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3. 已知函数 $y_1=\dfrac{1}{2}x-1$ 在平面直角坐标系中的图象如图所示,则在平面直角坐标系中,函数 $y=\dfrac{1}{y_1}$ 的大致图象是（
A
）答案
A 提示:因为 $y=\dfrac{1}{y_1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}x-1}=\dfrac{2}{x-2}$, 所以函数 $y=\dfrac{1}{y_1}$ 的图象可以看作由函数 $y=\dfrac{2}{x}$ 的图象向右平移 2 个单位长度得到, 且 $x≠2$. 当 $x=0$ 时, $y=-1$, 所以只有选项 A 的作图比例符合要求.
解析
【分析】要判断函数$ y=\dfrac{1}{y_1} $的大致图像，需先将该函数化简为熟悉的形式，再结合反比例函数的图像平移规律、特殊点坐标分析，进而匹配选项。
【解析】已知$ y_1=\dfrac{1}{2}x -1 $，代入$ y=\dfrac{1}{y_1} $得：
$ y=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}x -1}=\dfrac{2}{x - 2} $，该函数是反比例函数$ y=\dfrac{2}{x} $的图像向右平移2个单位长度得到的，定义域为$ x≠2 $。
取特殊点验证：当$ x=0 $时，$ y=\dfrac{2}{0 - 2}=-1 $，即函数过点$ (0,-1) $，结合反比例函数的图像特征，对比选项，只有选项A符合要求。
【答案】A
【知识点】反比例函数图像与性质、函数图像的平移
【点评】本题通过化简复合函数转化为反比例函数，利用图像平移规律和特殊点坐标判断函数图像，考察函数表达式化简及反比例函数性质，属于中等难度的函数图像题。
【难度系数】0.6
【解析】已知$ y_1=\dfrac{1}{2}x -1 $，代入$ y=\dfrac{1}{y_1} $得：
$ y=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}x -1}=\dfrac{2}{x - 2} $，该函数是反比例函数$ y=\dfrac{2}{x} $的图像向右平移2个单位长度得到的，定义域为$ x≠2 $。
取特殊点验证：当$ x=0 $时，$ y=\dfrac{2}{0 - 2}=-1 $，即函数过点$ (0,-1) $，结合反比例函数的图像特征，对比选项，只有选项A符合要求。
【答案】A
【知识点】反比例函数图像与性质、函数图像的平移
【点评】本题通过化简复合函数转化为反比例函数，利用图像平移规律和特殊点坐标判断函数图像，考察函数表达式化简及反比例函数性质，属于中等难度的函数图像题。
【难度系数】0.6
4. 如图,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象与一次函数 $y=-x+b$ 的图象在第一象限内交于 $A(1,3),B(3,1)$ 两点,已知点 $P(a,0)$ $(a＞0)$,过点 $P$ 作平行于 $y$ 轴的直线,在第一象限内交一次函数 $y=-x+b$ 的图象于点 $M$,交反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象于点 $N$.若 $PM＞PN$,则 $a$ 的取值范围是
$1＜a＜3$
.答案
$1＜a＜3$ 提示:结合函数图象可知,当点 $M$ 在线段 $AB$ 上(不含点 $A,B$)时,$PM＞PN$,所以 $a$ 的取值范围是 $1＜a＜3$.
解析
【分析】要解决这个问题，需先确定两个函数的解析式，再表示出点M、N的坐标，将PM＞PN转化为不等式求解，结合函数图象确定a的范围。步骤如下：1. 利用交点A、B的坐标求出一次函数和反比例函数的解析式；2. 写出点M、N的坐标，进而得到PM和PN的表达式；3. 根据PM＞PN列出不等式，解不等式并结合第一象限的条件确定a的取值范围。
【解析】
1. 求函数解析式：
一次函数$y=-x+b$过点$A(1,3)$，代入得：$3=-1+b$，解得$b=4$，因此一次函数解析式为$y=-x+4$；
反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$过点$A(1,3)$，代入得：$3=\dfrac{k}{1}$，解得$k=3$，因此反比例函数解析式为$y=\dfrac{3}{x}$。
2. 表示点M、N的坐标：
过$P(a,0)$作平行于$y$轴的直线，交一次函数于$M$，则$M(a, -a+4)$；交反比例函数于$N$，则$N(a, \dfrac{3}{a})$。
因点在第一象限，故$a＞0$，且$y_M＞0$、$y_N＞0$，即$-a+4＞0$（得$a＜4$）、$\dfrac{3}{a}＞0$（得$a＞0$），结合得$0＜a＜4$。
3. 根据$PM＞PN$列不等式求解：
$PM$是点$M$到$x$轴的距离，即$PM=-a+4$；$PN$是点$N$到$x$轴的距离，即$PN=\dfrac{3}{a}$。
由$PM＞PN$得：$-a+4＞\dfrac{3}{a}$，因$a＞0$，两边同乘$a$（不等号方向不变）得：$-a^2+4a＞3$，整理为$a^2-4a+3＜0$，因式分解得$(a-1)(a-3)＜0$。
结合$a＞0$，解不等式得$1＜a＜3$，此范围对应函数图象中一次函数在反比例函数上方的区域，符合题意。
【答案】$1＜a＜3$
【知识点】反比例函数、一次函数的图象性质、一元二次不等式求解
【点评】本题结合一次函数与反比例函数的图象，利用函数值的大小关系转化为不等式求解，关键是正确表示出线段长度并解不等式，需结合图象确定取值范围，属于中等难度的函数应用问题。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 求函数解析式：
一次函数$y=-x+b$过点$A(1,3)$，代入得：$3=-1+b$，解得$b=4$，因此一次函数解析式为$y=-x+4$；
反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$过点$A(1,3)$，代入得：$3=\dfrac{k}{1}$，解得$k=3$，因此反比例函数解析式为$y=\dfrac{3}{x}$。
2. 表示点M、N的坐标：
过$P(a,0)$作平行于$y$轴的直线，交一次函数于$M$，则$M(a, -a+4)$；交反比例函数于$N$，则$N(a, \dfrac{3}{a})$。
因点在第一象限，故$a＞0$，且$y_M＞0$、$y_N＞0$，即$-a+4＞0$（得$a＜4$）、$\dfrac{3}{a}＞0$（得$a＞0$），结合得$0＜a＜4$。
3. 根据$PM＞PN$列不等式求解：
$PM$是点$M$到$x$轴的距离，即$PM=-a+4$；$PN$是点$N$到$x$轴的距离，即$PN=\dfrac{3}{a}$。
由$PM＞PN$得：$-a+4＞\dfrac{3}{a}$，因$a＞0$，两边同乘$a$（不等号方向不变）得：$-a^2+4a＞3$，整理为$a^2-4a+3＜0$，因式分解得$(a-1)(a-3)＜0$。
结合$a＞0$，解不等式得$1＜a＜3$，此范围对应函数图象中一次函数在反比例函数上方的区域，符合题意。
【答案】$1＜a＜3$
【知识点】反比例函数、一次函数的图象性质、一元二次不等式求解
【点评】本题结合一次函数与反比例函数的图象，利用函数值的大小关系转化为不等式求解，关键是正确表示出线段长度并解不等式，需结合图象确定取值范围，属于中等难度的函数应用问题。
【难度系数】0.6
5. (2025 连云港市二模) 如图, 已知点 $A(a,6)$在直线 $y=3x$ 上, 双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 经过点 $A$.
(1) 求双曲线的函数表达式.
(2) 点 $M(x_1,b),N(x_2,b)$ 分别在直线 $y=$$3x$ 和双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 上, 当 $x_1＞x_2$ 时, 直接写出 $b$ 的取值范围.
(3) 点 $B$ 在线段 $OA$ 上 (不与点 $A$ 重合),将点 $A$ 绕着点 $B$ 顺时针旋转 $90°$ 得到点 $C$, 当点 $C$ 恰好落在双曲线 $y=$$\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 上时, 求点 $C$ 的坐标.
(1) 求双曲线的函数表达式.
(2) 点 $M(x_1,b),N(x_2,b)$ 分别在直线 $y=$$3x$ 和双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 上, 当 $x_1＞x_2$ 时, 直接写出 $b$ 的取值范围.
(3) 点 $B$ 在线段 $OA$ 上 (不与点 $A$ 重合),将点 $A$ 绕着点 $B$ 顺时针旋转 $90°$ 得到点 $C$, 当点 $C$ 恰好落在双曲线 $y=$$\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 上时, 求点 $C$ 的坐标.
答案
(1) 把点 $A(a,6)$ 代入 $y=3x$, 得 $6=3a$, 解得 $a=2$, 把点 $A(2,6)$ 代入 $y=\dfrac{k}{x}$, 得 $k=2×6=12$, 所以双曲线的函数表达式为 $y=\dfrac{12}{x}$.
(2) $-6＜b＜0$ 或 $b＞6$. 提示:因为直线 $y=3x$ 与双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 交于点 $A(2,6)$, 所以另一个交点为 $(-2,-6)$, 因为点 $M(x_1,b),N(x_2,b)$ 分别在直线 $y=3x$ 和双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 上, 观察图象, 当 $x_1＞x_2$ 时, $-6＜b＜0$ 或 $b＞6$.
(3) 如图,过点 $B$ 作 $EF// y$ 轴,过点 $C$ 作 $CE⊥ EF$ 于点 $E$,过点 $A$ 作 $AF⊥ EF$ 于点 $F$,$∠ BEC=∠ BFA=90°$, 所以 $∠ ECB+∠ EBC=90°$. 因为点 $A$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90°$, 所以 $∠ ABC=90°$,$BC=BA$, 所以 $∠ CBE+∠ ABF=90°$, 所以 $∠ ECB=∠ ABF$, 所以 $△ BCE≌△ ABF(\mathrm{AAS})$, 设点 $B(n,3n)$, 则 $EC=BF=6-3n$,$BE=AF=2-n$, 所以点 $C(6-2n,4n-2)$, 因为点 $C$ 在反比例函数图象上, 所以 $(4n-2)(6-2n)=12$, 解得 $n_1=\dfrac{3}{2}$,$n_2=2$(舍去), 所以 $6-2n=3$,$4n-2=4$, 所以点 $C(3,4)$.
解析
【分析】
本题是一次函数、反比例函数与几何旋转的综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先利用点A在直线$y=3x$上求出A点坐标，再代入双曲线$y=\frac{k}{x}$求$k$，得到双曲线表达式；
2. 第(2)问：先求直线与双曲线的另一个交点，结合点M、N的纵坐标均为$b$，转化为不等式，结合函数图象确定$b$的范围；
3. 第(3)问：利用旋转性质（对应边相等、旋转角为90°）构造全等三角形，设B点坐标，通过全等得到C点坐标，代入双曲线方程求解，舍去不符合条件的解，得到C的坐标。
【解析】
(1) 把点$A(a,6)$代入直线$y=3x$，得$6=3a$，解得$a=2$，故$A(2,6)$。
将$A(2,6)$代入双曲线$y=\frac{k}{x}$，得$k=2×6=12$，因此双曲线的函数表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 联立直线与双曲线方程：$\begin{cases}y=3x \\ y=\frac{12}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2 \\ y=6\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2 \\ y=-6\end{cases}$，即另一个交点为$(-2,-6)$。
由题意，点$M(x_1,b)$在直线上，故$b=3x_1→x_1=\frac{b}{3}$；点$N(x_2,b)$在双曲线上，故$b=\frac{12}{x_2}→x_2=\frac{12}{b}$。
当$x_1＞x_2$时，即$\frac{b}{3}＞\frac{12}{b}$，分情况讨论：
当$b＞0$时，不等式化为$b²＞36→b＞6$；
当$b＜0$时，不等式化为$b²＜36→-6＜b＜0$；
$b=0$时，直线上无对应点，故$b$的取值范围为$-6＜b＜0$或$b＞6$。
(3) 设点$B(n,3n)$（$0＜n＜2$，因B在线段OA上且不与A重合）。
过B作$EF//y$轴，过A作$AF⊥EF$于F，过C作$CE⊥EF$于E，则$∠ AFB=∠ BEC=90°$。
由旋转性质：$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，故$∠ ABF + ∠ CBE=90°$，又$∠ ABF + ∠ BAF=90°$，得$∠ BAF=∠ CBE$，因此$△ ABF≌△ BCE(\mathrm{AAS})$，故$AF=BE$，$BF=CE$。
$AF=2-n$，$BF=6-3n$，则C点坐标为：$x= n + (6-3n)=6-2n$，$y=3n - (2-n)=4n-2$。
因C在双曲线$y=\frac{12}{x}$上，故$(6-2n)(4n-2)=12$，整理得$2n²-7n+6=0$，解得$n=\frac{3}{2}$或$n=2$（$n=2$与A重合，舍去）。
当$n=\frac{3}{2}$时，C的坐标为$(6-2×\frac{3}{2},4×\frac{3}{2}-2)=(3,4)$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{12}{x}$；(2) $-6＜b＜0$或$b＞6$；(3) $(3,4)$
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数与反比例函数交点、旋转的性质
【点评】
本题综合考查一次函数、反比例函数的性质及几何旋转的应用，需掌握函数交点求解、旋转的全等转化，结合代数运算与几何图形分析，是一道注重数形结合的中档综合题。
【难度系数】
0.5
本题是一次函数、反比例函数与几何旋转的综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先利用点A在直线$y=3x$上求出A点坐标，再代入双曲线$y=\frac{k}{x}$求$k$，得到双曲线表达式；
2. 第(2)问：先求直线与双曲线的另一个交点，结合点M、N的纵坐标均为$b$，转化为不等式，结合函数图象确定$b$的范围；
3. 第(3)问：利用旋转性质（对应边相等、旋转角为90°）构造全等三角形，设B点坐标，通过全等得到C点坐标，代入双曲线方程求解，舍去不符合条件的解，得到C的坐标。
【解析】
(1) 把点$A(a,6)$代入直线$y=3x$，得$6=3a$，解得$a=2$，故$A(2,6)$。
将$A(2,6)$代入双曲线$y=\frac{k}{x}$，得$k=2×6=12$，因此双曲线的函数表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 联立直线与双曲线方程：$\begin{cases}y=3x \\ y=\frac{12}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2 \\ y=6\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2 \\ y=-6\end{cases}$，即另一个交点为$(-2,-6)$。
由题意，点$M(x_1,b)$在直线上，故$b=3x_1→x_1=\frac{b}{3}$；点$N(x_2,b)$在双曲线上，故$b=\frac{12}{x_2}→x_2=\frac{12}{b}$。
当$x_1＞x_2$时，即$\frac{b}{3}＞\frac{12}{b}$，分情况讨论：
当$b＞0$时，不等式化为$b²＞36→b＞6$；
当$b＜0$时，不等式化为$b²＜36→-6＜b＜0$；
$b=0$时，直线上无对应点，故$b$的取值范围为$-6＜b＜0$或$b＞6$。
(3) 设点$B(n,3n)$（$0＜n＜2$，因B在线段OA上且不与A重合）。
过B作$EF//y$轴，过A作$AF⊥EF$于F，过C作$CE⊥EF$于E，则$∠ AFB=∠ BEC=90°$。
由旋转性质：$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，故$∠ ABF + ∠ CBE=90°$，又$∠ ABF + ∠ BAF=90°$，得$∠ BAF=∠ CBE$，因此$△ ABF≌△ BCE(\mathrm{AAS})$，故$AF=BE$，$BF=CE$。
$AF=2-n$，$BF=6-3n$，则C点坐标为：$x= n + (6-3n)=6-2n$，$y=3n - (2-n)=4n-2$。
因C在双曲线$y=\frac{12}{x}$上，故$(6-2n)(4n-2)=12$，整理得$2n²-7n+6=0$，解得$n=\frac{3}{2}$或$n=2$（$n=2$与A重合，舍去）。
当$n=\frac{3}{2}$时，C的坐标为$(6-2×\frac{3}{2},4×\frac{3}{2}-2)=(3,4)$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{12}{x}$；(2) $-6＜b＜0$或$b＞6$；(3) $(3,4)$
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数与反比例函数交点、旋转的性质
【点评】
本题综合考查一次函数、反比例函数的性质及几何旋转的应用，需掌握函数交点求解、旋转的全等转化，结合代数运算与几何图形分析，是一道注重数形结合的中档综合题。
【难度系数】
0.5
