(-2,0)$区间内$y$随$x$增大而减小，并非整体增大，该选项错误；
选项C：取特殊点$x=-1.5$，代入得$y=\dfrac{1}{0.5}-1=1$，点$(-1.5,1)$在第二象限，说明图象经过第二象限，该选项错误；
选项D：取特殊点$x=0$，代入得$y=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}$，点$(0,-\dfrac{1}{2})$在第四象限，说明图象经过第四象限，该选项错误。
综上，答案为A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数平移、函数增减性、函数图象与象限
【点评】
本题考查反比例函数平移后的性质，需掌握函数平移规律，结合图象分析增减性和象限，是初中函数部分的基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先明确函数$y=\dfrac{1}{x+2}-1$是反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$平移得到的：向左平移2个单位，向下平移1个单位，其渐近线为$x=-2$、$y=-1$。接下来结合函数图象分析各选项：先判断函数的增减性，再确定图象经过的象限，逐一验证选项即可。
【解析】
函数$y=\dfrac{1}{x+2}-1$是反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$平移后的形式，原反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$在$x＞0$和$x＜0$时，均满足$y$随$x$的增大而减小；平移后，函数定义域为$x≠-2$，分两个区间：
1. 当$x＞-2$时，对应原函数$x＞-2$的部分，故$y$随$x$的增大而减小；
2. 当$x＜-2$时，对应原函数$x＜-2$的部分，故$y$随$x$的增大而减小。
对选项逐一分析：
选项A：$x＞0$时，属于$x＞-2$区间，$y$随$x$的增大而减小，该选项正确；
选项B：$x＜0$时，包含$(-2,0)$和$x＜-2$两个区间，在$(-2,0)$区间内$y$随$x$增大而减小，并非整体增大，该选项错误；
选项C：取特殊点$x=-1.5$，代入得$y=\dfrac{1}{0.5}-1=1$，点$(-1.5,1)$在第二象限，说明图象经过第二象限，该选项错误；
选项D：取特殊点$x=0$，代入得$y=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}$，点$(0,-\dfrac{1}{2})$在第四象限，说明图象经过第四象限，该选项错误。
综上，答案为A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数平移、函数增减性、函数图象与象限
【点评】
本题考查反比例函数平移后的性质，需掌握函数平移规律，结合图象分析增减性和象限，是初中函数部分的基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.5
4. 已知$y$是$x$的反比例函数，其部分对应值如下表：
若$a＞b$，则$m$
若$a＞b$，则$m$
＞
$n$（填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）。答案
＞
解析
【分析】
首先，根据反比例函数的定义设出解析式，利用表格中x=-2、x=-1对应的y值关系，结合a＞b判断出比例系数k的符号；再依据反比例函数的增减性，比较x=1和x=2对应的函数值大小。
【解析】
设反比例函数的解析式为$ y = \frac{k}{x} (k ≠ 0) $。
由表格可知，当$ x=-2 $时，$ a = \frac{k}{-2} $，即$ k = -2a $；当$ x=-1 $时，$ b = \frac{k}{-1} $，即$ k = -b $。
因此$ -2a = -b $，可得$ b = 2a $。
已知$ a ＞ b $，代入$ b=2a $得$ a ＞ 2a $，解得$ a ＜ 0 $，则$ k = -2a $，因为$ a ＜ 0 $，所以$ k = -2a ＞ 0 $。
对于反比例函数$ y = \frac{k}{x} (k＞0) $，在第一象限内，$ y $随$ x $的增大而减小。
因为$ 1 ＜ 2 $，对应的$ x=1 $和$ x=2 $都在第一象限，所以$ m ＞ n $。
【答案】
＞
【知识点】
反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的基本性质，核心是先确定比例系数的符号，再利用增减性比较函数值，属于基础题型，需掌握反比例函数的增减规律。
【难度系数】
0.4
首先，根据反比例函数的定义设出解析式，利用表格中x=-2、x=-1对应的y值关系，结合a＞b判断出比例系数k的符号；再依据反比例函数的增减性，比较x=1和x=2对应的函数值大小。
【解析】
设反比例函数的解析式为$ y = \frac{k}{x} (k ≠ 0) $。
由表格可知，当$ x=-2 $时，$ a = \frac{k}{-2} $，即$ k = -2a $；当$ x=-1 $时，$ b = \frac{k}{-1} $，即$ k = -b $。
因此$ -2a = -b $，可得$ b = 2a $。
已知$ a ＞ b $，代入$ b=2a $得$ a ＞ 2a $，解得$ a ＜ 0 $，则$ k = -2a $，因为$ a ＜ 0 $，所以$ k = -2a ＞ 0 $。
对于反比例函数$ y = \frac{k}{x} (k＞0) $，在第一象限内，$ y $随$ x $的增大而减小。
因为$ 1 ＜ 2 $，对应的$ x=1 $和$ x=2 $都在第一象限，所以$ m ＞ n $。
【答案】
＞
【知识点】
反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的基本性质，核心是先确定比例系数的符号，再利用增减性比较函数值，属于基础题型，需掌握反比例函数的增减规律。
【难度系数】
0.4
5. 如图所示,一次函数 $y=mx+n(m ≠ 0)$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象交于第二、四象限的点 $A(-3,a)$ 和点 $B(b,-1)$,过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线,垂足为 $C$,$△ AOC$ 的面积为 $6$.
(1) 求一次函数与反比例函数的函数表达式.
(2) 结合图象直接写出 $mx+n-\dfrac{k}{x} ≤ 0$ 的解集.
(3) 在 $x$ 轴上取一点 $P$,当 $|PA-PB|$ 取得最大值时,求出点 $P$ 的坐标.
(1) 求一次函数与反比例函数的函数表达式.
(2) 结合图象直接写出 $mx+n-\dfrac{k}{x} ≤ 0$ 的解集.
(3) 在 $x$ 轴上取一点 $P$,当 $|PA-PB|$ 取得最大值时,求出点 $P$ 的坐标.
答案
(1) 因为 $AC⊥ x$ 轴,点 $A$ 在反比例函数图象上,且 $△ AOC$ 的面积为 6. 所以 $|k|=2S_{△ AOC}=2×6=12$,因为反比例函数图象分布在第二、四象限,所以 $k=-12$. 所以反比例函数表达式为 $y=-\dfrac{12}{x}$,把点 $A(-3,a)$ 和 $B(b,-1)$ 代入反比例函数表达式,得 $a=4,b=12$,所以点 $A(-3,4)$,$B(12,-1)$,代入 $y = mx + n$,得
$\begin{cases}-3m+n=4,\\12m+n=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-\dfrac{1}{3},\\n=3.\end{cases}$ 所以一次函数的表达式为 $y=-\dfrac{1}{3}x+3$.
(2) 因为 $mx+n-\dfrac{k}{x}≤0$,即 $mx+n≤\dfrac{k}{x}$,点 $A(-3,4)$,$B(12,-1)$,所以不等式 $mx+n-\dfrac{k}{x}≤0$ 的解集为 $-3≤ x＜0$ 或 $x≥12$.
(3) 如图,作点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点 $B'$,连接 $AB'$,延长 $AB'$ 交 $x$ 轴于点 $P$,此时点 $P$ 满足 $|PA-PB|$ 取得最大值,易知点 $B'(12,1)$,设直线 $AB'$ 的函数表达式为 $y=px+q$,$\begin{cases}12p+q=1,\\-3p+q=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}p=-\dfrac{1}{5},\\q=\dfrac{17}{5},\end{cases}$ 所以直线 $AB'$ 的函数表达式为 $y=-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{17}{5}$,当 $y=0$ 时,$x=17$,所以点 $P(17,0)$.
解析
【分析】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题思路如下：
1. 求反比例函数解析式：利用反比例函数中“过双曲线上一点作x轴垂线形成的三角形面积为|k|/2”的性质，结合△AOC的面积求出k，再根据图像所在象限确定k值，得到反比例函数表达式；
2. 求点A、B坐标：将A、B两点代入反比例函数表达式，求出a、b的值，确定A、B的坐标；
3. 求一次函数解析式：用待定系数法，将A、B坐标代入一次函数表达式，解方程组得到m、n的值，确定一次函数表达式；
4. 解不等式：不等式mx+n -k/x ≤0等价于mx+n ≤k/x，结合两个函数的图像，找出一次函数图像在反比例函数图像下方（含交点）对应的x范围，即为解集；
5. 求点P坐标：利用“三角形两边之差小于第三边”，作点B关于x轴的对称点B'，此时PB=PB'，则|PA-PB|=|PA-PB'|，当A、B'、P三点共线时，该差值最大，求直线AB'与x轴的交点即为P点，通过待定系数法求直线AB'的解析式，再令y=0求出x，得到P点坐标。
【解析】
(1) 因为AC⊥x轴，点A在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，且△AOC的面积为6，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ AOC}=\dfrac{|k|}{2}$，所以$|k|=2×6=12$。又因为反比例函数图象分布在第二、四象限，所以$k=-12$，因此反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{12}{x}$。
将点$A(-3,a)$代入$y=-\dfrac{12}{x}$，得$a=-\dfrac{12}{-3}=4$，即$A(-3,4)$；将点$B(b,-1)$代入$y=-\dfrac{12}{x}$，得$-1=\dfrac{-12}{b}$，解得$b=12$，即$B(12,-1)$。
把$A(-3,4)$、$B(12,-1)$代入一次函数$y=mx+n$，得方程组：
$\begin{cases}-3m + n = 4 \\12m + n = -1\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = -\dfrac{1}{3} \\n = 3\end{cases}$，所以一次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{3}x + 3$。
(2) 不等式$mx+n - \dfrac{k}{x} ≤0$等价于$mx+n ≤ \dfrac{k}{x}$，结合两个函数的图象，一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）时对应的x范围是$-3≤x＜0$或$x≥12$，因此解集为$-3≤x＜0$或$x≥12$。
(3) 要使$|PA-PB|$取得最大值，根据三角形三边关系，作点B关于x轴的对称点$B'$，则$B'(12,1)$，此时$PB=PB'$，所以$|PA-PB|=|PA-PB'|$。当A、$B'$、P三点共线时，$|PA-PB'|=AB'$，为最大值（其他情况$|PA-PB'|＜AB'$）。
设直线$AB'$的表达式为$y=px+q$，代入$A(-3,4)$和$B'(12,1)$得：
$\begin{cases}-3p + q = 4 \\12p + q = 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}p = -\dfrac{1}{5} \\q = \dfrac{17}{5}\end{cases}$，所以直线$AB'$的表达式为$y=-\dfrac{1}{5}x + \dfrac{17}{5}$。
令$y=0$，解得$0=-\dfrac{1}{5}x + \dfrac{17}{5} → x=17$，因此点P的坐标为$(17,0)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=-\dfrac{12}{x}$，一次函数表达式为$y=-\dfrac{1}{3}x+3$；
(2) 解集为$-3≤ x＜0$或$x≥12$；
(3) 点P的坐标为$(17,0)$；
【知识点】
反比例函数性质、一次函数应用、不等式与最值
【点评】
本题综合考查一次函数与反比例函数的应用，涉及反比例函数k的几何意义、待定系数法、函数图像解不等式、利用对称和三角形三边关系求最值，需掌握数形结合思想，是常见的函数综合题型，对学生的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题思路如下：
1. 求反比例函数解析式：利用反比例函数中“过双曲线上一点作x轴垂线形成的三角形面积为|k|/2”的性质，结合△AOC的面积求出k，再根据图像所在象限确定k值，得到反比例函数表达式；
2. 求点A、B坐标：将A、B两点代入反比例函数表达式，求出a、b的值，确定A、B的坐标；
3. 求一次函数解析式：用待定系数法，将A、B坐标代入一次函数表达式，解方程组得到m、n的值，确定一次函数表达式；
4. 解不等式：不等式mx+n -k/x ≤0等价于mx+n ≤k/x，结合两个函数的图像，找出一次函数图像在反比例函数图像下方（含交点）对应的x范围，即为解集；
5. 求点P坐标：利用“三角形两边之差小于第三边”，作点B关于x轴的对称点B'，此时PB=PB'，则|PA-PB|=|PA-PB'|，当A、B'、P三点共线时，该差值最大，求直线AB'与x轴的交点即为P点，通过待定系数法求直线AB'的解析式，再令y=0求出x，得到P点坐标。
【解析】
(1) 因为AC⊥x轴，点A在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，且△AOC的面积为6，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ AOC}=\dfrac{|k|}{2}$，所以$|k|=2×6=12$。又因为反比例函数图象分布在第二、四象限，所以$k=-12$，因此反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{12}{x}$。
将点$A(-3,a)$代入$y=-\dfrac{12}{x}$，得$a=-\dfrac{12}{-3}=4$，即$A(-3,4)$；将点$B(b,-1)$代入$y=-\dfrac{12}{x}$，得$-1=\dfrac{-12}{b}$，解得$b=12$，即$B(12,-1)$。
把$A(-3,4)$、$B(12,-1)$代入一次函数$y=mx+n$，得方程组：
$\begin{cases}-3m + n = 4 \\12m + n = -1\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = -\dfrac{1}{3} \\n = 3\end{cases}$，所以一次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{3}x + 3$。
(2) 不等式$mx+n - \dfrac{k}{x} ≤0$等价于$mx+n ≤ \dfrac{k}{x}$，结合两个函数的图象，一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）时对应的x范围是$-3≤x＜0$或$x≥12$，因此解集为$-3≤x＜0$或$x≥12$。
(3) 要使$|PA-PB|$取得最大值，根据三角形三边关系，作点B关于x轴的对称点$B'$，则$B'(12,1)$，此时$PB=PB'$，所以$|PA-PB|=|PA-PB'|$。当A、$B'$、P三点共线时，$|PA-PB'|=AB'$，为最大值（其他情况$|PA-PB'|＜AB'$）。
设直线$AB'$的表达式为$y=px+q$，代入$A(-3,4)$和$B'(12,1)$得：
$\begin{cases}-3p + q = 4 \\12p + q = 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}p = -\dfrac{1}{5} \\q = \dfrac{17}{5}\end{cases}$，所以直线$AB'$的表达式为$y=-\dfrac{1}{5}x + \dfrac{17}{5}$。
令$y=0$，解得$0=-\dfrac{1}{5}x + \dfrac{17}{5} → x=17$，因此点P的坐标为$(17,0)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=-\dfrac{12}{x}$，一次函数表达式为$y=-\dfrac{1}{3}x+3$；
(2) 解集为$-3≤ x＜0$或$x≥12$；
(3) 点P的坐标为$(17,0)$；
【知识点】
反比例函数性质、一次函数应用、不等式与最值
【点评】
本题综合考查一次函数与反比例函数的应用，涉及反比例函数k的几何意义、待定系数法、函数图像解不等式、利用对称和三角形三边关系求最值，需掌握数形结合思想，是常见的函数综合题型，对学生的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
1. 如图，$△ AOB$ 和 $△ ACD$ 均为等边三角形，且顶点 $B,D$ 均在双曲线 $y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$ 上，连接 $BC$ 交 $AD$ 于点 $P$，连接 $OP$，则图中$S_{△ OBP}$ 的值为（
A.$\sqrt{6}$
B.$3$
C.$6$
D.$12$
C
）A.$\sqrt{6}$
B.$3$
C.$6$
D.$12$
答案
C 提示:由 $△ AOB$ 和 $△ ACD$ 均为等边三角形可知 $∠ AOB = ∠ CAD = 60°$, 所以 $AD// OB$, 所以 $S_{△ OBP}=S_{△ AOB}$. 如图, 过点 $B$ 作 $BE⊥ OA$ 于点 $E$, 则 $S_{△ OBE}=S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}S_{△ AOB}$. 因为点 $B$ 在反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象上, 所以 $S_{△ OBE}=\dfrac{1}{2}×6=3$, 所以 $S_{△ OBP}=S_{△ AOB}=2S_{△ OBE}=6$.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用等边三角形的性质推出OB与AD平行，再根据平行线间的距离相等，得到△OBP与△AOB的面积相等；接着结合反比例函数k的几何意义计算相关三角形面积，最后利用等边三角形的面积关系求出目标三角形的面积。
【解析】
1. 因为△AOB和△ACD均为等边三角形，所以∠AOB=∠CAD=60°，进而∠OAB=∠AOB=60°，可得OB//AD（同位角相等，两直线平行）。
2. 由于OB//AD，△OBP与△AOB同底OB，且它们的高相等（平行线间的距离处处相等），因此$S_{△OBP}=S_{△AOB}$。
3. 过点B作BE⊥OA于点E，因为△AOB是等边三角形，E为OA中点，故$S_{△AOB}=2S_{△OBE}$。
4. 点B在双曲线$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△OBE}=\dfrac{1}{2}|k|=\dfrac{1}{2}×6=3$，因此$S_{△AOB}=2×3=6$，即$S_{△OBP}=6$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；等边三角形的性质；平行线间的面积关系
【点评】
本题结合等边三角形性质与反比例函数几何意义，核心是通过平行线转换三角形面积简化计算，考查学生对几何与函数性质的综合应用能力，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用等边三角形的性质推出OB与AD平行，再根据平行线间的距离相等，得到△OBP与△AOB的面积相等；接着结合反比例函数k的几何意义计算相关三角形面积，最后利用等边三角形的面积关系求出目标三角形的面积。
【解析】
1. 因为△AOB和△ACD均为等边三角形，所以∠AOB=∠CAD=60°，进而∠OAB=∠AOB=60°，可得OB//AD（同位角相等，两直线平行）。
2. 由于OB//AD，△OBP与△AOB同底OB，且它们的高相等（平行线间的距离处处相等），因此$S_{△OBP}=S_{△AOB}$。
3. 过点B作BE⊥OA于点E，因为△AOB是等边三角形，E为OA中点，故$S_{△AOB}=2S_{△OBE}$。
4. 点B在双曲线$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△OBE}=\dfrac{1}{2}|k|=\dfrac{1}{2}×6=3$，因此$S_{△AOB}=2×3=6$，即$S_{△OBP}=6$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；等边三角形的性质；平行线间的面积关系
【点评】
本题结合等边三角形性质与反比例函数几何意义，核心是通过平行线转换三角形面积简化计算，考查学生对几何与函数性质的综合应用能力，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
2. 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 和 $y=\dfrac{2}{x}$ 在第一象限内的
图象如图所示,点 $P$ 在 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,过
点 $P$ 作 $PA ⊥ x$ 轴于点 $A$,交 $y=\dfrac{2}{x}$ 的图象
于点 $C$,$PB ⊥ y$ 轴于点 $B$,交 $y=\dfrac{2}{x}$ 的图象
于点 $D$. 当点 $P$ 的横坐标逐渐变大时,四边
形 $OCPD$ 的面积 （
A.先变大再变小
B.先变小再变大
C.不变
D.无法确定
图象如图所示,点 $P$ 在 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,过
点 $P$ 作 $PA ⊥ x$ 轴于点 $A$,交 $y=\dfrac{2}{x}$ 的图象
于点 $C$,$PB ⊥ y$ 轴于点 $B$,交 $y=\dfrac{2}{x}$ 的图象
于点 $D$. 当点 $P$ 的横坐标逐渐变大时,四边
形 $OCPD$ 的面积 （
C
）A.先变大再变小
B.先变小再变大
C.不变
D.无法确定
答案
C 提示:由于点 $C$ 和点 $D$ 均在同一个反比例函数 $y=\dfrac{2}{x}$ 的图象上, 所以 $S_{△ ODB}=S_{△ OCA}=\dfrac{1}{2}×2=1$. 因为点 $P$ 在 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上, 所以矩形 $OAPB$ 的面积是 $k$, 所以四边形 $OCPD$ 的面积为 $k-1-1$, 为定值, 不变.
解析
【分析】
要判断四边形OCPD的面积变化，需利用反比例函数的核心性质：过双曲线上的点作坐标轴垂线，形成的矩形面积为|k|，对应的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。先求出矩形OAPB的面积，再计算两个小直角三角形的面积，通过面积差推导四边形面积是否为定值。
【解析】
设点P的坐标为$(a, \frac{k}{a})$（$a＞0$），
因为$PA⊥x$轴，$PB⊥y$轴，所以四边形OAPB是矩形，其面积为$OA · OB = a · \frac{k}{a} = k$。
点C在$y=\frac{2}{x}$的图象上，且C在PA上（PA横坐标为$a$），将$x=a$代入$y=\frac{2}{x}$得C点纵坐标为$\frac{2}{a}$，则$S_{△ OCA} = \frac{1}{2} · OA · AC = \frac{1}{2} · a · \frac{2}{a} = 1$。
同理，点D在$y=\frac{2}{x}$的图象上，且D在PB上（PB纵坐标为$\frac{k}{a}$），将$y=\frac{k}{a}$代入$y=\frac{2}{x}$得D点横坐标为$\frac{2a}{k}$，则$S_{△ ODB} = \frac{1}{2} · OB · BD = \frac{1}{2} · \frac{k}{a} · \frac{2a}{k} =1$。
因此，四边形OCPD的面积为：$S_{矩形OAPB} - S_{△ ODB} - S_{△ OCA} = k -1 -1 = k-2$。
由于$k$是定值，故四边形OCPD的面积不变。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质、矩形面积、三角形面积
【点评】
本题考查反比例函数中k的几何意义，核心是利用双曲线上的点与坐标轴垂线形成的图形面积关系，推导得出四边形面积为定值，需掌握反比例函数的基本性质，难度适中。
【难度系数】
0.5
要判断四边形OCPD的面积变化，需利用反比例函数的核心性质：过双曲线上的点作坐标轴垂线，形成的矩形面积为|k|，对应的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。先求出矩形OAPB的面积，再计算两个小直角三角形的面积，通过面积差推导四边形面积是否为定值。
【解析】
设点P的坐标为$(a, \frac{k}{a})$（$a＞0$），
因为$PA⊥x$轴，$PB⊥y$轴，所以四边形OAPB是矩形，其面积为$OA · OB = a · \frac{k}{a} = k$。
点C在$y=\frac{2}{x}$的图象上，且C在PA上（PA横坐标为$a$），将$x=a$代入$y=\frac{2}{x}$得C点纵坐标为$\frac{2}{a}$，则$S_{△ OCA} = \frac{1}{2} · OA · AC = \frac{1}{2} · a · \frac{2}{a} = 1$。
同理，点D在$y=\frac{2}{x}$的图象上，且D在PB上（PB纵坐标为$\frac{k}{a}$），将$y=\frac{k}{a}$代入$y=\frac{2}{x}$得D点横坐标为$\frac{2a}{k}$，则$S_{△ ODB} = \frac{1}{2} · OB · BD = \frac{1}{2} · \frac{k}{a} · \frac{2a}{k} =1$。
因此，四边形OCPD的面积为：$S_{矩形OAPB} - S_{△ ODB} - S_{△ OCA} = k -1 -1 = k-2$。
由于$k$是定值，故四边形OCPD的面积不变。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质、矩形面积、三角形面积
【点评】
本题考查反比例函数中k的几何意义，核心是利用双曲线上的点与坐标轴垂线形成的图形面积关系，推导得出四边形面积为定值，需掌握反比例函数的基本性质，难度适中。
【难度系数】
0.5
